Октаэдрическое число с центром

Построение октаэдра Хаю по 129 кубов

A октаэдрическое число с центром или октаэдрическое число Хаю - это фигуральное число, которое подсчитывает количество точек трехмерной целочисленной решетки, лежащих внутри октаэдра с центром в начале координат. Те же числа являются частными случаями чисел Деланного, которые подсчитывают определенные двумерные траектории решетки. Октаэдрические числа Хаю названы в честь Рене Жюста Хаю.

• 1 История
• 2 Формула
• 3 Альтернативные интерпретации
• 4 Ссылки

Имя «Октаэдрическое число Хаю» происходит из работы Рене Жюста Гаюи, французского минералога, работавшего в конце 18 - начале 19 веков. Его «конструкция Хаю» аппроксимирует октаэдр как поликуб, образованный срастанием концентрических слоев кубов на центральный куб. Центрированные октаэдрические числа подсчитывают количество кубиков, используемых этой конструкцией. Хаю предложил эту конструкцию и несколько связанных построений других многогранников в качестве модели структуры кристаллических минералов.

Число точек трехмерной решетки в пределах n шагов от начала координат равно задано формулой

$(2\; n\; +\; 1)\; (2\; n\; 2\; +\; 2\; n\; +\; 3)\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{(2n\; +\; 1)\; \backslash \; left\; (2n\; ^\; \{2\}\; +\; 2n\; +\; 3\; \backslash \; right)\}\; \{3\}\}\}$

Первые несколько из этих чисел (для n = 0, 1, 2,...):

1, 7, 25, 63, 129, 231, 377, 575, 833, 1159,...

Производящая функция центрированных октаэдрических чисел равна

$(1\; +\; x)\; 3\; (1\; -\; x)\; 4.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{(1\; +\; x)\; ^\; \{3\}\}\; \{(1-x)\; ^\; \{4\}\}\}.\}$

Центрированные октаэдрические числа подчиняются рекуррентному соотношению

$C\; (\; n)\; =\; C\; (n\; -\; 1)\; +\; 4\; n\; 2\; +\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; (n)\; =\; C\; (n-1)\; +\; 4n\; ^\; \{2\}\; +2.\}$

Их также можно вычислить как суммы пар последовательных октаэдрических чисел.

63 путей Деланного через сетку 3 × 3

Октаэдр в трехмерной целочисленной решетке, количество узлов которой подсчитывается центрированной октаэдрическое число - это метрический шар для трехмерной геометрии такси, геометрия, в которой расстояние измеряется суммой координатных расстояний, а не евклидовым расстоянием. По этой причине Luther Mertens (2011) называют центрированные октаэдрические числа «объемом хрустального шара».

Те же числа можно рассматривать как фигурные числа по-другому, как центрированные фигурные числа, образованные пятиугольной пирамидой. То есть, если одна образует последовательность концентрических оболочек в трех измерениях, где первая оболочка состоит из одной точки, вторая оболочка состоит из шести вершин пятиугольной пирамиды, а каждая последующая оболочка образует более крупную пятиугольную пирамиду с треугольное число точек на каждой треугольной грани и пятиугольное число точек на пятиугольной грани, тогда общее количество точек в этой конфигурации является центрированным октаэдрическим числом.

Центрированные октаэдрические числа также являются числами Деланного формы D (3, n). Что касается чисел Деланного в более общем плане, эти числа подсчитывают количество путей от юго-западного угла сетки 3 × n до северо-восточного угла, используя шаги, которые идут на одну единицу на восток, север или северо-восток.