Etendue

Etendue или étendue (; французское произношение : ) - это свойство света в оптической системе, которое характеризует, насколько «рассеивается» свет в области и угол. Он соответствует произведению параметра луча (BPP) в оптике гауссова луча.

С точки зрения источника, это произведение площади источника и телесного угла, которое входной зрачок системы расширяет как видно из источника. Эквивалентно, с точки зрения системы, внешняя длина равна площади входного зрачка, умноженной на телесный угол, который образует источник, если смотреть со стороны зрачка. Эти определения должны применяться к бесконечно малым «элементам» площади и телесного угла, которые затем должны быть суммированы как по источнику, так и по диафрагме, как показано ниже. Etendue можно рассматривать как объем в фазовом пространстве.

Etendue никогда не уменьшается ни в одной оптической системе, где сохраняется оптическая мощность. Совершенная оптическая система создает изображение с той же продолжительностью, что и источник. Продолжительность связана с инвариантом Лагранжа и оптическим инвариантом, которые обладают общим свойством быть постоянным в идеальной оптической системе. энергетическая яркость оптической системы равна производной лучистого потока по внешней длине.

Термин étendue происходит от французского étendue géométrique, что означает «геометрическая протяженность». Другие названия этого свойства: принятие, пропускная способность, световой захват, светосил или -собирающая сила ., оптическая протяженность, геометрическая протяженность и произведение AΩ . Пропускная способность и произведение AΩ особенно используются в радиометрии и переносе излучения, где это связано с коэффициентом обзора (или коэффициентом формы). Это центральная концепция оптики без изображения.

• 1 Определение
• 2 Сохранение внешнего вида
  • 2.1 В свободном пространстве
  • 2.2 В преломлении и отражении
• 3 Сохранение основного сияния
• 4 Etendue как объем в фазовом пространстве
• 5 Максимальная концентрация
• 6 См. Также
• 7 Ссылки
• 8 Дополнительная литература

Etendue для элемента разностной поверхности в 2D (слева) и 3D (справа).

Бесконечно малый элемент поверхности dS с нормалью nSпогружается в среду с показателем преломления n. Поверхность пересекает (или излучает) свет, ограниченный телесным углом dΩ под углом θ к нормали nS. Площадь dS, проецируемая в направлении распространения света, равна dS cos θ. Продолжительность этого светового пересечения dS определяется как

$d\; G\; =\; n\; 2\; d\; S\; cos\; \; \theta \; d\; \Omega .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; G\; =\; n\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; S\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; Omega.\}$Потому что углы, телесные углы и показатели преломления безразмерные величины, etendue имеет единицы площади (задается dS).

Как показано ниже, внешнее значение сохраняется, когда свет проходит через свободное пространство и при преломлении или отражении. Затем он также сохраняется, когда свет проходит через оптические системы, где он претерпевает идеальные отражения или преломления. Однако, если бы свет попадал, скажем, на рассеиватель, его телесный угол увеличился бы, увеличивая внешнюю силу. При этом Etendue может оставаться постоянным или увеличиваться по мере распространения света через оптику, но не может уменьшаться. Это прямой результат увеличения энтропии, который может быть отменен только в том случае, если для восстановления синхронизированного волнового фронта используются априорные знания, например, с фазово-сопряженными зеркалами.

Сохранение продолжительности может быть получено в различных контекстах, например, из первых оптических принципов, из гамильтоновой оптики или из второго закона термодинамики.

в свободном пространстве

Etendue в свободном пространстве.

Рассмотрим источник света Σ и детектор света S, оба из которых являются протяженными поверхностями (а не дифференциальными элементами) и разделены средой с показателем преломления n, которая является идеально прозрачной (показано). Чтобы вычислить внешнее действие системы, необходимо учитывать вклад каждой точки на поверхности источника света, когда они направляют лучи в каждую точку приемника.

Согласно приведенному выше определению, внешнее воздействие свет, пересекающий dΣ по направлению к dS, задается следующим образом:

$d\; G\; \Sigma \; =\; n\; 2\; d\; \Sigma \; cos\; \; \theta \; \Sigma \; d\; \Omega \; \Sigma \; =\; n\; 2\; d\; \Sigma \; cos\; \; \theta \; \Sigma \; d\; S\; cos\; \; \theta \; S\; d\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{\; d\}\; G\; \_\; \{\backslash \; Sigma\}\; =\; n\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; Sigma\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \_\; \{\backslash \; Sigma\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; Omega\; \_\; \{\backslash \; Sigma\}\; =\; n\; ^\; \{2\; \}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; Sigma\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \_\; \{\backslash \; Sigma\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; S\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \_\; \{S\}\}\; \{d\; ^\; \{2\}\}\}\}$где dΩ Σ - телесный угол, определяемый площадью dS в области dΣ. Аналогично, длина светового пересечения dS, исходящего из dΣ, определяется как: $d\; GS\; =\; n\; 2\; d\; S\; cos\; \; \theta \; S\; d\; \Omega \; S\; =\; n\; 2\; d\; S\; cos\; \; \theta \; S\; d\; \Sigma \; cos\; \; \theta \; \Sigma \; d\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; G\_\; \{S\}\; =\; n\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; S\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \_\; \{S\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; Omega\; \_\; \{S\}\; =\; n\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; S\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \_\; \{S\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; Sigma\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \_\; \{\backslash \; Sigma\}\}\; \{d\; ^\; \{2\}\}\},\; \}$где dΩ S - телесный угол, определяемый площадью dΣ. Эти выражения приводят к $d\; G\; \Sigma \; =\; d\; GS,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; G\; \_\; \{\backslash \; Sigma\}\; =\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; G\_\; \{S\},\}$, показывая, что внешняя среда сохраняется при распространении света. в свободном пространстве.

Тогда конец всей системы:

$G\; =\; \int \; \Sigma \; \int \; S\; d\; G.\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Sigma\}\; \backslash !\; \backslash \; int\; \_\; \{S\}\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; G.\}$

Если обе поверхности dΣ и dS погружены в воздух (или в вакуум), n = 1 а приведенное выше выражение для внешнего вида можно записать как

$d\; G\; =\; d\; \Sigma \; cos\; \; \theta \; \Sigma \; d\; S\; cos\; \; \theta \; S\; d\; 2\; =\; \pi \; d\; \Sigma \; (cos\; \; \theta \; \Sigma \; cos\; \; \theta \; S\; \pi \; d\; 2\; d\; S)\; знак\; равно\; \pi \; d\; \Sigma \; F\; d\; \Sigma \; \to \; d\; S,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; G\; =\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; Sigma\; \backslash ,\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \_\; \{\backslash \; Sigma\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; S\; \backslash ,\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \_\; \{S\}\}\; \{d\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \backslash \; pi\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; Sigma\; \backslash ,\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \_\; \{\backslash \; Sigma\})\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \_\; \{S\}\}\; \{\backslash \; pi\; d\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; S\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; pi\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; Sigma\; \backslash ,\; F\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\; \}\; \backslash \; Sigma\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; S\},\}$где F dΣ → dS - коэффициент обзора между дифференциальными поверхностями dΣ и dS. Интегрирование по dΣ и dS приводит к G = πΣ F Σ → S, что позволяет получить расстояние между двумя поверхностями из коэффициентов обзора между этими поверхностями, как указано в списке факторов обзора для конкретные случаи геометрии или в нескольких учебниках теплопередачи.

Сохранение продолжительности в свободном пространстве связано с теоремой взаимности для факторов обзора.

При преломлении и отражении

Etendue при преломлении.

Сохранение продолжительности, описанное выше, применимо к случаю распространение света в свободном пространстве или, в более общем смысле, в среде, в которой показатель преломления постоянен. Однако при преломлении и отражении также сохраняется внутренняя энергия. На рисунке «длина волны преломления» показана бесконечно малая поверхность dS на плоскости xy, разделяющая две среды с показателями преломления n Σ и n S.

Нормаль к dS указывает в направлении оси z. Входящий свет ограничен телесным углом dΩ Σ и достигает dS под углом θ Σ к нормали. Преломленный свет ограничен телесным углом dΩ S и покидает dS под углом θ S к нормали. Направления входящего и преломленного света содержатся в плоскости, составляющей угол φ к оси x, определяя эти направления в сферической системе координат . С этими определениями закон Снеллиуса преломления может быть записан как

$n\; \Sigma \; sin\; \; \theta \; \Sigma \; =\; n\; S\; sin\; \; \theta \; S,\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \_\; \{\backslash \; Sigma\}\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \_\; \{\backslash \; Sigma\}\; =\; n\_\; \{S\}\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \_\; \{S\},\}$и его производная относительно θ $n\; \Sigma \; cos\; \; \theta \; \Sigma \; d\; \theta \; \Sigma \; =\; n\; S\; cos\; \; \theta \; S\; d\; \theta \; S,\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; п\; \_\; \{\backslash \; Sigma\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \_\; \{\backslash \; Sigma\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; theta\; \_\; \{\backslash \; Sigma\}\; =\; n\_\; \{S\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \_\; \{S\}\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; theta\; \_\; \{S\},\}$, умноженные друг на друга, получим $n\; \Sigma \; 2\; cos\; \; \theta \; \Sigma \; (sin\; \; \theta \; \Sigma \; d\; \theta \; \Sigma \; d\; \phi )\; =\; n\; S\; 2\; cos\; \; \theta \; S\; (sin\; \; \theta \; S\; d\; \theta \; S\; d\; \phi ),\; \{\backslash \; Displaystyle\; п\; \_\; \{\backslash \; Sigma\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; соз\; \backslash \; theta\; \_\; \{\backslash \; Sigma\}\; \backslash !\; \backslash \; left\; (\backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \_\; \{\backslash \; Sigma\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; theta\; \_\; \{\backslash \; Sigma\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; varphi\; \backslash \; right)\; =\; n\_\; \{S\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \_\; \{S\}\; \backslash !\; \backslash \; Left\; (\backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \_\; \{S\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; theta\; \_\; \{S\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; varphi\; \backslash \; right),\}$где обе части уравнения также были умножены на dφ, которое не меняется при преломлении. Это выражение теперь можно записать как $n\; \Sigma \; 2\; cos\; \; \theta \; \Sigma \; d\; \Omega \; \Sigma \; =\; n\; S\; 2\; cos\; \; \theta \; S\; d\; \Omega \; S,\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \_\; \{\backslash \; Sigma\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \_\; \{\; \backslash \; Sigma\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; Omega\; \_\; \{\backslash \; Sigma\}\; =\; n\_\; \{S\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \_\; \{S\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; Omega\; \_\; \{S\},\}$и умножая обе стороны на dS, получаем $n\; \Sigma \; 2\; d\; S\; cos\; \; \theta \; \Sigma \; d\; \Omega \; \Sigma \; =\; n\; S\; 2\; d\; S\; cos\; \; \theta \; S\; d\; \Omega \; S\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \_\; \{\backslash \; Sigma\}\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; S\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \_\; \{\backslash \; Sigma\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; Omega\; \_\; \{\backslash \; Sigma\}\; =\; n\_\; \{S\}\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; S\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \_\; \{S\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; Omega\; \_\; \{S\}\}$, т.е. $d\; G\; \Sigma \; =\; d\; GS,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; G\; \_\; \{\backslash \; Sigma\}\; =\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; G\_\; \{S\},\}$показывает, что длина волны света, преломленного на dS, сохраняется. Тот же результат действителен и для случая отражения от поверхности dS, когда n Σ = n S и θ Σ = θ S.

Сияние поверхности связано с étendue следующим образом:

$L\; e,\; \Omega \; =\; n\; 2\; \partial \; \Phi \; e\; \partial \; G,\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{e\},\; \backslash \; Omega\; \}\; =\; n\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; Phi\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{e\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; G\}\},\}$где

• $\Phi \; e\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{e\}\}\}$- лучистый поток, излучаемый, отраженный, передаваемый или принимаемый;
• n - показатель преломления, в который эта поверхность погружена;
• G - это длина светового луча.

Поскольку свет проходит через идеальную оптическую систему, сохраняется как скорость, так и лучистый поток. Следовательно, базовое сияние определяется как:

$L\; e,\; \Omega \; \ast \; =\; L\; e,\; \Omega \; n\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{e\},\; \backslash \; Omega\}\; ^\; \{*\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{L\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{\; e\},\; \backslash \; Omega\}\}\; \{n\; ^\; \{2\}\}\}\}$также сохраняется. В реальных системах интенсивность излучения может увеличиваться (например, из-за рассеяния) или лучистый поток может уменьшаться (например, из-за поглощения), и, следовательно, базовая яркость может уменьшаться. Однако étendue не может уменьшаться, и лучистый поток не может увеличиваться, и, следовательно, базовая яркость не может увеличиваться. Оптический импульс.

В контексте гамильтоновой оптики в точке пространства световой луч может быть полностью определен точкой r = (x, y, z), единица евклидов вектор v= (cos α X, cos α Y, cos α Z) с указанием его направления и показателя преломления n в точке r . Оптический импульс луча в этой точке определяется выражением

$p\; =\; n\; (cos\; \; \alpha \; X,\; cos\; \; \alpha \; Y,\; cos\; \; \alpha \; Z)\; =\; (p,\; q,\; r),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{p\; \}\; =\; n\; (\backslash \; cos\; \backslash \; alpha\; \_\; \{X\},\; \backslash \; cos\; \backslash \; alpha\; \_\; \{Y\},\; \backslash \; cos\; \backslash \; alpha\; \_\; \{Z\})\; =\; (p,\; q,\; r),\}$где || р || = п. Геометрия вектора оптического импульса показана на рисунке «оптический момент».

В сферической системе координат pможет быть записано как

$p\; =\; n\; (sin\; \; \theta \; cos\; \; \phi ,\; sin\; \; \theta \; sin\; \; \phi ,\; cos\; \; \theta ),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\; p\}\; =\; n\; \backslash !\; \backslash \; left\; (\backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash \; cos\; \backslash \; varphi,\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi,\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \backslash \; right),\}$откуда $dpdq\; =\; \partial \; (p,\; q)\; \partial \; (\theta ,\; \phi )\; d\; \theta \; d\; \phi \; =\; (\partial \; p\; \partial \; \theta \; \partial \; q\; \partial \; \phi \; -\; \partial \; p\; \partial \; \phi \; \partial \; q\; \partial \; \theta )\; d\; \theta \; d\; \phi \; =\; n\; 2\; cos\; \; \theta \; sin\; \; \theta \; d\; \theta \; d\; \phi \; =\; n\; 2\; соз\; \; \theta \; d\; \Omega ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; p\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; q\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; (p,\; q)\}\; \{\backslash \; partial\; (\backslash \; theta,\; \backslash \; varphi)\}\}\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; theta\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; varphi\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; p\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; theta\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; q\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; varphi\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; p\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; varphi\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; q\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; theta\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; theta\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; varphi\; =\; п\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; theta\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; varphi\; =\; n\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; Omega,\}$и, следовательно, для бесконечно малой площади dS = dx dy на плоскости xy, погруженной в среду с показателем преломления n, внешняя длина задается b y $d\; G\; знак\; равно\; N\; 2\; d\; S\; соз\; \; \theta \; d\; \Omega \; =\; dxdydpdq,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; G\; =\; n\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; S\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; Omega\; =\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; y\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; p\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; q,\}$, который является бесконечно малым объемом в фазовом пространстве x, у, р, д. Сохранение бесконечности в фазовом пространстве эквивалентно в оптике теореме Лиувилля в классической механике. Etendue как объем в фазовом пространстве обычно используется в оптике без формирования изображения. Etendue для большого телесного угла.

Рассмотрим бесконечно малую поверхность dS, погруженную в среду с показателем преломления n, пересекаемую (или излучающую) свет внутри конуса с углом α. Продолжительность этого света определяется следующим образом:

$d\; G\; =\; n\; 2\; d\; S\; \int \; cos\; \; \theta \; d\; \Omega \; =\; n\; 2\; d\; S\; \int \; 0\; 2\; \pi \; \int \; 0\; \alpha \; cos\; \; \theta \; sin\; \; \theta \; d\; \theta \; d\; \phi \; =\; \pi \; n\; 2\; d\; S\; sin\; 2\; \; \alpha .\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; G\; =\; п\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; S\; \backslash \; int\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; Omega\; =\; n\; ^\; \{2\}\; dS\; \backslash \; int\; \_\; \{0\; \}\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \backslash !\; \backslash \; Int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; theta\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; varphi\; =\; \backslash \; pi\; n\; ^\; \{2\}\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; S\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; alpha.\}$

Учитывая, что n sin α - это числовая апертура NA луча света, это также может быть выражается как

$d\; G\; =\; \pi \; d\; SNA\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; G\; =\; \backslash \; pi\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; S\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{NA\}\; ^\; \{2\}.\}$

Обратите внимание, что dΩ выражается в сферической системе координат. Теперь, если большую поверхность S пересекает (или излучает) свет, также ограниченный конусом угла α, длина пересечения света S равна

$G\; =\; \pi \; n\; 2\; sin\; 2\; \; \alpha \; \int \; d\; S\; =\; \pi \; n\; 2\; S\; sin\; 2\; \; \alpha \; =\; \pi \; SNA\; 2.\; \{\backslash \; Displaystyle\; G\; =\; \backslash \; pi\; n\; ^\; \{2\}\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; alpha\; \backslash \; int\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; S\; =\; \backslash \; pi\; n\; ^\; \{2\}\; S\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; alpha\; =\; \backslash \; pi\; S\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{NA\}\; ^\; \{2\}.\}$ Etendue и идеальная концентрация.

Предел максимальной концентрации (показан) - это оптика с входным отверстием S в воздухе (n i = 1) сбор света в пределах телесного угла 2α (его угол приема ) и отправка его в приемник меньшей площади Σ, погруженный в среду с показателем преломления n, точки которого освещаются в пределах телесного угла угла 2β. Из приведенного выше выражения, длина падающего света равна

$G\; i\; =\; \pi \; S\; sin\; 2\; \; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; G\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{i\}\}\; =\; \backslash \; pi\; S\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; alpha\}$, а длина света, достигающего приемника, равна $G\; r\; =\; \pi \; n\; 2\; \Sigma \; sin\; 2\; \; \beta .\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{r\}\}\; =\; \backslash \; pi\; n\; ^\; \{2\}\; \backslash \; Sigma\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; beta.\}$

Сохранение внешнего вида G i = G r затем дает

$C\; =\; S\; \Sigma \; =\; n\; 2\; sin\; 2\; \; \beta \; sin\; 2\; \; \alpha ,\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; =\; \{\backslash \; frac\; \{S\}\; \{\backslash \; Sigma\}\}\; =\; n\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; beta\}\; \{\backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; alpha\}\},\}$где C - концентрация оптики. Для данной угловой апертуры α падающего света эта концентрация будет максимальной для максимального значения sin β, то есть β = π / 2. Тогда максимально возможная концентрация составляет $C\; m\; a\; x\; =\; n\; 2\; sin\; 2\; \alpha .\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{max\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{n\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; alpha\}\}.\}$

В случае, если индекс инцидента не равен единице, мы

$г\; я\; знак\; равно\; \pi \; ni\; S\; грех\; 2\; \; \alpha \; знак\; равно\; г\; р\; =\; \pi \; nr\; \Sigma \; грех\; 2\; \; \beta ,\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{i\}\}\; =\; \backslash \; pi\; n\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{i\}\}\; S\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; alpha\; =\; G\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{r\}\}\; =\; \backslash \; pi\; n\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{r\}\}\; \backslash \; Sigma\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; beta,\}$и поэтому $C\; =\; (\; NA\; р\; NA\; я)\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{NA\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{r\}\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{NA\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{i\}\}\}\}\; \backslash \; справа)\; ^\; \{2\},\}$и в лучшем случае β = π / 2 это становится $C\; max\; =\; nr\; 2\; NA\; i\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{max\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{n\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{r\}\}\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{NA\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{i\}\}\; ^\; \{2\}\}\}.\; \}$

Если бы в качестве оптики использовался коллиматор вместо концентратора, направление света менялось бы, и сохранение внешней длины дает нам минимальную апертуру S для данного выходного полного угла 2α.

• Световое поле
• Параметр луча
• Симплектическая геометрия
• Теорема Нётер
• Излучение луча

Wikimedia У Commons есть материалы, связанные с Etendue.

. Найдите etendue в Wiktionary, бесплатном словаре.

• Greivenkamp, ​​John E. (2004). Полевое руководство по геометрической оптике. SPIE Field Guides vol. FG01 . ШПИОН. ISBN 0-8194-5294-7.
• Сютао Сан и др., 2006, «Анализ Etendue и измерение источника света с эллиптическим отражателем», Дисплеи (27), 56–61.
• Рэндалл Манро объясняет, почему невозможно зажечь огонь концентрированным лунным светом, используя аргумент сохранения непрерывности. Манро, Рэндалл. «Огонь из лунного света». Что если?. Получено 28 июля 2020 г.