Экспоненциальный фактор

экспоненциальный факториал положительного целого числа n, обозначаемый n $, равен n , возведенный в степень числа n - 1, которая, в свою очередь, возводится в степень n - 2, и так далее и тому подобное. То есть

$n\; \$\; =\; n\; (n\; -\; 1)\; (n\; -\; 2)\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; \$\; =\; n\; ^\; \{(n-1)\; ^\; \{(n-2)\; \backslash \; cdots\}\}\}$

Экспоненциальный факториал также можно определить с помощью рекуррентного отношения

$a\; 0\; =\; 1,\; an\; =\; nan\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{0\}\; =\; 1,\; \backslash \; quad\; a\_\; \{n\}\; =\; n\; ^\; \{a\_\; \{\; n-1\}\}\}$

Первые несколько экспоненциальных факториалов: 1, 1, 2, 9 и т. д. (последовательность A049384 в OEIS ). Например, 262144 является экспоненциальным факториалом, поскольку

$262144\; =\; 4\; 3\; 2\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; 262144\; =\; 4\; ^\; \{3\; ^\; \{2\; ^\; \{1\}\}\}\}$

Использование рекуррентного соотношения, первые экспоненциальные факториалы:

0 $ = 1

1 $ = 1 = 1

2 $ = 2 = 2

3 $ = 3 = 9

4 $ = 4 = 262144

5 $ = 5 = 6206069878... 8212890625 (183231 цифра)

Экспоненциальные факториалы растут намного быстрее, чем обычные факториалы или даже гиперфакториалы. Количество цифр в 6 $ составляет примерно 5 × 10.

Сумма обратных величин экспоненциальных факториалов, начиная с 1, является следующим трансцендентным числом :

$\sum \; n\; =\; 1\; \infty \; 1\; n\; \$\; =\; 1\; 1\; +\; 1\; 2\; 1\; +\; 1\; 3\; 2\; 1\; +\; 1\; 4\; 3\; 2\; 1\; +\; 1\; 5\; 4\; 3\; 2\; 1\; +\; 1\; 6\; 5\; 4\; 3\; 2\; 1\; +\dots \; =\; 1,611114925808376736\; 11111111\dots \; 11111111\; ⏟\; 183213\; 272243682859\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\; \backslash \; \$\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; ^\; \{1\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\; ^\; \{2\; ^\; \{1)\; \}\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\; ^\; \{3\; ^\; \{2\; ^\; \{1\}\}\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{5\; ^\; \{4\; ^\; \{3\; ^\; \{2\; ^\; \{1\}\}\; \}\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{6\; ^\; \{5\; ^\; \{4\; ^\; \{3\; ^\; \{2\; ^\; \{1\}\}\}\}\}\}\}\; +\; \backslash \; ldots\; =\; 1.611114925808376736\; \backslash \; underbrace\; \{11111111\; \backslash \; ldots\; 11111111\}\; \_\; \{\; 183213\}\; 272243682859\; \backslash \; ldots\}$

Эта сумма трансцендентна, потому что это число Лиувилля.

Как и тетрация, в настоящее время не существует принятого метода расширения экспоненциальной факториальной функции до действительные и комплексные значения аргумента, в отличие от функции factorial, для которой такое расширение предоставляется с помощью гамма-функции. Но его можно расширить, если он определен в полосе шириной 1.

• Джонатан Сондоу, «Экспоненциальный фактор "Из Mathworld, веб-ресурса Wolfram