Массовая формула Смита – Минковского – Сигеля

В математике массовая формула Смита – Минковского – Сигеля (или Массовая формула Минковского – Зигеля ) представляет собой формулу для суммы весов решеток (квадратичных форм ) в рода, взвешенных обратными величинами порядков их группы автоморфизмов. Формула массы часто приводится для целых квадратичных форм, хотя ее можно обобщить на квадратичные формы над любым полем алгебраических чисел.

В измерениях 0 и 1 массовая формула тривиальна, в двух измерениях она по существу эквивалентна формулам чисел классов Дирихле для мнимых квадратичных полей, а в трехмерном пространстве некоторые частичные результаты были даны Готтхольдом Эйзенштейном. Формула массы в высших измерениях впервые была дана Х. Дж. С. Смит (1867), хотя его результаты были забыты на долгие годы. Его заново открыл Х. Минковский (1885), а ошибка в статье Минковского была обнаружена и исправлена ​​К. Л. Сигель (1935).

Многие опубликованные версии формулы масс содержат ошибки; в частности, трудно получить правильные 2-адические плотности, и иногда забывают, что тривиальные случаи размерностей 0 и 1 отличаются от случаев размерностей по крайней мере 2. Conway Sloane (1988) дают пояснительное изложение и точное изложение формулы массы для целочисленных квадратичных форм, что является надежным, поскольку они проверяют ее на большом количестве явных случаев.

Последние доказательства формулы массы см. В (Китаока 1999) и (Эскин, Рудник и Сарнак 1991).

Формула массы Смита – Минковского – Зигеля, по сути, является постоянным членом формулы Вейля – Зигеля.

• 1 Формула массы
• 2 Оценка массы
• 3 Оценка p-массы
• 4 Оценка ζ D (s)
• 5 Примеры
  • 5.1 Размерность n = 0
  • 5.2 Размерность n = 8
  • 5.3 Размер n = 16
  • 5.4 Размер n = 24
  • 5.5 Размер n = 32
• 6 Обобщения
• 7 См. Также
• 8 Ссылки

Если f является n-мерной положительно определенной целочисленной квадратичной формой (или решеткой), то масса ее рода определяется как

$m\; (f)\; =\; \sum \; \Lambda \; 1\; |\; Aut\; \; (\Lambda )\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; (f)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; Lambda\}\; \{1\; \backslash \; over\; |\; \{\backslash \; operatorname\; \{Aut\}\; (\backslash \; Lambda)\}\; |\}\}$

где сумма берется по всем интегрально неэквивалентным формам того же рода как f, а Aut (Λ) - группа автоморфизмов Λ. Форма формулы массы, приведенная Конвей и Слоан (1988), утверждает, что для n ≥ 2 масса определяется как

$m\; (f)\; =\; 2\; \pi \; -\; n\; (\; п\; +\; 1)\; /\; 4\; \prod \; J\; знак\; равно\; 1\; N\; \Gamma \; (J\; /\; 2)\; \prod \; p\; простое\; 2\; mp\; (f)\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; (f)\; =\; 2\; \backslash \; pi\; ^\; \{-\; n\; (n\; +\; 1)\; /\; 4\}\; \backslash \; prod\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; Gamma\; (j\; /\; 2)\; \backslash \; prod\; \_\; \{p\; \{\backslash \; text\; \{prime\}\}\}\; 2m\_\; \{p\}\; (f)\}$

где m p (f) - p-масса f, определяемая как

$mp\; (f)\; =\; p\; (rn\; (n\; -\; 1)\; +\; s\; (n\; +\; 1))\; /\; 2\; N\; (pr)\; \{\backslash \; displaystyle\; m\_\; \{p\}\; (f)\; =\; \{p\; ^\; \{(rn\; (n-1)\; +\; s\; (n\; +\; 1))\; /\; 2\}\; \backslash \; over\; N\; (p\; ^\; \{r\})\}\}$

для достаточно большого r, где p - наивысшая степень p, делящая определитель f. Число N (p) - это количество матриц X размером n x n с коэффициентами, которые являются целыми числами по модулю p, такие что

$X\; tr\; AX\; \equiv \; A\; mod\; pr\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{\backslash \; text\; \{tr\}\}\; AX\; \backslash \; Equiv\; A\; \backslash \; \{\backslash \; bmod\; \{\backslash \}\}\; p\; ^\; \{r\}\}$

где A - матрица Грама функции f, или, другими словами, порядок группы автоморфизмов приведенной по модулю p формы.

Некоторые авторы формулируют массовую формулу в терминах p-адической плотности

$\alpha \; p\; (f)\; =\; N\; (pr)\; prn\; (n\; -\; 1)\; /\; 2\; =\; ps\; (n\; +\; 1)\; /\; 2\; mp\; (е)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \_\; \{p\}\; (f)\; =\; \{N\; (p\; ^\; \{r\})\; \backslash \; over\; p\; ^\; \{rn\; (n-1)\; /\; 2\}\}\; =\; \{p\; ^\; \{s\; (n\; +\; 1)\; /\; 2\}\; \backslash \; over\; m\_\; \{p\}\; (f)\}\}$

вместо p-массы. P-масса инвариантна при изменении масштаба f, а p-плотность - нет.

В (тривиальных) случаях размерности 0 или 1 формула массы требует некоторых изменений. Фактор 2 впереди представляет собой число Тамагавы специальной ортогональной группы, которое равно только 1 в размерностях 0 и 1. Также множитель 2 перед m p (f) представляет собой индекс специальная ортогональная группа в ортогональной группе, которая только 1 в 0 измерениях.

Формула массы дает массу как бесконечное произведение по всем простым числам. Это можно переписать как конечное произведение следующим образом. Для всех простых чисел, кроме конечного (не делящих 2 det (ƒ)) p-масса m p (ƒ) равна стандартной p-массе std p (ƒ), заданный как

$std\; p\; \; (f)\; =\; 1\; 2\; (1\; -\; p\; -\; 2)\; (1\; -\; p\; -\; 4)\dots \; (1\; -\; p\; 2\; -\; n)\; (1\; -\; (\; (-\; 1)\; n\; /\; 2\; det\; (f)\; p)\; p\; -\; n\; /\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{std\}\; \_\; \{p\}\; (f)\; =\; \{1\; \backslash \; over\; 2\; (1-p\; ^\; \{-\; 2\})\; (1-p\; ^\; \{-\; 4\})\; \backslash \; dots\; (1-p\; ^\; \{2-n\})\; (1\; -\; \{(-\; 1)\; ^\; \{n\; /\; 2\}\; \backslash \; det\; (f)\; \backslash \; choose\; p\}\; p\; ^\; \{-\; n\; /\; 2\})\}\; \backslash \; quad\}$(для n = dim (ƒ) even)

$std\; p\; \; (f)\; =\; 1\; 2\; (1\; -\; p\; -\; 2)\; (1\; -\; p\; -\; 4)\dots \; (1\; -\; p\; 1\; -\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{std\}\; \_\; \{p\}\; (f)\; =\; \{1\; \backslash \; over\; 2\; (1-p\; ^\; \{-\; 2\})\; (1-p\; ^\; \{-\; 4\})\; \backslash \; dots\; (1-p\; ^\; \{1-n\})\}\}$(для n = dim (ƒ) odd)

где символ Лежандра во второй строке интерпретируется как 0, если p делится 2 дет (ƒ).

Если все p-массы имеют свое стандартное значение, то общая масса равна стандартной массе

$std\; \; (f)\; =\; 2\; \pi \; -\; n\; (n\; +\; 1)\; /\; 4\; (\prod \; j\; знак\; равно\; 1\; N\; \Gamma \; (j\; /\; 2))\; \zeta \; (2)\; \zeta \; (4)\dots \; \zeta \; (n\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{std\}\; (f)\; =\; 2\; \backslash \; pi\; ^\; \{-\; n\; (n\; +\; 1)\; /\; 4\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; prod\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; Gamma\; (j\; /\; 2)\; \backslash \; right)\; \backslash \; zeta\; (2)\; \backslash \; zeta\; (4)\; \backslash \; dots\; \backslash \; zeta\; (n-1)\}$(Для нечетного n)

$std\; \; (f)\; =\; 2\; \pi \; -\; n\; (n\; +\; 1)\; /\; 4\; (\prod \; j\; =\; 1\; n\; \Gamma \; (j\; /\; 2))\; \zeta \; (2)\; \zeta \; (4)\; \dots \; {\rm Z}\; (N\; -\; 2)\; \zeta \; D\; (N\; /\; 2)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; OperatorName\; \{std\}\; (f)\; =\; 2\; \backslash \; pi\; ^\; \{-\; n\; (n\; +\; 1)\; /\; 4\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; prod\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; Gamma\; (j\; /\; 2)\; \backslash \; right)\; \backslash \; zeta\; (2)\; \backslash \; zeta\; (4)\; \backslash \; dots\; \backslash \; zeta\; (n-2)\; \backslash \; zeta\; \_\; \{D\}\; (n\; /\; 2)\}$(Для четного n)

где

$\zeta \; D\; (s)\; =\; \prod \; p\; 1\; 1\; -\; (D\; p)\; p\; -\; s\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; zeta\; \_\; \{D\}\; (s)\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{\; p\}\; \{1\; \backslash \; over\; 1\; -\; \{\{\backslash \; big\; (\}\; \{\backslash \; frac\; \{D\}\; \{p\}\}\; \{\backslash \; big)\}\}\; p\; ^\; \{-\; s\}\}\}$

D = (−1) det (ƒ)

Значения дзета-функции Римана для четных целых чисел s задаются в терминах чисел Бернулли как

$\zeta \; (s)\; =\; (2\; \pi )\; s\; 2\; \times \; с!\; |\; B\; s\; |.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; zeta\; (s)\; =\; \{(2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{s\}\; \backslash \; over\; 2\; \backslash \; times\; s!\}\; |\; B\_\; \{s\}\; |.\}$

Таким образом, масса ƒ задается как конечное произведение рациональные числа как

$m\; (f)\; =\; std\; \; (f)\; \prod \; p\; |\; 2\; det\; (f)\; m\; p\; (f)\; std\; p\; \; (f).\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; (f)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{std\}\; (f)\; \backslash \; prod\; \_\; \{p\; |\; 2\; \backslash \; det\; (f)\}\; \{m\_\; \{p\}\; (f)\; \backslash \; over\; \backslash \; operatorname\; \{std\}\; \_\; \{p\}\; (f)\}.\}$

Если форма f имеет p-адическое разложение Жордана

$f\; =\; \sum \; qfq\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; =\; \backslash \; sum\; qf\_\; \{q\}\}$

где q пробегает степени p, а f q имеет простой детерминант с p и размерность n (q), тогда p-масса определяется как

Здесь n (II) - это сумма размерностей всех жордановых компонент типа 2 и p = 2, а n (I, I) - общее количество пар соседних составляющих f q, f 2q, которые оба относятся к типу I.

Коэффициент M p(fq) называется диагональным коэффициентом и представляет собой степень p, умноженный на порядок некоторой ортогональной группы над полем из p элементов. Для нечетного p его значение определяется как

$1\; 2\; (1\; -\; p\; -\; 2)\; (1\; -\; p\; -\; 4)\dots \; (1\; -\; p\; 1\; -\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{1\; \backslash \; over\; 2\; (1-p\; ^\; \{\; -2\})\; (1-p\; ^\; \{-\; 4\})\; \backslash \; dots\; (1-p\; ^\; \{1-n\})\}\}$

, если n нечетное, или

$1\; 2\; (1\; -\; p\; -\; 2)\; (1\; -\; p\; -\; 4)\dots \; (1\; -\; p\; 2\; -\; n)\; (1\; -\; p\; -\; n\; /\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{1\; \backslash \; over\; 2\; (1-p\; ^\; \{-\; 2\})\; (1-p\; ^\; \{-\; 4\})\; \backslash \; dots\; (1-p\; ^\; \{2-n\})\; (1-p\; ^\; \{-\; n\; /\; 2\})\}\}$

, когда n четно и (−1) d q является квадратичным остатком или

$1\; 2\; (1\; -\; p\; -\; 2)\; (1\; -\; p\; -\; 4)\dots \; (1\; -\; p\; 2\; -\; n)\; (1\; +\; p\; -\; n\; /\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{1\; \backslash \; over\; 2\; (1-p\; ^\; \{-\; 2\})\; (1-p\; ^\; \{-\; 4\})\; \backslash \; dots\; (1-p\; ^\; \{2-n\})\; (1\; +\; p\; ^\; \{-\; n\; /\; 2\})\}\}$

, когда n четно и (−1) d q - квадратичный невычет.

Для p = 2 диагональный множитель M p(fq), как известно, сложно вычислить. (Обозначения вводят в заблуждение, поскольку они зависят не только от f q, но также от f 2q и f q / 2.)

• Мы говорим, что f q является нечетным, если оно представляет собой нечетное 2-адическое целое число, и четноев противном случае.
• Октановое число of f q является целым числом по модулю 8; если f q даже, его октановое число равно 0, если детерминант равен +1 или -1 по модулю 8, и равен 4, если определитель равен +3 или -3 по модулю 8, а если f q нечетно, его можно диагонализовать, и его октановое число тогда равно количеству диагональных элементов, равных 1 по модулю 4 минус число 3 по модулю 4.
• Мы говорим, что f q является связанным, если хотя бы одно из f 2q и f q / 2 является нечетным, и говорят, что оно свободно в противном случае.
• Целое число t определено так, что размерность f q равна 2t, если f q четное, и 2t + 1 или 2t + 2, если f q является нечетным.

Тогда диагональный коэффициент M p(fq) задается следующим образом.

$1\; 2\; (1\; -\; p\; -\; 2)\; (1\; -\; p\; -\; 4)\dots \; (1\; -\; p\; -\; 2\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{1\; \backslash \; over\; 2\; (1-p\; ^\; \{-\; 2\})\; (1-p\; ^\; \{-\; 4\})\; \backslash \; dots\; (1-p\; ^\; \{-\; 2t\})\}\}$

когда форма связана или имеет октановое число +2 или −2 по модулю 8 или

$1\; 2\; (1\; -\; p\; -\; 2)\; (1\; -\; p\; -\; 4)\dots \; (1\; -\; p\; 2\; -\; 2\; t)\; (1\; -\; p\; -\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{1\; \backslash \; over\; 2\; (1-p\; ^\; \{-\; 2\})\; (1-p\; ^\; \{\; -4\})\; \backslash \; dots\; (1-p\; ^\; \{2-2t\})\; (1-p\; ^\; \{-\; t\})\}\}$

когда форма свободна и имеет октановое число -1 или 0 или 1 по модулю 8 или

$1\; 2\; (1\; -\; p\; -\; 2)\; (1\; -\; p\; -\; 4)\dots \; (1\; -\; p\; 2\; -\; 2\; t)\; (1\; +\; p\; -\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{1\; \backslash \; over\; 2\; (1-p\; ^\; \{\; -2\})\; (1-p\; ^\; \{-\; 4\})\; \backslash \; dots\; (1-p\; ^\; \{2-2t\})\; (1\; +\; p\; ^\; \{-\; t\})\}\}$

в свободной форме и с октановым числом значение −3 или 3 или 4 по модулю 8.

Требуемые значения ряда Дирихле ζ D (s) можно оценить следующим образом. Мы пишем χ для символа Дирихле с χ (m), задаваемым 0, если m четное, и символом Якоби $(D\; m)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; left\; (\; \{\backslash \; frac\; \{D\}\; \{m\}\}\; \backslash \; right)\}\}$, если m нечетное. Запишем k для модуля этого символа и k 1 для его проводника и положим χ = χ 1 ψ, где χ 1 - модуль главного символа k и ψ является примитивным символом по модулю k 1. Тогда

$\zeta \; D\; (s)\; =\; L\; (s,\; \chi )\; =\; L\; (s,\; \psi )\; \prod \; p\; |\; К\; (1\; -\; \psi \; (p)\; ps)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; zeta\; \_\; \{D\}\; (s)\; =\; L\; (s,\; \backslash \; chi)\; =\; L\; (s,\; \backslash \; psi)\; \backslash \; prod\; \_\; \{p\; |\; k\}\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; psi\; (p)\; \backslash \; over\; p\; ^\; \{s\}\}\; \backslash \; right)\}$

Функциональное уравнение для L-ряда:

$L\; (1\; -\; s,\; \psi )\; =\; k\; 1\; s\; -\; 1\; \Gamma \; (\; s)\; (2\; \pi )\; s\; (я\; -\; s\; +\; \psi \; (-\; 1)\; есть)\; G\; (\psi )\; L\; (s,\; \psi )\; \{\backslash \; Displaystyle\; L\; (1-s,\; \backslash \; psi)\; =\; \{k\_\; \{1\}\; ^\; \{s\; -1\}\; \backslash \; Gamma\; (s)\; \backslash \; over\; (2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{s\}\}\; (i\; ^\; \{-\; s\}\; +\; \backslash \; psi\; (-1)\; i\; ^\; \{s\})\; G\; (\backslash \; psi)\; L\; (s,\; \backslash \; psi)\}$

где G - сумма Гаусса

$G\; (\psi )\; =\; \sum \; r\; =\; 1\; k\; 1\; \psi \; (r)\; e\; 2\; \pi \; ir\; /\; k\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; (\backslash \; psi)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{r\; =\; 1\}\; ^\; \{k\_\; \{1\}\}\; \backslash \; psi\; (r)\; e\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\; ir\; /\; k\_\; \{1\}\}.\}$

Если s равно положительное целое число, тогда

$L\; (1\; -\; s,\; \psi )\; =\; -\; k\; 1\; s\; -\; 1\; s\; \sum \; r\; =\; 1\; k\; 1\; \psi \; (r)\; B\; s\; (r\; /\; k\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; (1-s,\; \backslash \; psi)\; =\; -\; \{k\_\; \{1\}\; ^\; \{s-1\}\; \backslash \; over\; s\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{r\; =\; 1\}\; ^\; \{k\_\; \{1\}\}\; \backslash \; psi\; (r)\; B\_\; \{s\}\; (r\; /\; k\_\; \{1\; \})\}$

где B s (x) - многочлен Бернулли.

Для случая четных унимодулярных решеток Λ размерность n>0 делится на 8, формула массы:

, где B k - число Бернулли.

Размерность n = 0

Приведенная выше формула не работает для n = 0, и в целом Формулу массы необходимо изменить в тривиальных случаях, когда размерность не больше 1. Для n = 0 существует только одна решетка, нулевая решетка, с весом 1, поэтому общая масса равна 1.

Размерность n = 8

Формула массы дает общую массу как

$|\; B\; 4\; |\; 8\; |\; B\; 2\; |\; 4\; |\; B\; 4\; |\; 8\; |\; B\; 6\; |\; 12\; =\; 1/30\; 8\; 1/6\; 4\; 1/30\; 8\; 1/42\; 12\; =\; 1\; 696729600.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{|\; B\_\; \{4\}\; |\; \backslash \; over\; 8\}\; \{|\; B\_\; \{2\}\; |\; \backslash \; более\; 4\}\; \{|\; B\_\; \{4\}\; |\; \backslash \; over\; 8\}\; \{|\; B\_\; \{6\}\; |\; \backslash \; более\; 12\}\; =\; \{1/30\; \backslash \; более\; 8\}\; \backslash ;\; \{1/6\; \backslash \; более\; 4\}\; \backslash ;\; \{1/30\; \backslash \; более\; 8\}\; \backslash ;\; \{1/42\; \backslash \; более\; 12\}\; =\; \{1\; \backslash \; более\; 696729600\}.\}$

Существует ровно одна четная унимодулярная решетка размерности 8, решетка E8, группа автоморфизмов которой является группой Вейля E 8 порядка 696729600, так что это подтверждает формула массы в этом случае. Первоначально Смит дал неконструктивное доказательство существования четной унимодулярной решетки размерности 8, используя тот факт, что масса не равна нулю.

Размер n = 16

Формула массы дает общую массу как

$|\; B\; 8\; |\; 16\; |\; B\; 2\; |\; 4\; |\; B\; 4\; |\; 8\; |\; B\; 6\; |\; 12\; |\; B\; 8\; |\; 16\; |\; B\; 10\; |\; 20\; |\; B\; 12\; |\; 24\; |\; B\; 14\; |\; 28\; =\; 691\; 277667181515243520000.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{|\; B\_\; \{8\}\; |\; \backslash \; более\; 16\}\; \{|\; B\_\; \{2\}\; |\; \backslash \; более\; 4\}\; \{|\; B\_\; \{4\}\; |\; \backslash \; over\; 8\}\; \{|\; B\_\; \{6\}\; |\; \backslash \; более\; 12\}\; \{|\; B\_\; \{8\}\; |\; \backslash \; более\; 16\}\; \{|\; B\_\; \{10\}\; |\; \backslash \; более\; 20\}\; \{|\; B\_\; \{12\}\; |\; \backslash \; более\; 24\}\; \{|\; B\_\; \{14\}\; |\; \backslash \; over\; 28\}\; =\; \{691\; \backslash \; over\; 277667181515243520000\}.\}$

Имеются две четные унимодулярные решетки размерности 16, одна с корневой системой E 8 и группой автоморфизмов порядка 2 × 696729600 = 970864271032320000, и один с корневой системой D 16 и группой автоморфизмов порядка 216! = 685597979049984000.

Итак, массовая формула:

$1\; 970864271032320000\; +\; 1\; 685597979049984000\; =\; 691\; 277667181515243520000.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{1\; \backslash \; over\; 970864271032320000\}\; +\; \{1\; \backslash \; over\; 6855979049984000\}\; =\; \{691\; \backslash \; over\; 277667181515243520000\}.\}$

Размер n = 24

Есть 24 четных унимодулярных решетки размерности 24, называемых Решетки Нимейера. Формула массы для них проверена в (Conway Sloane 1998, стр. 410–413).

Размерность n = 32

Масса в данном случае большая, более 40 миллионов. Это означает, что существует более 80 миллионов четных унимодулярных решеток размерности 32, поскольку каждая имеет группу автоморфизмов порядка не менее 2, поэтому вклад в массу не превышает 1/2. Уточняя этот аргумент, King (2003) показал, что существует более миллиарда таких решеток. В более высоких измерениях масса, а следовательно, и количество решеток очень быстро увеличивается.

Сигель дал более общую формулу, которая подсчитывает взвешенное количество представлений одной квадратичной формы формами некоторого рода; массовая формула Смита – Минковского – Зигеля является частным случаем, когда одна форма является нулевой.

Тамагава показал, что формула массы эквивалентна утверждению, что число Тамагавы ортогональной группы равно 2, что эквивалентно утверждению, что число Тамагавы ее односвязной группы покрывает спин группа равна 1. Андре Вейль предположил в более общем смысле, что число Тамагавы любой односвязной полупростой группы равно 1, и эта гипотеза была доказана Коттвицем в 1988 году.

King (2003).) дала массовую формулу для унимодулярных решеток без корней (или с заданной корневой системой).

• идентичность Зигеля

• Conway, J.H. ; Sloane, NJA (1998), Сферические упаковки, решетки и группы, Берлин: Springer-Verlag, ISBN 978 -0-387-98585-5
• Конвей, JH; Слоан, Н. Дж. А. (1988), "Низкоразмерные решетки. IV. Массовая формула", Труды Лондонского королевского общества. Серия A, Математические и физические науки, 419 (1988): 259–286, Bibcode : 1988RSPSA.419..259C, CiteSeerX 10.1.1.24.2955, doi : 10.1098 / rspa.1988.0107, JSTOR 2398465
• Эскин, Алекс ; Рудник, Зеев; Сарнак, Питер (1991), «Доказательство формулы веса Зигеля», International Mathematics Research Notices, 1991 (5): 65–69, doi : 10.1155 / S1073792891000090, MR 1131433
• Кинг, Оливер (2003), «Формула массы для унимодулярных решеток без корней», Математика вычислений, 72 (242): 839–863, arXiv : math.NT / 0012231, Bibcode : 2003MaCom..72..839K, doi : 10.1090 / S0025-5718-02-01455-2.
• Китаока, Йошиюки (1999), Арифметика квадратичных форм, Кембриджские трактаты по математике, Кембридж: Cambridge Univ. Press, ISBN 978-0-521-64996-4
• Минковский, Герман (1885), "Untersuchungen über quadratische Formen I. Bestimmung der Anzahl verschiedener Formen, welche ein gegebenes" Genus enthält ", Acta Mathematica, 7 (1): 201–258, doi : 10.1007 / BF02402203
• Siegel, Carl Ludwig (1935), "Uber Die Analytische Theorie Der Quadratischen Formen", Annals of Mathematics, Second Series, 36 (3): 527–606, doi : 10.2307 / 1968644, JSTOR 1968644
• Смит, Г. Дж. Стивен (1867), «О порядках и родах квадратичных форм, содержащих более трех неопределенностей», Труды Лондонское королевское общество, 16 : 197–208, doi : 10.1098 / rspl.1867.0036, JSTOR 112491