Модель избирателя

В математической теории вероятности, то модель избиратель является система взаимодействия частиц представила Ричард А. Holley и Томас М. Liggett в 1975 году.

модель избирателя сосуществует на графике с двумя кластерами

Можно представить себе, что есть «избиратель» в каждой точке связного графа, где связи указывают на то, что существует некоторая форма взаимодействия между парой избирателей (узлов). Мнения любого избирателя по какому-либо вопросу меняются в случайные моменты под влиянием мнений его соседей. Мнение избирателя в любой момент времени может принимать одно из двух значений, обозначенных 0 и 1. В случайные моменты времени выбирается случайный человек, и мнение этого избирателя изменяется согласно стохастическому правилу. В частности, один из соседей выбранного избирателя выбирается в соответствии с заданным набором вероятностей, и мнение этого человека передается выбранному избирателю.

Альтернативная интерпретация - в терминах пространственного конфликта. Предположим, две страны контролируют области (наборы узлов), помеченные 0 или 1. Переход от 0 к 1 в данном месте указывает на вторжение в этот участок другой нацией.

Обратите внимание, что каждый раз происходит только один переворот. Проблемы, связанные с моделью избирателя, часто будут переделаны в терминах дуальной системы сливающихся цепей Маркова. Часто эти проблемы затем сводятся к другим, связанным с независимыми цепями Маркова.

• 1 Определение
  • 1.1 Кластеризация и сосуществование
• 2 Линейная модель избирателя
  • 2.1 Описание модели
  • 2.2 Ограничение поведения линейных моделей избирателей
  • 2.3 Специальная линейная модель избирателя
    • 2.3.1 Кластеры в одном измерении d = 1
    • 2.3.2 Время занятий
• 3 Пороговая модель избирателя
  • 3.1 Описание модели
  • 3.2 Ограничение поведения пороговой модели избирателя
  • 3.3 Модель с порогом T = 1
• 4 См. Также
• 5 Примечания
• 6 Ссылки

Модель избирателя - это марковский процесс (непрерывное время) с пространством состояний и функцией скоростей переходов, где - d-мерная целочисленная решетка, и •, • предполагается неотрицательной, равномерно ограниченной и непрерывной функцией в топологии продукта. на. Каждый компонент называется конфигурацией. Чтобы было понятно, что это значение узла x в конфигурации ; while означает значение сайта x в конфигурации в момент времени. ${\ displaystyle \ eta _ {t}}$${\ Displaystyle S = \ {0,1 \} ^ {Z ^ {d}}}$${\ Displaystyle с (х, \ eta)}$${\ displaystyle Z ^ {d}}$${\ displaystyle c (}$${\ displaystyle)}$${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ eta \ in S}$${\ Displaystyle \ eta (х)}$${\ displaystyle \ eta (.)}$${\ Displaystyle \ eta _ {т} (х)}$${\ displaystyle \ eta (.)}$${\ displaystyle t}$

Динамика процесса определяется набором коэффициентов перехода. Для моделей избирателей скорость, с которой происходит переворот от 0 до 1 или наоборот, задается функцией сайта. Обладает следующими свойствами: ${\ displaystyle \ scriptstyle x}$${\ Displaystyle с (х, \ eta)}$${\ displaystyle x}$

1. ${\ Displaystyle с (х, \ eta) = 0}$ для каждого если или если ${\ Displaystyle х \ в Z ^ {d}}$${\ Displaystyle \ эта \ эквив 0}$${\ Displaystyle \ эта \ эквив 1}$
2. ${\ Displaystyle с (х, \ eta) = с (х, \ zeta)}$ для всех, если для всех ${\ Displaystyle х \ в Z ^ {d}}$${\ Displaystyle \ эта (у) + \ дзета (у) = 1}$${\ displaystyle y \ in Z ^ {d}}$
3. ${\ Displaystyle с (х, \ эта) \ leq с (х, \ zeta)}$ если и ${\ displaystyle \ eta \ leq \ zeta}$${\ displaystyle \ eta (x) = \ zeta (x) = 0}$
4. ${\ Displaystyle с (х, \ eta)}$ инвариантен относительно сдвигов в ${\ displaystyle \ scriptstyle Z ^ {d}}$

Свойство (1) говорит, что и являются неподвижными точками эволюции. (2) указывает на то, что эволюция не изменилась, если поменять местами нули и единицы. В свойстве (3) означает, и следует, если, и следует, если. ${\ Displaystyle \ эта \ эквив 0}$${\ Displaystyle \ эта \ эквив 1}$${\ displaystyle \ eta \ leq \ zeta}$${\ displaystyle \ forall x, \ eta (x) \ leq \ zeta (x)}$${\ displaystyle \ eta \ leq \ zeta}$${\ Displaystyle с (х, \ эта) \ leq с (х, \ zeta)}$${\ displaystyle \ eta (x) = \ zeta (x) = 0}$${\ Displaystyle с (х, \ эта) \ geq с (х, \ zeta)}$${\ Displaystyle \ эта (х) = \ дзета (х) = 1}$

Кластеризация и сосуществование

Что нас интересует, так это ограничивающее поведение моделей. Поскольку скорость просмотра сайта зависит от его соседей, очевидно, что, когда все сайты принимают одно и то же значение, вся система перестает изменяться навсегда. Следовательно, модель избирателя имеет два тривиальных экстремальных стационарных распределения, точечные массы и on или соответственно, которые представляют консенсус. Главный вопрос, который мы будем обсуждать, заключается в том, существуют ли другие, которые тогда представляли бы сосуществование различных мнений в равновесии. Мы говорим, что сосуществование происходит, если существует стационарное распределение, которое концентрируется на конфигурациях с бесконечным количеством нулей и единиц. С другой стороны, если для всех и всех начальных конфигураций мы имеем: ${\ displaystyle \ scriptstyle \ delta _ {0}}$${\ displaystyle \ scriptstyle \ delta _ {1}}$${\ Displaystyle \ scriptstyle \ eta \ эквив 0}$${\ Displaystyle \ scriptstyle \ eta \ Equiv 1}$${\ displaystyle \ scriptstyle x, y \ in Z ^ {d}}$

${\ displaystyle \ lim _ {t \ rightarrow \ infty} P [\ eta _ {t} (x) \ neq \ eta _ {t} (y)] = 0}$

мы скажем, что происходит кластеризация.

Важно различать кластеризацию с концепцией кластера. Кластеры определяются как связанные компоненты или. ${\ displaystyle \ scriptstyle \ {x: \ eta (x) = 0 \}}$${\ displaystyle \ scriptstyle \ {x: \ eta (x) = 1 \}}$

Описание модели

Этот раздел будет посвящен одной из основных моделей избирателя - линейной модели избирателя.

Пусть •, • - вероятности перехода для неприводимого случайного блуждания по, и мы имеем: ${\ displaystyle \ scriptstyle p (}$${\ displaystyle \ scriptstyle)}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle Z ^ {d}}$

${\ displaystyle p (x, y) \ geq 0 \ quad {\ text {and}} \ sum _ {y} p (x, y) = 1}$

Тогда в линейной модели избирателя коэффициенты перехода являются линейными функциями: ${\ displaystyle \ scriptstyle \ eta}$

${\ displaystyle c (x, \ eta) = \ left \ {{\ begin {array} {l} \ sum _ {y} p (x, y) \ eta (y) \ quad {\ text {для всех} } \ quad \ eta (x) = 0 \\\ сумма _ {y} p (x, y) (1- \ eta (y)) \ quad {\ text {для всех}} \ quad \ eta (x) = 1 \\\ end {array}} \ right.}$

Или, если мы используем, чтобы указать, что на сайте происходит переворот, скорость перехода будет просто: ${\ displaystyle \ scriptstyle \ eta _ {x}}$${\ displaystyle \ scriptstyle x}$

${\ displaystyle \ eta \ rightarrow \ eta _ {x} \ quad {\ text {at rate}} \ sum _ {y: \ eta (y) \ neq \ eta (x)} p (x, y).}$

Мы определяем процесс объединения случайных блужданий следующим образом. Здесь обозначается набор сайтов, занятых этими случайными блужданиями в определенный момент. Для определения рассмотрим несколько (непрерывное время) случайных блужданий с единичным экспоненциальным временем удержания и вероятностями перехода •, •, и примем их независимыми до тех пор, пока два из них не встретятся. В это время две встретившиеся частицы сливаются в одну частицу, которая продолжает двигаться как случайное блуждание с вероятностями перехода •, •. ${\ displaystyle \ scriptstyle A_ {t} \ subset Z ^ {d}}$${\ displaystyle \ scriptstyle A_ {t}}$${\ displaystyle \ scriptstyle t}$${\ displaystyle \ scriptstyle A_ {t}}$${\ displaystyle \ scriptstyle Z ^ {d}}$${\ displaystyle \ scriptstyle p (}$${\ displaystyle \ scriptstyle)}$${\ displaystyle \ scriptstyle p (}$${\ displaystyle \ scriptstyle)}$

Концепция двойственности необходима для анализа поведения моделей избирателей. Линейные модели избирателей удовлетворяют очень полезной форме двойственности, известной как объединяющаяся двойственность, а именно:

${\ Displaystyle P ^ {\ eta} (\ eta _ {t} \ Equiv 1 \ quad {\ text {on}} A) = P ^ {A} (\ eta (A_ {t}) \ Equiv 1), }$

где - начальная конфигурация и - начальное состояние сливающихся случайных блужданий. ${\ displaystyle \ scriptstyle \ eta \ in \ {0,1 \} ^ {Z ^ {d}}}$${\ displaystyle \ scriptstyle \ eta _ {t}}$${\ displaystyle \ scriptstyle A = \ {x \ in Z ^ {d}, \ eta (x) = 1 \} \ subset Z ^ {d}}$${\ displaystyle \ scriptstyle A_ {t}}$

Ограничение поведения линейных моделей избирателей

Позвольте быть вероятностями перехода для неприводимого случайного блуждания на и, тогда соотношение двойственности для таких линейных моделей избирателей говорит, что ${\ displaystyle \ scriptstyle p (x, y)}$${\ displaystyle \ scriptstyle Z ^ {d}}$${\ displaystyle \ scriptstyle p (x, y) = p (0, xy)}$${\ Displaystyle \ scriptstyle \ forall \ eta \ in S = \ {0,1 \} ^ {Z ^ {d}}}$

${\ Displaystyle P ^ {\ eta} [\ eta _ {t} (x) \ neq \ eta _ {t} (y)] = P [\ eta (X_ {t}) \ neq \ eta (Y_ {t })]}$

где и являются (время непрерывного) случайные прогулки по с, и это позиция блуждания по времени. и формирует объединяющиеся случайные блуждания, описанные в конце раздела 2.1. является симметризованным случайным блужданием. Если повторяется, и, в конечном итоге, с вероятностью 1 попадет, и, следовательно ${\ displaystyle \ scriptstyle X_ {t}}$${\ displaystyle \ scriptstyle Y_ {t}}$${\ displaystyle \ scriptstyle Z ^ {d}}$${\ displaystyle \ scriptstyle X_ {0} = x}$${\ displaystyle \ scriptstyle Y_ {0} = y}$${\ displaystyle \ scriptstyle \ eta (X_ {t})}$${\ displaystyle \ scriptstyle t}$${\ displaystyle \ scriptstyle X_ {t}}$${\ displaystyle \ scriptstyle Y_ {t}}$${\ displaystyle \ scriptstyle X (t) -Y (t)}$${\ displaystyle \ scriptstyle X (t) -Y (t)}$${\ displaystyle \ scriptstyle d \ leq 2}$${\ displaystyle \ scriptstyle X_ {t}}$${\ displaystyle \ scriptstyle Y_ {t}}$

${\ Displaystyle P ^ {\ eta} [\ eta _ {t} (x) \ neq \ eta _ {t} (y)] = P [\ eta (X_ {t}) \ neq \ eta (Y_ {t })] \ leq P [X_ {t} \ neq Y_ {t}] \ rightarrow 0 \ quad {\ text {as}} \ quad t \ to 0}$

Следовательно, процесс группируется.

С другой стороны, когда система сосуществует. Это связано с тем, что для является временным, поэтому существует положительная вероятность того, что случайные блуждания никогда не достигнут, и, следовательно, для ${\ displaystyle d \ geq 3}$${\ displaystyle \ scriptstyle d \ geq 3}$${\ displaystyle \ scriptstyle X (t) -Y (t)}$${\ displaystyle \ scriptstyle x \ neq y}$

${\ displaystyle \ lim _ {t \ rightarrow \ infty} P [\ eta _ {t} (x) \ neq \ eta _ {t} (y)] = C \ lim _ {t \ rightarrow \ infty} P [ X_ {t} \ neq Y_ {t}]gt; 0}$

для некоторой константы, соответствующей начальному распределению. ${\ displaystyle C}$

Теперь позвольте быть симметризованным случайным блужданием, имеем следующие теоремы: ${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ тильда {X}} (t) = X (t) -Y (t)}$

Теорема 2.1.

Линейная модель избирателя группируется, если она повторяется, и сосуществует, если она временна. Особенно, ${\ displaystyle \ scriptstyle \ eta _ {t}}$${\ displaystyle \ scriptstyle {\ tilde {X}} _ {t}}$${\ displaystyle \ scriptstyle {\ tilde {X}} _ {t}}$

1. процесс группируется, если и, или если и ; ${\ displaystyle \ scriptstyle d = 1}$${\ displaystyle \ scriptstyle \ sum _ {x} | x | p (0, x) \ leq \ infty}$${\ displaystyle \ scriptstyle d = 2}$${\ displaystyle \ scriptstyle \ sum _ {x} | x | ^ {2} p (0, x) \ leq \ infty}$
2. процесс сосуществует, если. ${\ displaystyle \ scriptstyle d \ geq 3}$

Примечания : Чтобы сопоставить это с поведением пороговых моделей избирателей, которые будут обсуждаться в следующем разделе, обратите внимание на то, что кластеризация линейной модели избирателя или сосуществование зависит почти исключительно от размера набора сайтов, а не от размера диапазон взаимодействия.

Теорема 2.2. Предположим, что любая трансляционная пространственно эргодическая и инвариантная вероятностная мера на пространстве состояний, тогда ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ mu}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle S = \ {0,1 \} ^ {Z ^ {d}}}$

1. Если повторяется, то ; ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ tilde {X}} _ {t}}$${\ displaystyle \ scriptstyle \ mu S (t) \ Rightarrow \ rho \ delta _ {1} + (1- \ rho) \ delta _ {0} \ quad {\ text {as}} \ quad t \ to \ infty }$
2. Если преходяще, то. ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ tilde {X}} _ {t}}$${\ Displaystyle \ scriptstyle \ mu S (т) \ Rightarrow \ mu _ {\ rho}}$

где - распределение ; означает слабую сходимость, является нетривиальной экстремальной инвариантной мерой и. ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ mu S (т)}$${\ displaystyle \ scriptstyle \ eta _ {t}}$${\ displaystyle \ scriptstyle \ Rightarrow}$${\ Displaystyle \ scriptstyle \ mu _ {\ rho}}$${\ Displaystyle \ scriptstyle \ rho = \ му (\ {\ eta: \ eta (x) = 1 \})}$

Специальная линейная модель избирателя

Одним из интересных частных случаев линейной модели избирателя, известной как базовая линейная модель избирателя, является модель для пространства состояний: ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ {0,1 \} ^ {Z ^ {d}}}$

${\ displaystyle p (x, y) = {\ begin {case} 1 / 2d amp; {\ text {if}} | xy | = 1 {\ text {and}} \ eta (x) \ neq \ eta (y) \\ [8pt] 0 amp; {\ text {иначе}} \ end {case}}}$

Так что

${\ displaystyle \ eta _ {t} (x) \ to 1- \ eta _ {t} (x) \ quad {\ text {at rate}} \ quad (2d) ^ {- 1} | \ {y: | yx | = 1, \ eta _ {t} (y) \ neq \ eta _ {t} (x) \} |}$

В этом случае процесс кластеризуется, если, а сосуществует, если. Эта дихотомия тесно связана с тем фактом, что простое случайное блуждание является повторяющимся, если и временным, если. ${\ displaystyle \ scriptstyle d \ leq 2}$${\ displaystyle \ scriptstyle d \ geq 3}$${\ displaystyle \ scriptstyle Z ^ {d}}$${\ displaystyle \ scriptstyle d \ leq 2}$${\ displaystyle \ scriptstyle d \ geq 3}$

Кластеры в одном измерении d = 1

Для частного случая с, и для каждого. Мы знаем, что из теоремы 2.2, что, таким образом, кластеризация происходит в данном случае. Цель этого раздела - дать более точное описание этой кластеризации. ${\ displaystyle \ scriptstyle d = 1}$${\ Displaystyle \ scriptstyle S = Z ^ {1}}$${\ displaystyle \ scriptstyle p (x, x + 1) = p (x, x-1) = {\ frac {1} {2}}}$${\ displaystyle \ scriptstyle x}$${\ displaystyle \ scriptstyle \ mu S (t) \ Rightarrow \ rho \ delta _ {1} + (1- \ rho) \ delta _ {0}}$

Как упоминалось ранее, кластеры объекта определяются как связанные компоненты объекта или. Средний размер кластера для определяется как: ${\ displaystyle \ scriptstyle \ eta}$${\ displaystyle \ scriptstyle \ {x: \ eta (x) = 0 \}}$${\ displaystyle \ scriptstyle \ {x: \ eta (x) = 1 \}}$${\ displaystyle \ scriptstyle \ eta}$

${\ displaystyle C (\ eta) = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {2n} {{\ text {количество кластеров в}} [- n, n]}}}$

при условии, что лимит существует.

Предложение 2.3.

Предположим, что модель избирателя имеет начальное распределение и является вероятностной мерой, инвариантной относительно перевода, тогда ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ mu}$${\ Displaystyle \ scriptstyle \ mu}$

${\ displaystyle P \ left (C (\ eta) = {\ frac {1} {P [\ eta _ {t} (0) \ neq \ eta _ {t} (1)]}} \ right) = 1.}$

Время занятия

Определите функционалы времени занятости базовой линейной модели избирателя как:

${\ displaystyle T_ {t} ^ {x} = \ int _ {0} ^ {t} \ eta _ {s} ^ {\ rho} (x) \ mathrm {d} s.}$

Теорема 2.4.

Предположим, что для всех узлов x и времени t, тогда as, почти наверняка, если ${\ Displaystyle \ scriptstyle P (\ eta _ {t} (x) = 1) = \ rho}$${\ Displaystyle \ scriptstyle т \ rightarrow \ infty}$${\ displaystyle \ scriptstyle T_ {t} ^ {x} / t \ ​​rightarrow \ rho}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle d \ geq 2}$

доказательство

По неравенству Чебышева и лемме Бореля – Кантелли мы можем получить следующее уравнение:

${\ displaystyle P \ left ({\ frac {\ rho} {r}} \ leq \ lim \ inf _ {t \ rightarrow \ infty} {\ frac {T_ {t}} {t}} \ leq \ lim \ sup _ {t \ rightarrow \ infty} {\ frac {T_ {t}} {t}} \ leq \ rho r \ right) = 1; \ quad \ forall rgt; 1}$

Теорема следует при разрешении. ${\ displaystyle \ scriptstyle r \ searchrow 1}$

Описание модели

В этом разделе мы сконцентрируемся на разновидности нелинейных моделей избирателей, известных как пороговая модель избирателя.

Чтобы определить его, позвольте быть окрестностью, которая получается пересечением с любым компактным, выпуклым, симметричным множеством в ; другими словами, предполагается, что это конечное множество, симметричное относительно всех отражений и неприводимое (т. е. порождаемая им группа такова). Мы всегда будем предполагать, что оно содержит все единичные векторы. Для положительного целого числа пороговая модель избирателя с соседством и порогом - это модель с функцией оценки: ${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {N}}}$${\ displaystyle \ scriptstyle 0 \ in Z ^ {d}}$${\ displaystyle \ scriptstyle Z ^ {d}}$${\ displaystyle \ scriptstyle R ^ {d}}$${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {N}}}$${\ displaystyle \ scriptstyle Z ^ {d}}$${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {N}}}$${\ Displaystyle \ scriptstyle (1,0,0, \ точки, 0), \ точки, (0, \ точки, 0,1)}$${\ displaystyle \ scriptstyle T}$${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {N}}}$${\ displaystyle \ scriptstyle T}$

${\ displaystyle c (x, \ eta) = \ left \ {{\ begin {array} {l} 1 \ quad {\ text {if}} \ quad | \ {y \ in x + {\ mathcal {N}}: \ eta (y) \ neq \ eta (x) \} | \ geq T \\ 0 \ quad {\ text {иначе}} \\\ end {array}} \ right.}$

Проще говоря, скорость перехода сайта равна 1, если количество сайтов, которые не принимают одно и то же значение, больше или равно пороговому значению T. В противном случае сайт остается в текущем состоянии и не будет переключаться. ${\ displaystyle \ scriptstyle x}$${\ displaystyle \ scriptstyle x}$

Например, если, и, тогда конфигурация является поглощающим состоянием или ловушкой для процесса. ${\ displaystyle \ scriptstyle d = 1}$${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {N}} = \ {- 1,0,1 \}}$${\ displaystyle \ scriptstyle T = 2}$${\ displaystyle \ scriptstyle \ dots 1 \ quad 1 \ quad 0 \ quad 0 \ quad 1 \ quad 1 \ quad 0 \ quad 0 \ dots}$

Ограничение поведения пороговой модели избирателя

Если пороговая модель избирателя не фиксируется, мы должны ожидать, что процесс будет сосуществовать для малого порога и кластера для большого порога, где большие и маленькие интерпретируются как относящиеся к размеру района. Интуиция подсказывает, что наличие небольшого порога облегчает выполнение переворотов, поэтому вполне вероятно, что всегда будет много нулей и единиц. Ниже приведены три основных результата: ${\ Displaystyle \ scriptstyle | {\ mathcal {N}} |}$

1. Если, то процесс фиксируется в том смысле, что каждый сайт переворачивается очень часто. ${\ displaystyle \ scriptstyle Tgt; {\ frac {| {\ mathcal {N}} | -1} {2}}}$
2. Если и, то процесс группируется. ${\ displaystyle \ scriptstyle d = 1}$${\ displaystyle \ scriptstyle T = {\ frac {| {\ mathcal {N}} | -1} {2}}}$
3. Если с достаточно малым () и достаточно большим, то процесс сосуществует. ${\ Displaystyle \ scriptstyle T = \ theta | {\ mathcal {N}} |}$${\ Displaystyle \ scriptstyle \ theta}$${\ displaystyle \ scriptstyle \ theta lt;{\ frac {1} {4}}}$${\ Displaystyle \ scriptstyle | {\ mathcal {N}} |}$

Вот две теоремы, соответствующие свойствам (1) и (2).

Теорема 3.1.

Если, то процесс фиксируется. ${\ displaystyle \ scriptstyle Tgt; {\ frac {| {\ mathcal {N}} | -1} {2}}}$

Теорема 3.2.

Пороговая модель избирателя в одном измерении () с кластерами. ${\ displaystyle \ scriptstyle d = 1}$${\ displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {N}} = \ {- T, \ dots, T \}, T \ geq 1}$

доказательство

Идея доказательства состоит в том, чтобы построить две последовательности случайных моментов времени, для со следующими свойствами: ${\ displaystyle \ scriptstyle U_ {n}}$${\ displaystyle \ scriptstyle V_ {n}}$${\ Displaystyle \ scriptstyle п \ geq 1}$

1. ${\ displaystyle \ scriptstyle 0 = V_ {0} lt;U_ {1} lt;V_ {1} lt;U_ {2} lt;V_ {2} lt;\ dots}$,
2. ${\ displaystyle \ scriptstyle \ {U_ {k + 1} -V_ {k}, k \ geq 0 \}}$ iidwith, ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ mathrm {E} (U_ {k + 1} -V_ {k}) lt;\ infty}$
3. ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ {V_ {k} -U_ {k}, k \ geq 1 \}}$ iidwith, ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ mathrm {E} (V_ {k} -U_ {k}) = \ infty}$
4. случайные величины в (b) и (c) не зависят друг от друга,
5. событие A = постоянно, а событие A выполняется для каждого. ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ {\ eta _ {t} (.)}$${\ Displaystyle \ scriptstyle \ {- Т, \ точки, Т \} \}}$${\ displaystyle \ scriptstyle t \ in \ cup _ {k = 1} ^ {\ infty} [U_ {k}, V_ {k}]}$

Как только эта конструкция будет построена, из теории восстановления будет следовать, что

${\ Displaystyle P (A) \ geq P (t \ in \ cup _ {k = 1} ^ {\ infty} [U_ {k}, V_ {k}]) \ to 1 \ quad {\ text {as} } \ quad t \ to \ infty}$

Следовательно, так что процесс кластеризуется. ${\ displaystyle \ scriptstyle \ lim _ {t \ rightarrow \ infty} P (\ eta _ {t} (1) \ neq \ eta _ {t} (0)) = 0}$

Примечания: (a) Пороговые модели в более высоких измерениях не обязательно группируются, если. Например, возьмите и. Если постоянно на чередующихся вертикальных бесконечных полосах, то есть для всех: ${\ displaystyle \ scriptstyle T = {\ frac {| {\ mathcal {N}} | -1} {2}}}$${\ displaystyle \ scriptstyle d = 2, T = 2}$${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {N}} = \ {(0,0), (0,1), (1,0), (0, -1), (- 1,0) \}}$${\ displaystyle \ scriptstyle \ eta}$${\ displaystyle \ scriptstyle i, j}$

${\ displaystyle \ eta (4i, j) = \ eta (4i + 1, j) = 1, \ quad \ eta (4i + 2, j) = \ eta (4i + 3, j) = 0}$

тогда никакого перехода не происходит, и процесс фиксируется.

(b) В предположении теоремы 3.2 процесс не фиксируется. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим исходную конфигурацию, в которой за бесконечным числом нулей следует бесконечно много единиц. Тогда только нуль и единица на границе могут переворачиваться, так что конфигурация всегда будет выглядеть одинаково, за исключением того, что граница будет двигаться как простое симметричное случайное блуждание. Тот факт, что это случайное блуждание является повторяющимся, означает, что каждый сайт переключается бесконечно часто. ${\ displaystyle \ scriptstyle \ dots 000111 \ dots}$

Свойство 3 указывает на то, что пороговая модель избирателя сильно отличается от линейной модели избирателя в том смысле, что сосуществование происходит даже в одном измерении, при условии, что район не слишком мал. Пороговая модель имеет дрейф в сторону «местного меньшинства», чего нет в линейном случае.

Большинство доказательств сосуществования пороговых моделей избирателей основаны на сравнении с гибридной моделью, известной как процесс порогового контакта с параметром. Это процесс с коэффициентами переворачивания: ${\ displaystyle \ scriptstyle \ lambdagt; 0}$${\ Displaystyle \ scriptstyle [0,1] ^ {Z ^ {d}}}$

${\ displaystyle c (x, \ eta) = \ left \ {{\ begin {array} {l} \ lambda \ quad {\ text {if}} \ quad \ eta (x) = 0 \ quad {\ text { и}} | \ {y \ in x + {\ mathcal {N}}: \ eta (y) = 1 \} | \ geq T; \\ 1 \ quad {\ text {if}} \ quad \ eta (x) = 1; \\ 0 \ quad {\ text {иначе}} \ end {array}} \ right.}$

Предложение 3.3.

Для любого и, если пороговый процесс контакта с имеет нетривиальную инвариантную меру, то пороговая модель избирателя сосуществует. ${\ displaystyle \ scriptstyle d, {\ mathcal {N}}}$${\ displaystyle \ scriptstyle T}$${\ displaystyle \ scriptstyle \ lambda = 1}$

Модель с порогом T = 1

Случай, который представляет особый интерес, потому что это единственный случай, в котором мы в настоящее время точно знаем, какие модели сосуществуют, а какие кластеры. ${\ displaystyle \ scriptstyle T = 1}$

В частности, нас интересует своего рода модель Порога T = 1, которая определяется как: ${\ displaystyle \ scriptstyle c (x, \ eta)}$

${\ displaystyle c (x, \ eta) = \ left \ {{\ begin {array} {l} 1 \ quad {\ text {, если он существует}} \ quad y \ quad {\ text {with}} \ quad | xy | \ leq N \ quad {\ text {and}} \ quad \ eta (x) \ neq \ eta (y) \\ 0 \ quad {\ text {в противном случае}} \\\ end {array}} \ верно.}$

${\ displaystyle \ scriptstyle N}$ можно интерпретировать как радиус окрестности ; определяет размер окрестности (т. е. если, то ; в то время как для, соответствующий). ${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {N}}}$${\ displaystyle \ scriptstyle N}$${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {N}} _ {1} = \ {- 2, -1,0,1,2 \}}$${\ Displaystyle \ scriptstyle N_ {1} = 2}$${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {N}} _ {2} = \ {(0,0), (0,1), (1,0), (0, -1), (- 1,0) \}}$${\ Displaystyle \ scriptstyle N_ {2} = 1}$

По теореме 3.2, модели с и кластеров. Следующая теорема показывает, что для всех других вариантов и модель сосуществует. ${\ displaystyle \ scriptstyle d = 1}$${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {N}} = \ {- 1,0,1 \}}$${\ displaystyle \ scriptstyle d}$${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {N}}}$

Теорема 3.4.

Допустим, но. Тогда пороговая модель с параметром сосуществует. ${\ displaystyle \ scriptstyle N \ geq 1}$${\ Displaystyle \ scriptstyle (N, d) \ neq (1,1)}$${\ displaystyle \ scriptstyle Z ^ {d}}$${\ displaystyle \ scriptstyle N}$

Доказательство этой теоремы дается в статье Томаса М. Лиггетта «Сосуществование в пороговых моделях избирателей».

• Вероятностные клеточные автоматы
• последовательная динамическая система
• контактный процесс

• Клиффорд, Питер; Эйдан В. Садбери (1973). «Модель пространственного конфликта». Биометрика. 60 (3): 581–588. DOI : 10.1093 / Biomet / 60.3.581.
• Лиггетт, Томас М. (1997). «Стохастические модели взаимодействующих систем». Летопись вероятности. Институт математической статистики. 25 (1): 1-29. DOI : 10.1214 / AOP / 1024404276. ISSN   0091-1798.
• Лиггетт, Томас М. (1994). «Сосуществование в моделях порогового избирателя». Летопись вероятности. 22 (2): 764–802. DOI : 10.1214 / AOP / 1176988729.
• Кокс, Дж. Теодор; Дэвид Гриффит (1983). «Теоремы о временном ограничении для модели избирателя». Летопись вероятности. 11 (4): 876–893. DOI : 10.1214 / AOP / 1176993438.
• Дарретт, Ричард ; Кестен, Гарри (1991). Случайные блуждания, броуновское движение и системы взаимодействующих частиц. ISBN   0817635092.
• Лиггетт, Томас М. (1985). Системы взаимодействующих частиц. Нью-Йорк: Springer Verlag. ISBN   0-387-96069-4.
• Томас М. Лиггетт, "Стохастические взаимодействующие системы: контакт, избиратель и процессы исключения", Springer-Verlag, 1999.