Число Ахилла

Демонстрация с Cuisenaire стержни, из которых число 72 является могущественным

число Ахилла- это число, которое сильное, но не совершенная сила. Положительное целое число n является сильным числом, если для каждого простого множителя p числа n p также является делителем. Другими словами, каждый простой множитель появляется при факторизации как минимум в квадрате. Все числа Ахилла сильны. Однако не все сильные числа являются числами Ахилла: только те, которые не могут быть представлены как m, где m и k - положительные целые числа больше 1.

Числа Ахилла были названы в честь Ахилла, герой Троянской войны, тоже могущественный, но несовершенный. Сильные числа Ахилла - это числа Ахилла, тотентиенты Эйлера также являются числами Ахилла.

Число n = p 1p2…pkявляется сильным, если min (a 1 , a 2 ,…, a k ) ≥ 2. Если дополнительно gcd (a 1 , a 2 ,…, a k ) = 1 число является числом Ахилла.

Числа Ахилла до 5000:

72, 108, 200, 288, 392, 432, 500, 648, 675, 800, 864, 968, 972, 1125, 1152, 1323, 1352 , 1372, 1568, 1800, 1944, 2000, 2312, 2592, 2700, 2888, 3087, 3200, 3267, 3456, 3528, 3872, 3888, 4000, 4232, 4500, 4563, 4608, 5000 (последовательность A052486 в OEIS ).

Наименьшая пара последовательных чисел Ахилла:

5425069447 = 7 × 41 × 97

5425069448 = 2 × 26041

108 - сильное число. Его разложение на простые множители равно 2 · 3, и поэтому его простые делители равны 2 и 3. И 2 = 4, и 3 = 9 являются делителями 108. Однако 108 не может быть представлен как m, где m и k - положительные целые числа больше 1, поэтому 108 - это число Ахилла.

360 не является числом Ахилла, потому что оно не является мощным. Один из его простых множителей равен 5, но 360 - это число не делится на 5 = 25.

Наконец, 784 не является числом Ахилла. Это сильное число, потому что не только 2 и 7 являются его единственными простыми делителями, но также 2 = 4 и 7 = 49 ар. е его делители. Тем не менее, это идеальная степень:

$784\; =\; 2\; 4\; \cdot \; 7\; 2\; =\; (2\; 2)\; 2\; \cdot \; 7\; 2\; =\; (2\; 2\; \cdot \; 7)\; 2\; =\; 28\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; 784\; =\; 2\; ^\; \{4\}\; \backslash \; cdot\; 7\; ^\; \{2\}\; =\; (2\; ^\; \{2\})\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cdot\; 7\; ^\; \{2\}\; =\; (2\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cdot\; 7)\; ^\; \{2\; \}\; =\; 28\; ^\; \{2\}.\; \backslash ,\}$

Значит, это не число Ахилла.

500 = 2 × 5 - сильное число Ахилла, так как его равенство Эйлера 200 = 2 × 5 также является числом Ахилла.