Аксиома счетного выбора

Каждый набор в счетной последовательности наборов (S i) = S 1, S 2, S 3,... содержит ненулевое и, возможно, бесконечное (или даже несчетное бесконечное) количество элементов. Аксиома счетного выбора позволяет нам произвольно выбирать один элемент из каждого набора, образуя соответствующую последовательность элементов (x i) = x 1, x 2, x 3,...

Аксиома счетного выбора или аксиома счетного выбора, обозначенная ACω, является аксиома из теории множеств, которая утверждает, что каждая счетная коллекция непустых множеств должна иметь функцию выбора . Т.е. для данной функции A с доменом N(где N обозначает набор натуральных чисел ), такая что A (n) является непусто set для каждого n ∈ N, тогда существует функция f с областью определения N такая, что f (n) ∈ A (n) для любого n ∈ N.

Аксиома счетного выбора (AC ω) строго слабее, чем аксиома зависимого выбора (DC), (Jech 1973), что, в свою очередь, слабее, чем аксиома выбора (AC). Пол Коэн показал, что AC ω недоказуемо в теории множеств Цермело – Френкеля (ZF) без аксиомы выбора (Potter 2004). AC ω выполняется в модели Соловея.

ZF достаточно, чтобы доказать, что объединение счетного числа счетных множеств счетно. Также достаточно доказать, что каждое бесконечное множество является дедекиндово-бесконечным (эквивалентно: имеет счетно бесконечное подмножество).

ACωособенно полезен при разработке анализа, где многие результаты зависят от наличия функции выбора для счетного набора наборов действительных чисел. Например, чтобы доказать, что каждая точка накопления x набора S ⊆ R является пределом некоторой последовательности элементов в S \ {x} нужна (слабая форма) аксиома счетного выбора. Когда формулируется для точек накопления произвольных метрических пространств, утверждение становится эквивалентным AC ω. О других утверждениях, эквивалентных AC ω, см. Herrlich (1997) и Howard Rubin (1998).

Распространенное заблуждение состоит в том, что счетный выбор имеет индуктивную природу и поэтому доказуема как теорема (в ZF или аналогичных или даже более слабых системах) по индукции. Однако, это не так; это заблуждение является результатом смешения счетного выбора с конечным выбором для конечного множества размера n (для произвольного n), и именно этот последний результат (который является элементарной теоремой в комбинаторике) доказывается по индукции. Однако можно доказать, что некоторые счетно бесконечные множества непустых множеств имеют функцию выбора в ZF без какой-либо формы аксиомы выбора. К ним относятся V ω - {Ø} и множество собственных и ограниченных открытых интервалов действительных чисел с рациональными конечными точками.

В качестве примера применения AC ω, вот доказательство (из ZF + AC ω) того, что каждый бесконечный набор бесконечно по Дедекинду:

Пусть X бесконечно. Для каждого натурального числа n пусть A n будет набором всех 2-элементных подмножеств X. Поскольку X бесконечен, каждое A n непусто. Первое применение AC ω дает последовательность (B n : n = 0,1,2,3,...), где каждый B n равен подмножество X с 2 элементами.

Множества B n не обязательно не пересекаются, но мы можем определить

C0= B 0

Cn= разницу между B n и объединение всех C j, j < n.

Ясно, что каждый набор C n имеет от 1 до 2 элементов, а наборы C n попарно не пересекаются. Второе применение AC ω дает последовательность (c n : n = 0,1,2,...) с c n ∈ C n.

Итак, все c n различны, а X содержит счетное множество. Функция, которая отображает каждый c n на c n + 1 (и оставляет все остальные элементы X фиксированными), представляет собой карту 1-1 из X в X, который не включен, доказывая что X является бесконечным по Дедекинду.

• Jech, Thomas J. (1973). Аксиома выбора. Северная Голландия. С. 130–131. ISBN 978-0-486-46624-8. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Херрлих, Хорст (1997). «Принципы выбора в элементарной топологии и анализе» (PDF). Комментарий.Math.Univ.Carolinae. 38 (3): 545–545. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Говард, Пол; Рубин, Джин Э. (1998). «Последствия аксиомы выбора». Провиденс, Американское математическое общество Род-Айленд. ISBN 978-0-8218-0977-8. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Поттер, Майкл (2004). Теория множеств и ее философия: критическое введение. Oxford University Press. Стр. 164. ISBN 9780191556432. CS1 maint: ref = harv (ссылка )

Эта статья включает материал из аксиомы счетного выбора на PlanetMath, который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License.