A Броуновский мост - это непрерывный стохастический процесс B (t), распределение вероятностей которого является условным распределением вероятностей винеровского процесса W (t) (математическая модель броуновского движения ) при условии (при стандартизации), что W (T) = 0, так что процесс закреплен в начале координат как при t = 0, так и при t = T. Точнее:
Ожидаемое значение моста равно нулю с дисперсией , подразумевая, что наибольшая неопределенность находится в середине моста с нулевой неопределенностью в узлах. ковариация B (s) и B (t) равна s (T - t) / T, если s < t. The increments in a Brownian bridge are not independent.
Если W (t) является стандартным винеровским процессом (т. Е. Для t ≥ 0, W (t) обычно распределенный с ожидаемым значением 0 и дисперсией t, а приращения являются стационарными и независимыми ), тогда
- броуновский мост для t ∈ [0, T]. Он не зависит от W (T)
И наоборот, если B (t) - броуновский мост, а Z - стандартная нормальная случайная величина, не зависящая от B, то процесс
- винеровский процесс для t ∈ [0, 1]. В более общем смысле, винеровский процесс W (t) для t ∈ [0, T] можно разложить на
Другое представление Броуновский мост, основанный на броуновском движении, для t ∈ [0, T]
И наоборот, для t ∈ [0, ∞]
Броуновский мост также может быть представлен в виде ряда Фурье со стохастическими коэффициентами, как
где - независимые одинаково распределенные стандартные нормальные случайные величины (см. теорему Карунена – Лоэва ).
Броуновский мост - результат теоремы Донскера в области эмпирических процессов. Он также используется в тесте Колмогорова – Смирнова в области статистического вывода.
Стандартный винеровский процесс удовлетворяет W (0) = 0 и, следовательно, «привязан» к началу координат, но другие точки не ограничены. С другой стороны, в процессе броуновского моста не только B (0) = 0, но мы также требуем, чтобы B (T) = 0, то есть процесс также «привязан» при t = T. Подобно тому, как буквальный мост поддерживается пилонами с обоих концов, броуновский мост должен удовлетворять условиям на обоих концах интервала [0, T]. (В небольшом обобщении, иногда требуется, чтобы B (t 1) = a и B (t 2) = b, где t 1, t 2, a и b - известные константы.)
Предположим, что мы сгенерировали ряд точек W (0), W (1), W (2), W (3) и т. Д. Из путь винеровского процесса путем компьютерного моделирования. Теперь требуется заполнить дополнительные точки в интервале [0, T], то есть интерполировать между уже созданными точками W (0) и W (T). Решение состоит в том, чтобы использовать броуновский мост, который требуется для прохождения значений W (0) и W (T).
Для общего случая, когда B (t 1) = a и B (t 2) = b, распределение B в момент времени t ∈ (t 1, t 2) является нормальным, с средним
и ковариация между B (s) и B (t), причем s < t is