Оператор композиции

редактировать

В математике оператор композиции $C ϕ {\ displaystyle C _ {\ phi}}$ $C_ \ phi$ с символом $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ - это линейный оператор, определяемый правилом

C ϕ (f) = f ∘ ϕ {\ displaystyle C _ {\ phi} (f) = f \ circ \ phi}

C_ \ phi (f) = f \ circ \ phi

где $f ∘ ϕ {\ displaystyle f \ circ \ phi}$ $f \ circ \ phi$ обозначает композицию функций.

Изучение операторов композиции входит в категорию AMS 47B33.

Содержание

1 В физике
2 В функциональном исчислении Бореля
3 В голоморфном функциональном исчислении
4 Приложения
5 См. также
6 Ссылки

В физике

В физике и особенно в области динамических систем, оператор композиции обычно упоминается как оператор Купмана (и его бешеный всплеск популярности иногда в шутку называют «Купманией»), названный в честь Бернарда Купмана. Это сопряженный слева передаточного оператора Фробениуса – Перрона.

В функциональном исчислении Бореля

Используя язык теории категорий, оператор композиции представляет собой откат в пространстве измеримые функции ; он сопряжен с оператором передачи так же, как откат сопряжен с перемещением вперед ; оператор композиции - это функтор обратного изображения.

Поскольку рассматриваемая здесь область является областью функций Бореля, вышеупомянутое описывает оператор Купмана в том виде, в каком он появляется в функциональном исчислении Бореля.

В голоморфном функциональном исчислении

область оператора композиции можно рассматривать более узко, как некоторое банахово пространство, часто состоящее из голоморфных функций : например, некоторый пробел Харди или пробел Бергмана. В этом случае оператор композиции находится в области некоторого функционального исчисления, такого как голоморфное функциональное исчисление.

. Интересные вопросы, возникающие при изучении операторов композиции, часто связаны с тем, как спектральные свойства оператора зависят от функционального пространства. Другие вопросы включают в себя, является ли $C ϕ {\ displaystyle C _ {\ phi}}$ $C_ \ phi$ компактным или классом трассировки ; ответы обычно зависят от того, как функция φ ведет себя на границе некоторой области.

Когда оператором переноса является оператор сдвига влево - , оператор Купмана в качестве сопряженного с ним может рассматриваться как оператор сдвига вправо. Соответствующий базис, явно демонстрирующий сдвиг, часто можно найти в ортогональных полиномах . Когда они ортогональны на прямой, сдвиг задается оператором Якоби. Когда полиномы ортогональны в некоторой области комплексной плоскости (а именно, в пространстве Бергмана ), оператор Якоби заменяется оператором Хессенберга

Приложения

В математике операторы композиции обычно встречаются при изучении операторов сдвига, например, в теореме Бёрлинга – Лакса и разложении Вольда. Операторы сдвига можно изучать как одномерные спиновые решетки. Операторы композиции появляются в теории мер Александрова – Кларка.

Уравнение собственного значения оператора композиции - это уравнение Шредера, а основная собственная функция f (x) часто называют функцией Шредера или функцией Кенигса.

См. также

Литература

^Купмана, БО (1931). «Гамильтоновы системы и преобразования в гильбертовом пространстве». Труды Национальной академии наук. 17 (5): 315–318. Bibcode : 1931PNAS... 17..315K. doi : 10.1073 / pnas.17.5.315. PMC 1076052. PMID 16577368.
^Гаспар, Пьер (1998). Хаос, рассеяние и статистическая механика. Издательство Кембриджского университета. doi : 10.1017 / CBO9780511628856. ISBN 978-0-511-62885-6.
^Будишич, Марко, Райан Мор и Игорь Мезич. «Прикладной коопманизм». Хаос: междисциплинарный журнал нелинейной науки 22, вып. 4 (2012): 047510. https://doi.org/10.1063/1.4772195
^Шервин Предраг Цвитанович, Роберто Артузо, Ронни Майнери, Грегор Таннер, Габор Ваттай, Ниалл Велан и Андреас Вирцба, Хаос: классика и Квантовое приложение H, версия 15.9, (2017 г.), http://chaosbook.org/version15/chapters/appendMeasure.pdf
^Джеральд Тешл, «Операторы Якоби и полностью интегрируемые нелинейные решетки» (2000) Американского математического общества. https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-jac/jacop.pdf ISBN 978-0-8218-1940-1
^Томео, В.; Торрано, Э. (2011). «Два применения субнормальности матрицы Хессенберга, связанные с общими ортогональными многочленами». Линейная алгебра и ее приложения. 435 (9): 2314–2320. doi : 10.1016 / j.laa.2011.04.027.

С. К. Коуэн и Б. Д. МакКлуер, Операторы композиции в пространствах аналитических функций. Исследования по высшей математике. CRC Press, Бока-Ратон, Флорида, 1995. xii + 388 pp. ISBN 0-8493-8492-3.
J. Х. Шапиро, Операторы композиции и классическая теория функций. Universitext: трактаты по математике. Springer-Verlag, New York, 1993. xvi + 223 pp. ISBN 0-387-94067-7.