модель ветровой турбулентности фон Кармана - von Kármán wind turbulence model

редактировать

модель ветровой турбулентности фон Кармана (также известная как von Kármán gusts ) представляет собой математическую модель непрерывных порывов ветра. Она лучше соответствует наблюдаемым непрерывным порывам порывов, чем Модель турбулентности ветра Драйдена, и является предпочтительной моделью Министерства обороны США в большинстве приложений для проектирования и моделирования самолетов. Модель фон Кармана рассматривает компоненты линейной и угловой скорости непрерывных порывов ветра как пространственно изменяющиеся стохастические процессы и определяет спектральную плотность мощности каждого компонента. Модель турбулентности ветра фон Кармана характеризуется иррациональной спектральной плотностью мощности, поэтому могут быть разработаны фильтры, принимающие белый шум на входе и выходные случайные процессы с аппроксимированными спектральными плотностями мощности порывов фон Кармана..

Содержание

1 История
2 Спектральные плотности мощности
3 Спектральная факторизация
4 Зависимость от высоты
5 См. Также
6 Примечания
7 Ссылки

История

Модель ветровой турбулентности фон Кармана впервые появилась в 1957 г. NACA отчет, основанный на более ранней работе Теодора фон Кармана.

Спектральные плотности мощности

Модель фон Кармана характеризуется спектральными плотностями мощности для трех линейных компонент скорости порывов (u g,vg,wg),

$Φ ug (Ω) = σ u 2 2 L u π 1 (1 + (1.339 L u Ω) 2) 5 6 Φ vg (Ω) = σ v 2 2 L v π 1 + 8 3 (2.678 L v Ω) 2 (1 + (2.678 L v Ω) 2) 11 6 Φ wg (Ω) = σ w 2 2 L w π 1 + 8 3 (2,678 L w Ω) 2 (1 + (2,678 L w Ω) 2) 11 6 {\ displaystyle {\ begin {align} \ Phi _ {u_ {g}} (\ Omega) = \ sigma _ {u} ^ {2} {\ frac {2L_ {u}} {\ pi}} {\ frac {1} {\ left (1+ (1.339L_ {u} \ Omega) ^ {2} \ right) ^ {\ frac {5} {6}}}} \\\ Phi _ {v_ {g}} (\ Omega) = \ sigma _ {v} ^ {2} {\ frac {2L_ {v}} { \ pi}} {\ frac {1 + {\ frac {8} {3}} (2.678L_ {v} \ Omega) ^ {2}} {\ left (1+ (2.678L_ {v} \ Omega) ^ {2} \ right) ^ {\ frac {11} {6}}}} \\\ Phi _ {w_ {g}} (\ Omega) = \ sigma _ {w} ^ {2} {\ frac {2L_ {w}} {\ pi}} {\ frac {1 + {\ frac {8} {3}} (2.678L_ {w} \ Omega) ^ {2}} {\ left (1+ (2.678L_ {w} \ Omega) ^ {2} \ right) ^ {\ frac {11} {6}}}} \ end {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {выровнено} \ Phi _ {u_ {g}} (\ Omega) = \ sigma _ {u} ^ {2} {\ frac {2L_ {u}} {\ pi}} {\ frac {1} {\ влево (1+ (1.339L_ {u} \ Omega) ^ {2} \ right) ^ {\ frac {5} {6}}}} \\\ Phi _ {v_ {g}} (\ Omega) = \ sigma _ {v} ^ {2} {\ frac {2L_ {v}} {\ pi}} {\ frac {1 + {\ frac {8} {3}} (2.678L_ {v} \ Omega) ^ {2}} {\ left (1+ (2.678L_ {v} \ Omega) ^ {2} \ right) ^ {\ frac {11} {6}}}} \\\ Phi _ {w_ {g}} (\ Omega) = \ sigma _ {w} ^ {2} {\ frac {2L_ {w}} {\ pi}} {\ frac {1 + {\ frac {8} {3}} (2.678L_ { w} \ Omega) ^ {2}} {\ left (1+ (2.678L_ {w} \ Omega) ^ {2} \ right) ^ {\ frac {11} {6}}}} \ end {выровнено} }}$

где σ i и L i - интенсивность турбулентности и масштабная длина соответственно для i-го компонента скорости, Ω - пространственная частота. Эти спектральные плотности мощности определяют пространственные вариации случайного процесса, но любые временные вариации зависят от движения транспортного средства через поле скорости порыва. Скорость, с которой транспортное средство движется через поле порывов ветра V, позволяет преобразовывать эти спектральные плотности мощности в различные типы частот,

$Ω = ω V Φ i (Ω) = V Φ i (ω) {\ displaystyle {\ begin {выровнено} \ Omega = {\ frac {\ omega} {V}} \\\ Phi _ {i} (\ Omega) = V \ Phi _ {i} \ left (\ omega \ right) \ end {выровнено}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ Omega = {\ frac {\ omega} {V }} \\\ Phi _ {i} (\ Omega) = V \ Phi _ {i} \ left (\ omega \ right) \ end {align}}}$

где ω имеет единицы радиан в единицу времени.

Компоненты угловой скорости порыва (p g,qg,rg) определяются как вариации составляющих линейной скорости вдоль различных осей транспортного средства,

$pg = ∂ wg ∂ yqg = ∂ wg ∂ xrg = - ∂ vg ∂ Икс {\ Displaystyle {\ begin {align} p_ {g} = {\ frac {\ partial w_ {g}} {\ partial y}} \\ q_ {g} = {\ frac {\ partial w_ {g}} {\ partial x}} \\ r_ {g} = - {\ frac {\ partial v_ {g}} {\ partial x}} \ end {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} p_ {g} = {\ frac {\ partial w_ {g}} {\ partial y}} \\ q_ {g} = {\ frac {\ partial w_ {g}} {\ partial x}} \\ r_ {g} = - {\ frac {\ partial v_ {g}} {\ partial x}} \ end {align}}}$

с разными знаками. может использоваться в некоторых источниках. Спектральные плотности мощности для компонентов угловой скорости равны

$Φ pg (ω) = σ w 2 2 VL w 0.8 (2 π L w 4 b) 1 3 1 + (4 b ω π V) 2 Φ qg (ω) = ± (ω V) 2 1 + (4 b ω π V) 2 Φ wg (ω) Φ rg (ω) = ∓ (ω V) 2 1 + (3 b ω π V) 2 Φ vg (ω) {\ displaystyle {\ begin {align} \ Phi _ {p_ {g}} (\ omega) = {\ frac {\ sigma _ {w} ^ {2}} {2VL_ {w}}} {\ frac { 0,8 \ left ({\ frac {2 \ pi L_ {w}} {4b}} \ right) ^ {\ frac {1} {3}}} {1+ \ left ({\ frac {4b \ omega} { \ pi V}} \ right) ^ {2}}} \\\ Phi _ {q_ {g}} (\ omega) = {\ frac {\ pm \ left ({\ frac {\ omega} {V} } \ right) ^ {2}} {1+ \ left ({\ frac {4b \ omega} {\ pi V}} \ right) ^ {2}}} \ Phi _ {w_ {g}} (\ omega) \\\ Phi _ {r_ {g}} (\ omega) = {\ frac {\ mp \ left ({\ frac {\ omega} {V}} \ right) ^ {2}} {1+ \ left ({\ frac {3b \ omega} {\ pi V}} \ right) ^ {2}}} \ Phi _ {v_ {g}} (\ omega) \ end {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ Phi _ {p_ {g}} ( \ omega) = {\ frac {\ sigma _ {w} ^ {2}} {2VL_ {w}}} {\ frac {0.8 \ left ({\ frac {2 \ pi L_ {w}} {4b} } \ right) ^ {\ frac {1} {3}}} {1+ \ left ({\ frac {4b \ omega} {\ pi V}} \ right) ^ {2}}} \\\ Phi _ {q_ {g}} (\ omega) = {\ frac {\ pm \ left ({\ frac {\ omega} {V}} \ right) ^ {2}} {1+ \ left ({\ frac { 4b \ omega} {\ pi V}} \ right) ^ {2}}} \ Phi _ {w_ {g}} (\ omega) \\\ Phi _ {r_ {g}} (\ omega) = { \ frac {\ mp \ left ({\ frac {\ omega} {V}} \ right) ^ {2}} {1+ \ left ({\ frac {3b \ omega} {\ pi V}} \ right) ^ {2}}} \ Phi _ {v_ {g}} (\ omega) \ end {align}}}$

Военные в спецификациях приведены критерии, основанные на производных устойчивости транспортного средства, чтобы определить, являются ли компоненты угловой скорости порыва значительными.

Спектральная факторизация

Порывы, создаваемые Модель фон Кармана не является процессом белого шума и поэтому может упоминаться как цветной шум. Цветной шум может в некоторых случаях генерироваться как выход минимально-фазового линейного фильтра посредством процесса, известного как спектральная факторизация. Рассмотрим линейную инвариантную во времени систему с входом белого шума, который имеет единицу дисперсии, передаточную функцию G (s) и выход y (t). Спектральная плотность мощности y (t) равна

$Φ y (ω) = | G (i ω) | 2 {\ displaystyle \ Phi _ {y} (\ omega) = | G (i \ omega) | ^ {2}}$ ${\ dis playstyle \ Phi _ {y} (\ omega) = | G (я \ omega) | ^ {2}}$

, где я = -1. Для иррациональных спектральных плотностей мощности, таких как модель фон Кармана, может быть найдена подходящая передаточная функция, квадрат величины которой, вычисленный вдоль мнимой оси, аппроксимирует спектральную плотность мощности. Документация MATLAB обеспечивает реализацию такой передаточной функции для порывов фон Кармана, которая согласуется с военными спецификациями,

$G ug (s) = σ u 2 L u π V (1 + 0,25 L u V s) 1 + 1,357 L u V s + 0,1987 (L u V s) 2 G vg (s) = σ v 2 L v π V (1 + 2,7478 2 L v V s + 0,3398 (2 L v V s)) 2) 1 + 2.9958 2 L v V s + 1.9754 (2 L v V V s) 2 + 0,1539 (2 L v V s) 3 G wg (s) = σ w 2 L w π V (1 + 2.7478 2 L w V s + 0,3398 (2 L w V s) 2) 1 + 2,9958 2 L w V s + 1,9754 (2 L w V s) 2 + 0,1539 (2 L w V s) 3 G pg (s) = σ w 0,8 В (π 4 b) 1 6 (2 L w) 1 3 (1 + 4 b π V s) G qg (s) = ± s V 1 + 4 b π V s G wg (s) G rg (s) Знак равно ∓ s V 1 + 3 б π V s G vg (s) {\ displaystyle {\ begin {align} G_ {u_ {g}} (s) = {\ frac {\ sigma _ {u} {\ sqrt {\ frac {2L_ {u}} {\ pi V}}} \ left (1 + 0,25 {\ frac {L_ {u}} {V}} s \ right)} {1 + 1,357 {\ frac {L_ {u}} {V}} s + 0,1987 \ left ({\ frac {L_ {u}} {V}} s \ right) ^ {2}}} \\ G_ {v_ {g}} (s) = {\ frac {\ sigma _ {v} {\ sqrt {\ frac {2L_ {v}} {\ pi V}}} \ left (1 + 2.7478 {\ f rac {2L_ {v}} {V}} s + 0,3398 \ left ({\ frac {2L_ {v}} {V}} s \ right) ^ {2} \ right)} {1 + 2.9958 {\ frac { 2L_ {v}} {V}} s + 1.9754 \ left ({\ frac {2L_ {v}} {V}} s \ right) ^ {2} +0.1539 \ left ({\ frac {2L_ {v}} {V}} s \ right) ^ {3}}} \\ G_ {w_ {g}} (s) = {\ frac {\ sigma _ {w} {\ sqrt {\ frac {2L_ {w}} {\ pi V}}} \ left (1 + 2.7478 {\ frac {2L_ {w}} {V}} s + 0.3398 \ left ({\ frac {2L_ {w}} {V}} s \ right) ^ {2} \ right)} {1 + 2.9958 {\ frac {2L_ {w}} {V}} s + 1.9754 \ left ({\ frac {2L_ {w}} {V}} s \ right) ^ {2 } +0.1539 \ left ({\ frac {2L_ {w}} {V}} s \ right) ^ {3}}} \\ G_ {p_ {g}} (s) = \ sigma _ {w} { \ sqrt {\ frac {0.8} {V}}} {\ frac {\ left ({\ frac {\ pi} {4b}} \ right) ^ {\ frac {1} {6}}} {(2L_ { w}) ^ {\ frac {1} {3}} \ left (1 + {\ frac {4b} {\ pi V}} s \ right)}} \\ G_ {q_ {g}} (s) = {\ frac {\ pm {\ frac {s} {V}}} {1 + {\ frac {4b} {\ pi V}} s}} G_ {w_ {g}} (s) \\ G_ { r_ {g}} (s) = {\ frac {\ mp {\ frac {s} {V}}} {1 + {\ frac {3b} {\ pi V}} s}} G_ {v_ {g }} (s) \ end {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} G_ {u_ {g}} (s) = {\ frac {\ sigma _ {u} {\ sqrt {\ frac {2L_ {u}) } {\ pi V}}} \ left ( 1 + 0,25 {\ frac {L_ {u}} {V}} s \ right)} {1 + 1,357 {\ frac {L_ {u}} {V}} s + 0,1987 \ left ({\ frac {L_ { u}} {V}} s \ right) ^ {2}}} \\ G_ {v_ {g}} (s) = {\ frac {\ sigma _ {v} {\ sqrt {\ frac {2L_ { v}} {\ pi V}}} \ left (1 + 2.7478 {\ frac {2L_ {v}} {V}} s + 0,3398 \ left ({\ frac {2L_ {v}} {V}} s \ справа) ^ {2} \ right)} {1 + 2.9958 {\ frac {2L_ {v}} {V}} s + 1.9754 \ left ({\ frac {2L_ {v}} {V}} s \ right) ^ {2} +0.1539 \ left ({\ frac {2L_ {v}} {V}} s \ right) ^ {3}}} \\ G_ {w_ {g}} (s) = {\ frac { \ sigma _ {w} {\ sqrt {\ frac {2L_ {w}} {\ pi V}}} \ left (1 + 2,7478 {\ frac {2L_ {w}} {V}} s + 0,3398 \ left ( {\ frac {2L_ {w}} {V}} s \ right) ^ {2} \ right)} {1 + 2.9958 {\ frac {2L_ {w}} {V}} s + 1.9754 \ left ({\ frac {2L_ {w}} {V}} s \ right) ^ {2} +0.1539 \ left ({\ frac {2L_ {w}} {V}} s \ right) ^ {3}}} \\ G_ {p_ {g}} (s) = \ sigma _ {w} {\ sqrt {\ frac {0.8} {V}}} {\ frac {\ left ({\ frac {\ pi} {4b}} \ справа) ^ {\ frac {1} {6}}} {(2L_ {w}) ^ {\ frac {1} {3}} \ left (1 + {\ frac {4b} {\ pi V}} s \ right)}} \\ G_ {q_ {g}} (s) = {\ frac {\ pm {\ frac {s} {V}}} {1 + {\ frac {4b} {\ pi V} } s}} G_ {w_ {g}} (s) \\ G_ {r_ {g}} (s) = {\ frac {\ mp {\ frac {s} {V}}} {1 + {\ frac {3b} {\ pi V}} s}} G_ {v_ {g}} (s) \ end {align}}}$

Управление этими фильтрами с независимым, единичным отклонением, белым шумом с ограниченной полосой дает выходные данные со спектральными плотностями мощности, которые приблизительно соответствуют спектральным плотностям мощности составляющей скорости. нс модели фон Кармана. Выходные данные, в свою очередь, могут использоваться в качестве входных данных о возмущениях ветра для самолетов или других динамических систем.

Зависимость от высоты

Модель фон Кармана параметризуется масштабом длины и интенсивностью турбулентности. Комбинация этих двух параметров определяет форму спектральных плотностей мощности и, следовательно, качество соответствия модели спектрам наблюдаемой турбулентности. Многие комбинации масштаба длины и интенсивности турбулентности дают реалистичные спектральные плотности мощности в желаемых диапазонах частот. Спецификации Министерства обороны включают выбор обоих параметров, включая их зависимость от высоты.

См. Также

Примечания

Ссылки