Аликвотная сумма

В теории чисел, аликвотная сумма s (n) положительного целого числа n является суммой всех собственных делителей n, то есть все делители числа n, кроме самого n. Его можно использовать для характеристики простых чисел, совершенных чисел, неполных чисел, избыточных чисел и неприкосновенных чисел, и для определения аликвотной последовательности числа.

• 1 Примеры
• 2 Характеризация классов чисел
• 3 Итерация
• 4 См. Также
• 5 Ссылки
• 6 Внешние ссылки

Например, правильные делители 15 (то есть положительные делители 15, которые не равны 15) равны 1, 3 и 5, поэтому аликвотная сумма 15 равна 9, то есть (1 + 3 + 5).

Значения s (n) для n = 1, 2, 3,...:

0, 1, 1, 3, 1, 6, 1, 7, 4, 8, 1, 16, 1, 10, 9, 15, 1, 21, 1, 22, 11, 14, 1, 36, 6, 16, 13, 28, 1, 42, 1, 31, 15, 20, 13, 55, 1, 22, 17, 50, 1, 54, 1, 40, 33, 26, 1, 76, 8, 43,... (последовательность A001065 в OEIS )

Pollack Pomerance (2016) пишут, что функция аликвотной суммы была одним из «любимых предметов исследования» Пола Эрдёша. Ее можно использовать для характеристики несколько известных классов чисел:

• 1 - единственное число, аликвотная сумма которого равна 0. Число является простым тогда и только тогда, когда его аликвотная сумма равна 1.
• Аликвотные суммы идеальное, недостаточное и избыточное числа равны, меньше и больше, чем само число, соответственно. квазиидеальные числа ( если такие числа существуют) - это числа n, кратные суммы которых равны n + 1. Почти совершенные числа (которые включают в себя степени двойки, являясь единственными известными такими числа) - это числа n, аликвотные суммы которых равны n - 1.
• Неприкасаемые числа - это числа, которые не являются аликвотной суммой любого другого числа. Их исследование восходит, по крайней мере, к Абу Мансур аль-Багдади (около 1000 г. н.э.), который заметил, что и 2, и 5 неприкосновенны. Эрдеш доказал, что их число бесконечно. Гипотеза о том, что 5 является единственным нечетным неприкасаемым числом, остается недоказанной, но она вытекает из формы гипотезы Гольдбаха вместе с наблюдением, что для полупростого числа pq аликвотная сумма равна p + q + 1.

Итерация функции суммы аликвот дает последовательность аликвот n, s (n), s (s (n)),... из неотрицательное целое число n (в этой последовательности мы определяем s (0) = 0). Остается неизвестным, всегда ли эти последовательности сходятся (предел последовательности должен быть 0 или совершенное число ), или они могут расходиться (т.е. предел последовательности не существует

• Функция делителя : сумма (x-й степени) положительных делителей числа

• Вайсштейн, Эрик У. "Ограниченная функция делителя". MathWorld.