Стандартная нормальная таблица

A стандартная нормальная таблица, также называемая нормальной таблицей единиц или Z-таблицей, представляет собой математическую таблицу для значений Φ, которые являются значениями кумулятивной функции распределения нормального распределения. Он используется для определения вероятности того, что статистика наблюдается ниже, выше или между значениями в стандартном нормальном распределении и, соответственно, в любом нормальное распределение. Поскольку таблицы вероятностей не могут быть напечатаны для каждого нормального распределения, так как существует бесконечное множество нормальных распределений, обычной практикой является преобразование нормального в стандартное нормальное, а затем использование стандартной нормальной таблицы для поиска вероятностей.

Содержание

• 1 Нормальное и стандартное нормальное распределение
  • 1.1 Преобразование
• 2 Чтение Z-таблицы
  • 2.1 Форматирование / макет
  • 2.2 Типы таблиц
• 3 Примеры таблиц
  • 3.1 Суммарное от среднего (от 0 до Z)
  • 3.2 Накопительное
  • 3.3 Дополнительное совокупное
• 4 Примеры использования
• 5 См. Также
• 6 Ссылки

Нормальное и стандартное нормальное распределение

Нормальные распределения симметричны, колоколообразные распределения, которые полезны при описании реальных данных. Стандартное нормальное распределение, представленное буквой Z, представляет собой нормальное распределение, имеющее среднее значение, равное 0, и стандартное отклонение, равное 1.

Преобразование

Если X - случайная величина из нормального распределения со средним μ и стандартным отклонением σ, ее Z-оценка может быть вычислена из X путем вычитания μ и деления на стандартное отклонение:

$Z\; =\; X\; -\; \mu \; \sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; =\; \{\backslash \; frac\; \{X-\; \backslash \; mu\}\; \{\backslash \; sigma\}\}\}$

Для среднего значения выборки размера n из некоторой генеральной совокупности, в которой среднее значение равно μ, а стандартное отклонение равно σ, стандартная ошибка составляет σ / √n:

$Z\; =\; X\; ¯\; -\; \mu \; \sigma \; /\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; overline\; \{X\}\}\; -\; \backslash \; mu\}\; \{\backslash \; sigma\; /\; \{\backslash \; sqrt\; \{n\}\}\}\}\; \}$

Чтение Z-таблицы

Форматирование / компоновка

Z-таблицы обычно состоят из следующего:

• Метка для строк содержит целую часть и первое десятичное место Z.
• Метка столбцов содержит второй десятичный знак Z.
• Значения в таблице соответствуют вероятности g к типу таблицы. Эти вероятности представляют собой расчеты площади под нормальной кривой от начальной точки (0 для кумулятивного от среднего, отрицательная бесконечность для кумулятивного и положительная бесконечность для дополнительного кумулятивного) до Z.

Пример: найти 0,69, можно просмотреть строки, чтобы найти 0,6, а затем по столбцам до 0,09, что даст вероятность 0,25490 для совокупного значения из таблицы средних или 0,75490 из сводной таблицы.

Поскольку кривая нормального распределения симметрична, вероятности обычно задаются только для положительных значений Z. Пользователь должен использовать дополнительную операцию над абсолютным значением Z, как в примере ниже.

Типы таблиц

Таблицы Z используют как минимум три различных соглашения:

Накопление от среднего

дает вероятность того, что статистика находится между 0 (средним) и Z Пример: Вероятность (0 ≤ Z ≤ 0,69) = 0,2549

Накопление

дает вероятность того, что статистика меньше Z. Это равняется области распределения ниже Z. Пример: Вероятность (Z ≤ 0,69) = 0,7549.

Дополнительная совокупная

дает вероятность того, что статистика больше Z. Это равняется площади распределения выше Z.

Пример: найти вероятность (Z ≥ 0,69). Поскольку это часть площади над Z, пропорция, которая больше Z, находится путем вычитания Z из 1. То есть Prob (Z ≥ 0,69) = 1 - Prob (Z ≤ 0,69) или Prob (Z ≥ 0,69). = 1 - 0,7549 = 0,2451.

Примеры таблиц

Накопление от среднего (от 0 до Z)

Эта таблица дает вероятность того, что статистика находится между 0 (среднее значение) и Z.

$f\; (z)\; =\; \Phi \; (z)\; -\; 1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (z)\; =\; \backslash \; Phi\; (z)\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}$

Обратите внимание, что для z = 1, 2, 3 получаем (после умножения на 2 для учета интервала [-z, z]) результаты f (z) = 0,6827, 0,9545, 0,9974, характерные для 68–95–99.7 правило.

Кумулятивное

Эта таблица дает вероятность того, что статистика меньше Z (т. Е. между отрицательной бесконечностью и Z).

Значения рассчитываются с использованием кумулятивной функции распределения стандартного нормального распределения со средним значением, равным нулю, и стандартным отклонением, равным единице, обычно обозначается заглавной греческой буквой $\Phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\}$(phi ), является интегралом

$\Phi \; (z)\; =\; 1\; 2\; \pi \; \int \; -\; \infty \; ze\; -\; t\; 2/2\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; (z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\; \}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{z\}\; e\; ^\; \{-\; t\; ^\; \{2\}\; /\; 2\}\; \backslash ,\; dt\}$

$\Phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\}$(z) относится к функции ошибок или erf (z).

$\Phi \; (z)\; =\; 1\; 2\; [1\; +\; erf\; \; (z\; 2)]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; (z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; [1+\; \backslash \; operatorname\; \{erf\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{z\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\}$

Дополнительная совокупная

Эта таблица дает вероятность того, что статистика больше Z.

$f\; (z)\; =\; 1\; -\; \Phi \; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (z)\; =\; 1-\; \backslash \; Phi\; (z)\; \}$

This table gives a probability that a statistic is greater than Z, for large integer Z values.

Examples of use

A professor's exam scores are approximately distributed normally with mean 80 and standard deviation 5. Only a cumulative from mean table is available.

• What is the probability that a student scores an 82 or less?

$P\; (\; X\; \le \; 82)\; =\; P\; (\; Z\; \le \; 82\; -\; 80\; 5)\; =\; P\; (\; Z\; \le \; 0.40)\; \{\backslash displaystyle\; P(X\backslash leq\; 82)=P\backslash left(Z\backslash leq\; \{\backslash frac\; \{82-80\}\{5\}\}\backslash right)=P(Z\backslash leq\; 0.40)\}$$=\; 0.15542\; +\; 0.5\; =\; 0.65542\; \{\backslash displaystyle\; =0.15542+0.5=0.65542\}$

• What is the probability that a student scores a 90 or more?

$P\; (\; X\; \ge \; 90)\; =\; P\; (\; Z\; \ge \; 90\; -\; 80\; 5)\; =\; P\; (\; Z\; \ge \; 2.00)\; \{\backslash displaystyle\; P(X\backslash geq\; 90)=P\backslash left(Z\backslash geq\; \{\backslash frac\; \{90-80\}\{5\}\}\backslash right)=P(Z\backslash geq\; 2.00)\}$$=\; 1\; -\; P\; (\; Z\; \le \; 2.00)\; =\; 1\; -\; (\; 0.47725\; +\; 0.5)\; =\; 0.02275\; \{\backslash displaystyle\; =1-P(Z\backslash leq\; 2.00)=1-(0.47725+0.5)=0.02275\}$

• What is the probability that a student scores a 74 or less?

$P\; (\; X\; \le \; 74)\; =\; P\; (\; Z\; \le \; 74\; -\; 80\; 5)\; =\; P\; (\; Z\; \le \; -\; 1.20)\; \{\backslash displaystyle\; P(X\backslash leq\; 74)=P\backslash left(Z\backslash leq\; \{\backslash frac\; \{74-80\}\{5\}\}\backslash right)=P(Z\backslash leq\; -1.20)\}$

Since this table does not include negatives, the process involves the following additional step:

$P\; (\; Z\; \le \; -\; 1.20)\; =\; P\; (\; Z\; \ge \; 1.20)\; \{\backslash displaystyle\; P(Z\backslash leq\; -1.20)=P(Z\backslash geq\; 1.20)\}$$=\; 1\; -\; (\; 0.38493\; +\; 0.5)\; =\; 0.11507\; \{\backslash displaystyle\; =1-(0.38493+0.5)=0.11507\}$

• What is the probability that a student scores between 74 and 82?

$P\; (\; 74\; \le \; X\; \le \; 82)\; =\; P\; (\; X\; \le \; 82)\; -\; P\; (\; X\; \le \; 74)\; =\; 0.65542\; -\; 0.11507\; \{\backslash displaystyle\; P(74\backslash leq\; X\backslash leq\; 82)=P(X\backslash leq\; 82)-P(X\backslash leq\; 74)=0.65542-0.11507\}$[as in above examples] $=\; 0.54035\; \{\backslash displaystyle\; =0.54035\}$

• What is the probability that an average of three scores is 82 or less?

$P\; (\; X\; \le \; 82)\; =\; P\; (\; Z\; \le \; 82\; -\; 80\; 5\; /\; 3)\; \{\backslash displaystyle\; P(X\backslash leq\; 82)=P\backslash left(Z\backslash leq\; \{\backslash frac\; \{82-80\}\{5/\{\backslash sqrt\; \{3\}\}\}\}\backslash right)\}$$=\; P\; (\; Z\; \le \; 0.69)\; =\; 0.2549\; +\; 0.5\; =\; 0.7549\; \{\backslash displaystyle\; =P(Z\backslash leq\; 0.69)=0.2549+0.5=0.7549\}$

See also

• Mathematics portal

• t-distribution table

.

References