Асимптотология

редактировать

Асимптотология была определена как «искусство работы с прикладными математическими системами в предельных случаях » а также «наука о синтезе простоты и точности посредством локализации».

Содержание

1 Принципы
2 Теория возмущений, малые и большие параметры
3 Асимптотический подход
4 Асимптотика принцип неопределенности
5 Примечания
6 Ссылки

Принципы

Поле асимптотики обычно впервые встречается в школе геометрии с введением асимптота, линия, к которой кривая стремится на бесконечности ты. Слово Ασύμπτωτος (асимптотос) по-гречески означает несовпадение и делает сильный акцент на том, что приближение не превращается в совпадение. Это характерная черта асимптотики, но одно это свойство не полностью покрывает идею асимптотики, и этимологически этого термина кажется совершенно недостаточно.

Теория возмущений, малые и большие параметры

В физике и других областях науки часто встречаются проблемы асимптотической природы, такие как как затухание, вращение, стабилизация возмущенного движения и т. д. Их решения поддаются асимптотическому анализу (теория возмущений ), который широко используется в современных прикладная математика, механика и физика. Но асимптотические методы претендуют на то, что они больше, чем часть классической математики. К. Фридрихс сказал: «Асимптотическое описание - не только удобный инструмент математического анализа природы, оно имеет более фундаментальное значение». М. Краскал ввел специальный термин «асимптотология», определенный выше, и призвал к формализации накопленного опыта, чтобы преобразовать искусство асимптотологии в науку. Общий термин может иметь значительную эвристическую ценность. В своем эссе «Будущее математики» Х. Пуанкаре написал следующее.

Изобретения нового слова часто бывает достаточно, чтобы выявить отношение, и слово будет творческим... Трудно поверить, какую экономию мышления, как говорил Мах, можно произвести с помощью хорошо подобранный термин... Математика - это искусство давать одно и то же имя разным вещам... Когда язык выбран правильно, можно с удивлением обнаружить, что все демонстрации известного объекта сразу же применимы ко многим новым объекты: ничего не нужно менять, даже термины, поскольку имена стали такими же... Таким образом, сам факт иногда не представляет особого интереса... он приобретает ценность только тогда, когда более внимательный мыслитель воспринимает связь, которую он выявляет, и символизирует ее термином.

Кроме того, «успех« кибернетики »,« аттракторов »и« теории катастроф 'иллюстрирует плодотворность создания слова как научного исследования ».

Практически каждая физическая теория, сформулированная в самом общем виде, является правильной. Это сложно с математической точки зрения. Поэтому как при зарождении теории, так и при ее дальнейшем развитии особую важность имеют простейшие предельные случаи, допускающие аналитические решения. В этих пределах обычно уменьшается количество уравнений, уменьшается их порядок, нелинейные уравнения могут быть заменены линейными, исходная система становится в определенном смысле усредненной и т. Д.

Все эти идеализации, какими бы разными они ни казались, повышают степень симметрии математической модели рассматриваемого явления.

Асимптотический подход

По сути, асимптотический подход к сложной задаче состоит в том, чтобы рассматривать недостаточно симметричную управляющую систему как можно ближе к определенной симметричной.

В попытке получить лучшее приближение к точному решению данной проблемы очень важно, чтобы определение корректирующих решений, которые выходят за пределы предельного случая, было намного проще, чем непосредственное исследование управляющей системы. На первый взгляд, возможности такого подхода ограничиваются варьированием параметров, определяющих систему, лишь в узком диапазоне. Однако опыт исследования различных физических проблем показывает, что если параметры системы изменились в значительной степени и система далеко отклонилась от симметричного предельного случая, может быть найдена другая предельная система, часто с менее очевидными симметриями, для которой проводится асимптотический анализ. также применимо. Это позволяет описать поведение системы на основе небольшого числа предельных случаев во всем диапазоне изменения параметров. Такой подход соответствует максимальному уровню интуиции, способствует дальнейшему пониманию и в конечном итоге приводит к формулированию новых физических концепций.

Также важно, что асимптотический анализ помогает установить связь между различными физическими теориями. Целью асимптотического подхода является упрощение объекта. Это упрощение достигается за счет уменьшения окрестности рассматриваемой особенности. Типично, что точность асимптотических разложений растет с локализацией. Точность и простота обычно считаются взаимоисключающими понятиями. Стремясь к простоте, мы жертвуем точностью, а пытаясь достичь точности, мы не ожидаем простоты. Однако при локализации антиподы сходятся; противоречие разрешается в синтезе, называемом асимптотикой. Другими словами, простота и точность связаны соотношением «принцип неопределенности», в то время как размер области служит небольшим параметром - мерой неопределенности.

Принцип асимптотической неопределенности

Проиллюстрируем «принцип асимптотической неопределенности». Возьмем расширение функции $f (x) {\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ в асимптотической последовательности $ϕ n (x) {\ displaystyle {\ phi _ {n} ( х)}}$ ${\ phi_n (x)}$ :. $е (х) знак равно ∑ N = 0 ∞ an ϕ N (x) {\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} \ phi _ {n} (x)}$ $f (x) = \ sum_ {n = 0 } ^ {\ infty} a_n \ phi_n ( x)$ , $x {\ displaystyle x}$ $x$ → $0 {\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ .

Неполная сумма ряда обозначается $SN (x) {\ displaystyle S_ { N} (x)}$ $S_N (x)$ , а точность приближения при заданном $N {\ displaystyle N}$ $N$ оценивается как $Δ N (x) = | f (x) - S N (x) | {\ displaystyle \ Delta _ {N} (x) = | f (x) -S_ {N} (x) |}$ $\ Delta_N (x) = | f (x) - S_N (x) |$ . Простота здесь характеризуется числом $N {\ displaystyle N}$ $N$ , а местонахождение - длиной интервала $x {\ displaystyle x}$ $x$ .

. Основываясь на известных свойствах асимптотическое расширение, мы рассматриваем попарную взаимосвязь значений $x {\ displaystyle x}$ $x$ , $N {\ displaystyle N}$ $N$ и $Δ {\ displaystyle \ Delta }$ $\ Delta$ . При фиксированном $x {\ displaystyle x}$ $x$ расширение изначально сходится, т.е. точность увеличивается за счет простоты. Если мы исправим $N {\ displaystyle N}$ $N$ , точность и размер интервала начинают конкурировать. Чем меньше интервал, тем проще достигается заданное значение $Δ {\ displaystyle \ Delta}$ $\ Delta$ .

Проиллюстрируем эти закономерности на простом примере. Рассмотрим экспоненциальную интегральную функцию:. $Ei ⁡ (y) = ∫ - ∞ ye ζ ζ - 1 d ζ, y < 0 {\displaystyle \operatorname {Ei} (y)=\int _{-\infty }^{y}e^{\zeta }\zeta ^{-1}d{\zeta },y<0}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Ei} (y) = \ int _ { - \ infty} ^ {y} e ^ {\ zeta} \ zeta ^ {- 1} d {\ zeta}, y <0}$ .

Интегрируя по частям, получаем следующее асимптотическое разложение. $Ei ⁡ (y) ∼ ey ∑ n знак равно 1 ∞ (n - 1)! y - n, y {\ displaystyle \ operatorname {Ei} (y) \ sim e ^ {y} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (n-1)! y ^ {- n}, \ ; y}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Ei} (y) \ sim e ^ {y} \ sum _ {п = 1} ^ {\ infty} (п-1)! y ^ {- n}, \; y}$ → $- ∞ {\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ .

Положите $f (x) = - e - y Ei ⁡ (y) {\ displaystyle f (x) = - ey \ operatorname {Ei } (y)}$ ${\ displaystyle f (x) = - ey \ operatorname {Ei} (y)}$ , $y = - x - 1 {\ displaystyle y = -x-1}$ $y = -x-1$ . Вычисление частичных сумм этого ряда и значений $Δ N (x) {\ displaystyle \ Delta _ {N} (x)}$ $\ Delta_N (x)$ и $f (x) {\ displaystyle f ( x)}$ $f (x)$ для разных $x {\ displaystyle x}$ $x$ доходностей:

 $x {\ displaystyle x}$  $x$  $f (x) {\ displaystyle f (x)}$  $f (x)$  $Δ 1 {\ displaystyle \ Delta _ {1}}$  $\ Delta _ {1}$  $Δ 2 {\ displaystyle \ Delta _ {2}}$  $\ Delta _ {2}$  $Δ 3 {\ displaystyle \ Delta _ {3}}$  $\ Delta _ {3}$  $Δ 4 {\ displaystyle \ Delta _ {4}}$  $\ Delta_4$  $Δ 5 {\ displaystyle \ Delta _ {5}}$  $\ Delta_5$  $Δ 6 {\ displaystyle \ Delta _ {6}}$  $\ Delta_6$  $Δ 7 {\ displaystyle \ Delta _ {7}}$  $\Delta_7$ 1/3 0,262 0,071 0,040 0,034 0,040 0,060 0,106 0,223 1/5 0,171 0,029 0,011 0,006 0,004 0,0035 0,0040 0,0043 1/7 0,127 0,016 0,005 0,002 0,001 0,0006 0,0005 0,0004

Таким образом, при заданном $x {\ displaystyle x}$ $x$ точность сначала увеличивается с ростом $N {\ displaystyle N}$ $N$ , а затем уменьшается ( так что есть асимптотическое разложение). Для данного $N {\ displaystyle N}$ $N$ можно наблюдать улучшение точности с уменьшением $x {\ displaystyle x}$ $x$ .

Наконец, стоит ли использовать асимптотический анализ, если компьютеры и численные методы достигли такого продвинутого состояния? Как Д. Дж. Крайтон упомянул:

Разработка вычислительных или экспериментальных схем без указания асимптотической информации в лучшем случае расточительна, в худшем случае опасна из-за возможной неспособности идентифицировать критические (жесткие) особенности процесса и их локализация в пространстве координат и параметров. Более того, весь опыт показывает, что асимптотические решения численно полезны далеко за пределами их номинального диапазона применимости и часто могут использоваться напрямую, по крайней мере, на этапе предварительного проектирования продукта, например, избавляя от необходимости точных вычислений до финальной стадии проектирования, когда многие переменные ограничены узкими диапазонами.

Примечания

Литература

Андрианов И.В., Маневич Л.И. Асимптотология: идеи, методы и приложения. Kluwer Academic Publishers, 2002.
Дьюар Р.Л. «Асимптотология - поучительная история», ANZIAM Journal, 2002, 44, 33–40. doi : 10.1017 / S1446181100007884
Фридрихс К.О. «Асимптотические явления в математической физике», Бюллетень Американского математического общества, 1955, 61, 485–504.
Сегель Л.А. «Важность асимптотического анализа в прикладной математике», American Mathematical Monthly, 1966, 73, 7–14.
Уайт Р.Б. Асимптотический анализ дифференциальных уравнений, исправленное издание, Лондон: Imperial College Press, 2010.