Эквиполентность (геометрия)

В евклидовой геометрии, равноправие - это двоичное отношение между направленными отрезками. Отрезок AB от точки A до точки B имеет направление, противоположное направлению отрезка BA. Два направленных отрезка линии равны, если они имеют одинаковую длину и направление.

• 1 История
  • 1.1 Обзор
  • 1.2 Примеры
    • 1.2.1 a) Диаметр сопряженных эллипсов
    • 1.2.2 b) Диаметр сопряженных гипербол
• 2 Расширение
• 3 Ссылки
• 4 Дополнительная литература
• 5 Внешние ссылки

Обзор

Концепция равномерных сегментов линии была выдвинута Джусто Беллавитис в 1835 г. Впоследствии термин вектор был принят для класса равных отрезков прямой. Использование Беллавитисом идеи отношения отношения для сравнения различных, но похожих объектов стало обычным математическим приемом, особенно при использовании отношений эквивалентности. Беллавитис использовал специальные обозначения для эквивалентности отрезков AB и CD:

$A\; B\; \bumpeq \; C\; D.\; \{\backslash \; displaystyle\; AB\; \backslash \; bumpeq\; CD.\}$

Следующие отрывки, переведенные Майклом Дж. Кроу, показывают предвкушение, которое Беллавитис испытывал к концепции вектора :

Эквиполентность сохраняется, когда кто-то заменяет линии в них, другие линии, которые соответственно равны им, однако они могут располагаться в пространстве. Из этого можно понять, как можно суммировать любое число и любой вид линий, и что в каком бы порядке эти строки ни были взяты, будет получена одна и та же эквивалентная сумма...

В равных степенях, как и в уравнениях, линия может быть перенесена с одной стороны на другую при условии изменения знака...

Таким образом, противоположно направленные отрезки являются отрицательными друг для друга: $AB\; +\; BA\; \bumpeq \; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; AB\; +\; BA\; \backslash \; bumpeq\; 0.\}$

Равновесие $AB\; \bumpeq \; n.\; CD,\; \{\backslash \; displaystyle\; AB\; \backslash \; bumpeq\; n.CD,\}$, где n означает положительное число, указывает, что AB параллельна CD и имеет то же направление, что и CD, и что их длины имеют соотношение, выраженное by AB = n.CD.

Отрезок от A до B является связанным вектором, в то время как класс сегментов, равных ему, является свободным вектором, выражаясь языком евклидовых векторов.

Примеры

Среди исторических применений равноправия Беллавитисом и другими должны быть обсуждены сопряженные диаметры эллипсов, а также гиперболы:

a) Сопряженный диаметр эллипсы

Беллавитис (1854) определил равноправную OM эллипса и соответствующий касательный MT как

(1a) $OM\; \bumpeq \; x\; OA\; +\; y\; OBMT\; \bumpeq \; -\; y\; OA\; +\; х\; ОВ\; [х\; 2\; +\; у\; 2\; =\; 1;\; Икс\; =\; соз\; \; T,\; Y\; =\; грех\; \; T]\; \Rightarrow \; OM\; \bumpeq \; соз\; \; T\; \cdot \; OA\; +\; sin\; \; T\; \cdot \; OB\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; \backslash \; mathrm\; \{OM\}\; \backslash \; bumpeq\; x\; \backslash \; mathrm\; \{OA\}\; +\; y\; \backslash \; mathrm\; \{OB\}\; \backslash \backslash \; \backslash \; mathrm\; \{MT\}\; \backslash \; bumpeq\; -y\; \backslash \; mathrm\; \{OA\}\; +\; x\; \backslash \; mathrm\; \{OB\}\; \backslash \backslash \; \backslash \; left\; [x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\; =\; 1;\; \backslash \; x\; =\; \backslash \; cos\; t,\; \backslash \; y\; =\; \backslash \; sin\; t\; \backslash \; right]\; \backslash \backslash \backslash \; Rightarrow\; \backslash \; mathrm\; \{OM\}\; \backslash \; bumpeq\; \backslash \; cos\; t\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathrm\; \{OA\}\; +\; \backslash \; sin\; t\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathrm\; \{OB\}\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\}$

где OA и OB - сопряженные полудиаметры эллипса, оба из которых он соотносит с двумя другими сопряженными полудиаметрами OC и OD следующим соотношением и его обратным :

$OC\; \bumpeq \; c\; OA\; +\; d\; OBOA\; \bumpeq \; c\; OC\; -\; d\; ODOD\; \bumpeq \; -\; d\; OA\; +\; c\; OBOB\; \bumpeq \; d\; OC\; +\; c\; OD\; [c\; 2\; +\; d\; 2\; =\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; mathrm\; \{OC\}\; \backslash \; bumpeq\; c\; \backslash \; mathrm\; \{OA\}\; +\; d\; \backslash \; mathrm\; \{OB\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mathrm\; \{OA\}\; \backslash \; bumpeq\; c\; \backslash \; mathrm\; \{OC\}\; -d\; \backslash \; mathrm\; \{OD\}\; \backslash \backslash \backslash \; mathrm\; \{OD\}\; \backslash \; bumpeq\; -d\; \backslash \; mathrm\; \{OA\}\; +\; c\; \backslash \; mathrm\; \{OB\}\; \backslash \; mathrm\; \{OB\}\; \backslash \; bumpeq\; d\; \backslash \; mathrm\; \{OC\}\; +\; c\; \backslash \; mathrm\; \{OD\}\; \backslash \; end\; \{выровнено\; \}\}\; \backslash \backslash \backslash \; left\; [c\; ^\; \{2\}\; +\; d\; ^\; \{2\}\; =\; 1\; \backslash \; right]\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\}$

с получением инварианта

$(OC)\; 2\; +\; (OD)\; 2\; \bumpeq \; (OA)\; 2\; +\; (OB)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathrm\; \{OC\})\; ^\; \{2\}\; +\; (\backslash \; mathrm\; \{OD\})\; ^\; \{2\}\; \backslash \; bumpeq\; (\backslash \; mathrm\; \{OA\})\; ^\; \{2\}\; +\; (\backslash \; mathrm\; \{OB\})\; ^\; \{2\}\}$.

Подставляя обратное в (1a), он показал, что OM сохраняет свою форму

$OM\; \bumpeq \; (cx\; +\; dy)\; OC\; +\; (cy\; -\; dx)\; OD\; [(cx\; +\; dy)\; 2\; +\; (cy\; -\; dx)\; 2\; =\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; \backslash \; mathrm\; \{OM\}\; \backslash \; bumpeq\; (cx\; +\; dy)\; \backslash \; mathrm\; \{OC\}\; +\; (cy-dx)\; \backslash \; mathrm\; \{OD\}\; \backslash \backslash \backslash \; left\; [(cx\; +\; dy)\; ^\; \{2\}\; +\; (cy-dx)\; ^\; \{2\}\; =\; 1\; \backslash \; right]\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\}$

б) Сопряженный диаметр гипербол

Во французском переводе статьи Беллавитиса 1854 года Шарль-Анж Лезан (1874) добавил главу, в которой он адаптировал приведенный выше анализ к гипербола. Равновесность OM и касательная к ней MT гиперболы определяется формулой

(1b) $O\; M\; \bumpeq \; x\; O\; A\; +\; y\; O\; B\; M\; T\; \bumpeq \; y\; O\; A\; +\; x\; O\; B\; [x\; 2\; -\; y\; 2\; =\; 1;\; x\; =\; cosh\; \; t,\; y\; =\; sinh\; \; t]\; \Rightarrow \; OM\; \bumpeq \; cosh\; \; t\; \cdot \; OA\; +\; sinh\; \; t\; \cdot \; OB\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; \backslash \; mathrm\; \{OM\}\; \backslash \; bumpeq\; x\; \backslash \; mathrm\; \{OA\}\; +\; y\; \backslash \; mathrm\; \{OB\}\; \backslash \backslash \; \backslash \; mathrm\; \{MT\}\; \backslash \; bumpeq\; y\; \backslash \; mathrm\; \{OA\}\; +\; x\; \backslash \; mathrm\; \{OB\}\; \backslash \backslash \; \backslash \; left\; [x\; ^\; \{2\}\; -y\; ^\; \{2\}\; =\; 1;\; \backslash \; x\; =\; \backslash \; ch\; t,\; \backslash \; y\; =\; \backslash \; sinh\; t\; \backslash \; right]\; \backslash \backslash \backslash \; Rightarrow\; \backslash \; mathrm\; \{OM\}\; \backslash \; bumpeq\; \backslash \; cosh\; t\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathrm\; \{OA\}\; +\; \backslash \; sinh\; t\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathrm\; \{OB\}\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\}$

Здесь OA и OB - это сопряженные полудиаметры гиперболы с воображаемым OB, оба из которых он соотносил с двумя другими сопряженными полудиаметрами OC и OD следующим образом: преобразование и обратное ему:

$OC\; \bumpeq \; c\; OA\; +\; d\; OBOA\; \bumpeq \; c\; OC\; -\; d\; ODOD\; \bumpeq \; d\; OA\; +\; c\; OBOB\; \bumpeq \; -\; d\; OC\; +\; c\; OD\; [c\; 2\; -\; d\; 2\; =\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{\; матрица\}\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; mathrm\; \{OC\}\; \backslash \; bumpeq\; c\; \backslash \; mathrm\; \{OA\}\; +\; d\; \backslash \; mathrm\; \{OB\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mathrm\; \{OA\}\; \backslash \; bumpeq\; c\; \backslash \; mathrm\; \{OC\}\; -d\; \backslash \; mathrm\; \{OD\}\; \backslash \backslash \backslash \; mathrm\; \{OD\}\; \backslash \; bumpeq\; d\; \backslash \; mathrm\; \{OA\}\; +\; c\; \backslash \; mathrm\; \{OB\}\; \backslash \; mathrm\; \{OB\}\; \backslash \; bumpeq\; -d\; \backslash \; mathrm\; \{OC\}\; +\; c\; \backslash \; mathrm\; \{OD\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\; \backslash \backslash \backslash \; left\; [c\; ^\; \{2\}\; -d\; ^\; \{2\}\; =\; 1\; \backslash \; right]\; \backslash \; end\; \{m\; atrix\}\}\}$

создание инвариантного отношения

$(OC)\; 2\; -\; (OD)\; 2\; \bumpeq \; (OA)\; 2\; -\; (OB)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathrm\; \{OC\})\; ^\; \{2\}\; -\; (\backslash \; mathrm\; \{OD\})\; ^\; \{2\}\; \backslash \; bumpeq\; (\backslash \; mathrm\; \{OA\})\; ^\; \{2\}\; -\; (\backslash \; mathrm\; \{OB\})\; ^\; \{2\}\}$.

Подставив в (1b), он показал, что OM сохраняет свое форма

$OM\; \bumpeq \; (cx\; -\; dy)\; OC\; +\; (cy\; -\; dx)\; OD\; [(cx\; -\; dy)\; 2\; -\; (cy\; -\; dx)\; 2\; =\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; \backslash \; mathrm\; \{OM\}\; \backslash \; bumpeq\; (cx-dy)\; \backslash \; mathrm\; \{OC\}\; +\; (cy-dx)\; \backslash \; mathrm\; \{OD\}\; \backslash \backslash \backslash \; left\; [(cx-dy)\; ^\; \{2\}\; -\; (cy-dx)\; ^\; \{2\}\; =\; 1\; \backslash \; right]\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\}$

С современной точки зрения преобразование Лайзана между двумя парами сопряженных полудиаметров можно интерпретировать как повышения Лоренца с точки зрения гиперболических вращений, а также их визуального демонстрация в терминах диаграмм Минковского (см. История преобразований Лоренца # Laisant ).

Геометрическая равноправность также используется на сфере:

Чтобы оценить метод Гамильтона, давайте сначала вспомним гораздо более простой случай абелевой группы переводов. в евклидовом трехмерном пространстве. Каждый перенос можно представить в виде вектора в пространстве, причем значение имеют только направление и величина, а положение не имеет значения. Композиция двух переводов задается правилом сложения векторов "голова к хвосту" параллелограмма; и принятие обратного равносильно изменению направления. В теории поворотов Гамильтона мы имеем обобщение такой картины с абелевой группы сдвигов на неабелеву SU (2). Вместо векторов в пространстве мы имеем дело с направленными дугами большого круга длиной < π on a unit sphere S in a Euclidean three-dimensional space. Two such arcs are deemed equivalent if by sliding one along its great circle it can be made to coincide with the other.

На большом круге сферы две направленные дуги окружности равноправны, когда они совпадают по направлению и длина дуги. Класс эквивалентности таких дуг связан с кватернионом версором

$exp\; \; (ar)\; =\; cos\; \; a\; +\; r\; sin\; \; a,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; exp\; (ar)\; =\; \backslash \; cos\; a\; +\; r\; \backslash \; sin\; a,\}$где a - длина дуги, а r определяет плоскость большого круга по перпендикулярности.

• Джусто Беллавитис (1835) "Saggio di applications di un new metodo di Geometria Analitica (Calcolo delle equipollenze)", Annali delle Scienze del Regno Lombardo-Veneto, Padova 5: 244–59.
• Джусто Беллавитис (1854) Sposizione del Metodo della Equipollenze, ссылка из Google Книги.

• Charles-Ange Laisant (1874): французский перевод с добавлением Bellavitis (1854) Exposition de la méthode des equipollences, ссылка из Google Книги.

• Джусто Беллавитис (1858) Calcolo dei Quaternioni di WR Hamilton e sua Relazione col Metodo delle Equipollenze, ссылка из HathiTrust.
• Charles-Ange Laisant (1887) Theorie et Applications des Equ ipollence, Gauthier-Villars, ссылка из University of Michigan Historical Math Collection.
• Лена Л. Северанс (1930) Теория равноправия; Метод аналитической геометрии сиг. Bellavitis, ссылка с HathiTrust.

• Аксиоматическое определение равноправия