Неравенство Буля

редактировать

В теории вероятностей, неравенство Буля, также известное как союз связан, говорит, что для любых конечномерного или счетного множества из событий, вероятность того, что по крайней мере один из событий происходят не больше, чем сумма вероятностей отдельных событий. Неравенство Буля названо в честь Джорджа Буля.

Формально для счетного множества событий A 1, A 2, A 3,... имеем

{\ displaystyle {\ mathbb {P}} \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} A_ {i} \ right) \ leq \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} {\ mathbb {P}} (A_ {i}).}

{\ displaystyle {\ mathbb {P}} \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} A_ {i} \ right) \ leq \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} {\ mathbb {P}} (A_ {i}).}

В мере теоретико термины, неравенство Буля вытекает из того факта, что мера (и, конечно, любая вероятностная мера ) является σ - полуаддитивно.

СОДЕРЖАНИЕ

1 Доказательство
- 1.1 Доказательство с помощью индукции
- 1.2 Доказательство без использования индукции
2 Неравенства Бонферрони
3 См. Также
4 ссылки

Доказательство

Доказательство с помощью индукции

Неравенство Буля может быть доказано для конечных наборов событий методом индукции. ${\ displaystyle n}$ $п$

Для случая следует, что ${\ Displaystyle п = 1}$ $п = 1$

{\ displaystyle \ mathbb {P} (A_ {1}) \ leq \ mathbb {P} (A_ {1}).}

\ mathbb {P} (A_ {1}) \ leq \ mathbb {P} (A_ {1}).

Для этого случая мы имеем ${\ displaystyle n}$ $п$

{\ displaystyle {\ mathbb {P}} \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \ right) \ leq \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ mathbb { P}} (A_ {i}).}

{\ displaystyle {\ mathbb {P}} \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \ right) \ leq \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ mathbb { P}} (A_ {i}).}

Поскольку и поскольку операция объединения ассоциативна, мы имеем ${\ Displaystyle \ mathbb {P} (A \ чашка B) = \ mathbb {P} (A) + \ mathbb {P} (B) - \ mathbb {P} (A \ cap B),}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {P} (A \ чашка B) = \ mathbb {P} (A) + \ mathbb {P} (B) - \ mathbb {P} (A \ cap B),}$

{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n + 1} A_ {i} \ right) = \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \ right) + \ mathbb {P} (A_ {n + 1}) - \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \ cap A_ {n + 1} \ right).}

{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n + 1} A_ {i} \ right) = \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \ right) + \ mathbb {P} (A_ {n + 1}) - \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \ cap A_ {n + 1} \ right).}

{\ displaystyle {\ mathbb {P}} \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \ cap A_ {n + 1} \ right) \ geq 0,}

{\ displaystyle {\ mathbb {P}} \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \ cap A_ {n + 1} \ right) \ geq 0,}

по первой аксиоме вероятности имеем

{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n + 1} A_ {i} \ right) \ leq \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \ right) + \ mathbb {P} (A_ {n + 1}),}

{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n + 1} A_ {i} \ right) \ leq \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \ right) + \ mathbb {P} (A_ {n + 1}),}

и поэтому

{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n + 1} A_ {i} \ right) \ leq \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbb {P } (A_ {i}) + \ mathbb {P} (A_ {n + 1}) = \ sum _ {i = 1} ^ {n + 1} \ mathbb {P} (A_ {i}).}

{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n + 1} A_ {i} \ right) \ leq \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbb {P } (A_ {i}) + \ mathbb {P} (A_ {n + 1}) = \ sum _ {i = 1} ^ {n + 1} \ mathbb {P} (A_ {i}).}

Доказательство без использования индукции

Для любых событий в нашем вероятностном пространстве мы имеем ${\ Displaystyle A_ {1}, A_ {2}, A_ {3}, \ точки}$ ${\ Displaystyle A_ {1}, A_ {2}, A_ {3}, \ точки}$

{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {i} A_ {i} \ right) \ leq \ sum _ {i} \ mathbb {P} (A_ {i}).}

{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {i} A_ {i} \ right) \ leq \ sum _ {i} \ mathbb {P} (A_ {i}).}

Одна из аксиом вероятностного пространства состоит в том, что если являются непересекающимися подмножествами вероятностного пространства, то ${\ displaystyle B_ {1}, B_ {2}, B_ {3}, \ dots}$ ${\ displaystyle B_ {1}, B_ {2}, B_ {3}, \ dots}$

{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {i} B_ {i} \ right) = \ sum _ {i} \ mathbb {P} (B_ {i});}

{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {i} B_ {i} \ right) = \ sum _ {i} \ mathbb {P} (B_ {i});}

это называется счетной аддитивностью.

Если тогда ${\ Displaystyle B \ подмножество A,}$ ${\ Displaystyle B \ подмножество A,}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {P} (B) \ leq \ mathbb {P} (A).}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {P} (B) \ leq \ mathbb {P} (A).}$

Действительно, из аксиом вероятностного распределения

{\ displaystyle \ mathbb {P} (A) = \ mathbb {P} (B) + \ mathbb {P} (AB).}

{\ displaystyle \ mathbb {P} (A) = \ mathbb {P} (B) + \ mathbb {P} (AB).}

Обратите внимание, что оба условия справа неотрицательны.

Теперь нам нужно изменить наборы, чтобы они не пересекались. ${\ displaystyle A_ {i}}$ $A_ {i}$

{\ displaystyle B_ {i} = A_ {i} - \ bigcup _ {j = 1} ^ {i-1} A_ {j}.}

{\ displaystyle B_ {i} = A_ {i} - \ bigcup _ {j = 1} ^ {i-1} A_ {j}.}

Итак, если, то мы знаем ${\ displaystyle B_ {i} \ subset A_ {i}}$ ${\ displaystyle B_ {i} \ subset A_ {i}}$

{\ displaystyle \ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} B_ {i} = \ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} A_ {i}.}

{\ displaystyle \ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} B_ {i} = \ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} A_ {i}.}

Следовательно, мы можем вывести следующее уравнение

{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {i} A_ {i} \ right) = \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {i} B_ {i} \ right) = \ sum _ {i} \ mathbb {P} (B_ {i}) \ leq \ sum _ {i} \ mathbb {P} (A_ {i}).}

{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {i} A_ {i} \ right) = \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {i} B_ {i} \ right) = \ sum _ {i} \ mathbb {P} (B_ {i}) \ leq \ sum _ {i} \ mathbb {P} (A_ {i}).}

Неравенства Бонферрони

Неравенство Буля можно обобщить, чтобы найти верхнюю и нижнюю границы вероятности конечных объединений событий. Эти границы известны как неравенства Бонферрони в честь Карло Эмилио Бонферрони ; см. Bonferroni (1936).

Определять

{\ displaystyle S_ {1}: = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ mathbb {P}} (A_ {i}),}

S_ {1}: = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ mathbb {P}} (A_ {i}),

а также

{\ displaystyle S_ {2}: = \ sum _ {1 \ leq i lt;j \ leq n} {\ mathbb {P}} (A_ {i} \ cap A_ {j}),}

{\ displaystyle S_ {2}: = \ sum _ {1 \ leq i lt;j \ leq n} {\ mathbb {P}} (A_ {i} \ cap A_ {j}),}

а также

{\ displaystyle S_ {k}: = \ sum _ {1 \ leq i_ {1} lt;\ cdots lt;i_ {k} \ leq n} {\ mathbb {P}} (A_ {i_ {1}} \ cap \ cdots \ cap A_ {i_ {k}})}

S_ {k}: = \ sum _ {1 \ leq i_ {1} lt;\ cdots lt;i_ {k} \ leq n} {\ mathbb {P}} (A_ {i_ {1}} \ cap \ cdots \ cap A_ {i_ {k}})

для всех целых k из {3,..., n }.

Тогда для нечетного k из {1,..., n },

{\ displaystyle {\ mathbb {P}} \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \ right) \ leq \ sum _ {j = 1} ^ {k} (- 1) ^ {j-1} S_ {j},}

{\ displaystyle {\ mathbb {P}} \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \ right) \ leq \ sum _ {j = 1} ^ {k} (- 1) ^ {j-1} S_ {j},}

и для четного k из {2,..., n },

{\ displaystyle {\ mathbb {P}} \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \ right) \ geq \ sum _ {j = 1} ^ {k} (- 1) ^ {j-1} S_ {j}.}

{\ displaystyle {\ mathbb {P}} \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \ right) \ geq \ sum _ {j = 1} ^ {k} (- 1) ^ {j-1} S_ {j}.}

Неравенство Буля является исходным случаем, k = 1. Когда k = n, то равенство выполняется, и результирующее тождество является принципом включения-исключения.

Смотрите также

использованная литература

Бонферрони, Карло Э. (1936), "Теория статистики делле класса и вычислений вероятности", Pubbl. d. R. Ist. Супер. di Sci. Эконом. e Commerciali di Firenze (на итальянском языке), 8: 1–62, Zbl 0016.41103
Домен, Клаус (2003), Улучшенные неравенства Бонферрони с помощью абстрактных трубок. Неравенства и идентичности типа включения-исключения, конспект лекций по математике, 1826, Берлин: Springer-Verlag, стр. Viii + 113, ISBN 3-540-20025-8, MR 2019293, Zbl 1026.05009
Галамбос, Янош ; Симонелли, Итало (1996), Неравенства типа Бонферрони с приложениями, вероятностью и их приложениями, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. X + 269, ISBN 0-387-94776-0, Руководство по ремонту 1402242, Zbl 0869.60014
Галамбос, Янош (1977), "Бонферроните неравенство", Анналы вероятностей, 5 (4): 577-581, DOI : 10,1214 / AOP / 1176995765, JSTOR 2243081, МР 0448478, Zbl +0369,60018
Галамбос, Янош (2001) [1994], "Неравенства Бонферрони", Энциклопедия математики, EMS Press

Эта статья включает материал из неравенств Бонферрони на PlanetMath, который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License.