Войти
| Мартин Крускал | |
|---|---|
 | |
| Родился | Мартин Дэвид Крускал ( 1925-09-28)28 сентября 1925 г. Нью-Йорк, Нью-Йорк, США |
| Умер | 26 декабря 2006 г. (2006-12-26)(81 год) Принстон, Нью-Джерси, США |
| Гражданство | Соединенные Штаты Америки |
| Альма-матер | |
| Известен | Теория солитонов |
| Награды | |
| Научная карьера | |
| Поля | Математическая физика |
| Учреждения | |
| Докторант | Ричард Курант |
| Докторанты | |
Мартин Дэвид Крускала ( / к г ʌ s к əl / ; 28 сентября 1925 - 26 декабря 2006) американский математик и физик. Он внес фундаментальный вклад во многие области математики и науки, от физики плазмы до общей теории относительности и от нелинейного анализа до асимптотического анализа. Его самый выдающийся вклад был в теорию солитонов.
Он был студентом Чикагского университета и Нью-Йоркского университета, где защитил докторскую диссертацию. под руководством Ричарда Куранта в 1952 году. Он провел большую часть своей карьеры в Принстонском университете в качестве научного сотрудника в Лаборатории физики плазмы, начиная с 1951 года, а затем профессором астрономии (1961 год), основателем и председателем Программы прикладных и вычислительных технологий. Математика (1968) и профессор математики (1979). Он ушел из Принстонского университета в 1989 году и поступил на математический факультет Университета Рутгерса, занимая кафедру математики Дэвида Гильберта.
Помимо своих исследований, Краскал был известен как наставник молодых ученых. Он работал не покладая рук и всегда стремился не просто доказать результат, а досконально его понять. И отличался игривостью. Он изобрел граф Крускала, магический эффект, который, как известно, сбивает с толку профессиональных фокусников, потому что, как он любил говорить, он основан не на ловкости рук, а на математическом явлении.
Мартин Дэвид Крускал родился в еврейской семье в Нью-Йорке и вырос в Нью-Рошель. В мире он был известен как Мартин, а в семье - как Дэвид. Его отец, Джозеф Б. Крускал-старший, был успешным оптовым продавцом меха. Его мать, Лилиан Роуз Форхаус Крускал Оппенгеймер, стала известным пропагандистом искусства оригами в раннюю эпоху телевидения и основала Центр оригами в Америке в Нью-Йорке, который позже стал OrigamiUSA. Он был одним из пяти детей. Двумя его братьями, оба выдающимися математиками, были Джозеф Крускал (1928–2010; первооткрыватель многомерного масштабирования, теоремы Крускала о дереве и алгоритма Крускала ) и Уильям Краскал (1919–2005; первооткрыватель теста Краскала – Уоллиса ).
Мартин Крускал был женат на Лауре Крускал, его 56-летней жене. Лаура хорошо известна как лектор и писатель по оригами и создательница многих новых моделей. Мартин, который очень любил игры, головоломки и всевозможные игры слов, также изобрел несколько довольно необычных моделей оригами, в том числе конверт для отправки секретных сообщений (любому, кто развернет конверт, чтобы прочитать сообщение, было бы очень трудно сложить его, чтобы скрыть дело).
Мартин и Лаура много ездили на научные встречи и навещали многих научных сотрудников Мартина. Лаура называла Мартина «моим билетом в мир». Куда бы они ни пошли, Мартин будет усердно работать, а Лора часто будет занята преподаванием мастер-классов по оригами в школах и учреждениях для пожилых людей и людей с ограниченными возможностями. Мартин и Лаура очень любили путешествовать и ходить в походы.
Их трое детей - Карен, Керри и Клайд, известные соответственно как поверенный, автор детских книг и ученый-компьютерщик.
Научные интересы Мартина Крускала охватывали широкий круг вопросов чистой математики и приложений математики к естественным наукам. Он всю жизнь интересовался многими темами уравнений в частных производных и нелинейного анализа и развил фундаментальные идеи об асимптотических разложениях, адиабатических инвариантах и многих других связанных темах.
Его докторская степень. Диссертация, написанная под руководством Ричарда Куранта и Бернарда Фридмана из Нью-Йоркского университета, была посвящена теме «Мостовая теорема для минимальных поверхностей». Он получил докторскую степень. в 1952 г.
В 1950-х и начале 1960-х годов он в основном работал над физикой плазмы, развивая многие идеи, которые сейчас являются фундаментальными в этой области. Его теория адиабатических инвариантов сыграла важную роль в исследованиях термоядерного синтеза. К важным концепциям физики плазмы, носящим его имя, относятся неустойчивость Крускала – Шафранова и моды Бернштейна – Грина – Крускала (БГК). Вместе с И.Б. Бернштейном, Е.А. Фриманом и Р.М. Кульсрудом он разработал МГД (или магнитогидродинамический) принцип энергии. Его интересы распространялись на астрофизику плазмы, а также на лабораторную плазму. Некоторые считают работу Мартина Крускала по физике плазмы наиболее выдающейся.
В 1960 году Краскал открыл полную классическую пространственно-временную структуру простейшего типа черной дыры в общей теории относительности. Сферически-симметричная черная дыра может быть описана решением Шварцшильда, которое было открыто на заре общей теории относительности. Однако в своем первоначальном виде это решение описывает только область вне горизонта черной дыры. Крускал (параллельно с Джорджем Секересом ) открыл максимальное аналитическое продолжение решения Шварцшильда, которое он элегантно продемонстрировал, используя то, что сейчас называется координатами Крускала – Секереса.
Это привело Крускала к удивительному открытию, что внутренняя часть черной дыры выглядит как « червоточина », соединяющая две идентичные, асимптотически плоские вселенные. Это был первый реальный пример решения кротовой норы в общей теории относительности. Червоточина схлопывается до сингулярности до того, как любой наблюдатель или сигнал сможет переместиться из одной вселенной в другую. В настоящее время считается, что это общая судьба кротовых нор в общей теории относительности. В 1970-х годах, когда была открыта тепловая природа физики черных дыр, свойство решения Шварцшильда в виде червоточин оказалось важным ингредиентом. В настоящее время это считается фундаментальным ключом к пониманию квантовой гравитации.
Наиболее известной работой Крускала было открытие в 1960-х годах интегрируемости некоторых нелинейных уравнений в частных производных, включающих функции одной пространственной переменной, а также времени. Эти разработки начались с новаторского компьютерного моделирования Крускалом и Норманом Забуски (с некоторой помощью Гарри Дима ) нелинейного уравнения, известного как уравнение Кортевега – де Фриза (KdV). Уравнение КдФ представляет собой асимптотическую модель распространения нелинейных дисперсионных волн. Но Краскал и Забуски сделали поразительное открытие решения уравнения КдФ для «уединенной волны», которое распространяется недисперсно и даже восстанавливает свою форму после столкновения с другими такими волнами. Из-за свойств такой волны, подобной частице, они назвали ее « солитоном » - термин, который сразу прижился.
Эта работа была частично мотивирована парадоксом почти повторяемости, который наблюдался в очень раннем компьютерном моделировании нелинейной решетки Энрико Ферми, Джоном Пастой и Станиславом Уламом в Лос-Аламосе в 1955 году. повторяющееся поведение одномерной цепочки ангармонических осцилляторов в отличие от ожидаемой быстрой термализации. Краскал и Забуски смоделировали уравнение КдФ, которое Крускал получил как непрерывный предел этой одномерной цепи, и обнаружили солитонное поведение, противоположное термализации. Это оказалось сутью явления.
Явление уединенных волн было загадкой XIX века, восходящей к работам Джона Скотта Рассела, который в 1834 году наблюдал то, что мы теперь называем солитоном, распространяющимся в канале, и преследовал его верхом. Несмотря на свои наблюдения за солитонами в экспериментах с волновыми резервуарами, Скотт Рассел никогда не распознавал их как таковые из-за его сосредоточения на «большой трансляционной волне», уединенной волне с наибольшей амплитудой. Его экспериментальные наблюдения, представленные в его отчете о волнах для Британской ассоциации развития науки в 1844 году, были восприняты Джорджем Эйри и Джорджем Стоуксом скептически, поскольку их теории линейных волн на воде не могли их объяснить. Джозеф Буссинеск (1871 г.) и лорд Рэлей (1876 г.) опубликовали математические теории, подтверждающие наблюдения Скотта Рассела. В 1895 году Дидерик Кортевег и Густав де Фрис сформулировали уравнение KdV для описания волн на мелководье (таких как волны в канале, наблюдавшиеся Расселом), но основные свойства этого уравнения не были поняты до тех пор, пока Крускал и его сотрудники не начали работу. 1960-е годы.
Солитонное поведение предполагало, что уравнение КдФ должно иметь законы сохранения, выходящие за рамки очевидных законов сохранения массы, энергии и импульса. Четвертый закон сохранения был открыт Джеральдом Уиземом, а пятый - Крускалом и Забуски. Несколько новых законов сохранения были вручную открыты Робертом Миурой, который также показал, что многие законы сохранения существуют для связанного уравнения, известного как модифицированное уравнение Кортевега – де Фриза (MKdV). С помощью этих законов сохранения Миура показал связь (называемую преобразованием Миуры) между решениями уравнений КдФ и МКдФ. Это был ключ, который позволил Краскалу вместе с Клиффордом С. Гарднером, Джоном М. Грином и Миурой (GGKM) открыть общий метод точного решения уравнения КдФ и понять его законы сохранения. Это был метод обратной задачи рассеяния, удивительный и элегантный метод, демонстрирующий, что уравнение КдФ допускает бесконечное число коммутирующих Пуассона сохраняющихся величин и полностью интегрируемо. Это открытие дало современную основу для понимания явления солитона: уединенная волна воссоздается в исходящем состоянии, потому что это единственный способ удовлетворить всем законам сохранения. Вскоре после GGKM Питер Лакс классно интерпретировал метод обратной задачи рассеяния в терминах изоспектральных деформаций и так называемых «пар Лакса».
Метод обратной задачи рассеяния имеет поразительное разнообразие обобщений и приложений в различных областях математики и физики. Сам Краскал был пионером некоторых обобщений, таких как существование бесконечно большого числа сохраняющихся величин для уравнения синус-Гордон. Это привело к открытию метода обратной задачи рассеяния для этого уравнения MJ Ablowitz, DJ Kaup, AC Newell и H. Segur (AKNS). Уравнение синус-Гордон - это релятивистское волновое уравнение в 1 + 1 измерениях, которое также демонстрирует солитонный феномен и которое стало важной моделью разрешимой релятивистской теории поля. В основополагающей работе, предшествовавшей AKNS, Захаров и Шабат открыли метод обратной задачи рассеяния для нелинейного уравнения Шредингера.
В настоящее время известно, что солитоны широко распространены в природе, от физики до биологии. В 1986 году Краскал и Забуски разделили Золотую медаль Говарда Поттса от Института Франклина «за вклад в математическую физику и первые творческие комбинации анализа и вычислений, но особенно за основополагающую работу по свойствам солитонов». Присуждая премию Стила 2006 г. Гарднеру, Грину, Крускалу и Миуре, Американское математическое общество заявило, что до их работы «не существовало общей теории для точного решения любого важного класса нелинейных дифференциальных уравнений». AMS добавила: «В приложениях к математике солитоны и их потомки (кинки, антикинки, инстантоны и бризеры) вошли и изменили такие разнообразные области, как нелинейная оптика, физика плазмы, а также науки об океане, атмосфере и планетах. Нелинейность претерпел революцию: от неудобства, которое нужно устранить, до нового инструмента, который можно использовать ".
Крускал получил Национальную медаль науки в 1993 году «за его влияние в качестве лидера нелинейной науки на протяжении более двух десятилетий в качестве главного архитектора теории солитонных решений нелинейных уравнений эволюции».
В статье, посвященной состоянию математики на рубеже тысячелетий, выдающийся математик Филип А. Гриффитс писал, что открытие интегрируемости уравнения КдФ «самым прекрасным образом продемонстрировало единство математики. и в математическом анализе, который является традиционным способом изучения дифференциальных уравнений. Оказывается, что можно понять решения этих дифференциальных уравнений с помощью некоторых очень элегантных конструкций в алгебраической геометрии. Решения также тесно связаны с теорией представлений в том смысле, что они оказывается, что уравнения имеют бесконечное количество скрытых симметрий. Наконец, они связаны с проблемами элементарной геометрии ».
В 80-е годы Крускал сильно заинтересовался уравнениями Пенлеве. Они часто возникают как симметричные редукции солитонных уравнений, и Крускала заинтриговала тесная связь, которая, по-видимому, существовала между свойствами, характеризующими эти уравнения, и полностью интегрируемыми системами. Большая часть его последующих исследований была продиктована желанием понять эту взаимосвязь и разработать новые прямые и простые методы изучения уравнений Пенлеве. Крускала редко удовлетворяли стандартные подходы к дифференциальным уравнениям.
Шесть уравнений Пенлеве обладают характерным свойством, называемым свойством Пенлеве: их решения однозначны вокруг всех особенностей, положение которых зависит от начальных условий. По мнению Крускала, поскольку это свойство определяет уравнения Пенлеве, следует иметь возможность начать с него, без каких-либо дополнительных ненужных структур, чтобы получить всю необходимую информацию об их решениях. Первым результатом было асимптотическое исследование уравнений Пенлеве с Налини Джоши, необычное для того времени тем, что оно не требовало использования связанных линейных задач. Его настойчивые сомнения в отношении классических результатов привели к прямому и простому методу, также разработанному вместе с Джоши, для доказательства свойства Пенлеве уравнений Пенлеве.
В более поздний период своей карьеры одним из главных интересов Крускала была теория сюрреалистических чисел. Сюрреалистические числа, которые определены конструктивно, обладают всеми основными свойствами и операциями действительных чисел. Они включают в себя действительные числа наряду со многими типами бесконечностей и бесконечно малых. Краскал внес свой вклад в создание теории, определение сюрреалистических функций и анализ их структуры. Он обнаружил замечательную связь между сюрреалистическими числами, асимптотикой и экспоненциальной асимптотикой. Главный открытый вопрос, поднятый Конвеем, Крускалом и Нортоном в конце 1970-х и исследованный Краскалом с большим упорством, заключается в том, обладают ли достаточно хорошо выполненные сюрреалистические функции определенными интегралами. На этот вопрос был дан отрицательный ответ в целом, для чего Conway et al. надеялись Костин, Фридман и Эрлих в 2015 году. Однако анализ Costin et al. показывает, что определенные интегралы действительно существуют для достаточно широкого класса сюрреалистических функций, для которых реализуется широкое понимание асимптотического анализа Краскалом. На момент смерти Крускал вместе с О. Костиным писал книгу по сюрреалистическому анализу.
Краскал ввел термин « асимптотология» для описания «искусства работы с прикладными математическими системами в предельных случаях». Он сформулировал семь принципов асимптотологии: 1. Принцип упрощения; 2. Принцип рекурсии; 3. Принцип толкования; 4. Принцип дикого поведения; 5. Принцип уничтожения; 6. Принцип максимального баланса; 7. Принцип математической бессмыслицы.
Термин асимптотология не так широко используется, как термин солитон. Асимптотические методы разного типа успешно использовались практически с момента зарождения самой науки. Тем не менее Крускал попытался показать, что асимптотология - это особая отрасль знания, в некотором смысле промежуточная между наукой и искусством. Его предложение оказалось очень плодотворным.
Объяснение графа Крускала В математическом магическом трюке с подсчетом Крускала доброволец выбирает число на циферблате. Начиная с 12, мы перемещаемся по часовой стрелке на то же количество пробелов, что и букв в написанном числе, с переносом. Снова перемещаемся по часовой стрелке на то же количество пробелов, что и букв в новом числе. После трех ходов мы приземляемся на один независимо от начального числа. Любые последующие действия не зависят от волонтерского выбора.
Крускал был удостоен нескольких наград за свою карьеру, в том числе:
