Сасакиевское многообразие

редактировать

В дифференциальной геометрии, Сасакиевское многообразие (названо в честь Сигео Сасаки ) представляет собой контактный коллектор $(M, θ) {\ displaystyle (M, \ theta)}$ $(M, \ theta)$ , снабженный особой разновидностью римановой метрики $g {\ displaystyle g}$ $g$ , называемая сасакиевой метрикой.

Содержание

1 Определение
2 Примеры
3 История
4 Векторное поле Риба
5 Многообразия Сасаки – Эйнштейна
6 Примечания
7 Ссылки
8 Внешние links

Определение

Сасакиева метрика определяется с помощью конструкции риманова конуса. Для риманова многообразия $(M, g) {\ displaystyle (M, g)}$ $(M, g)$ его риманов конус является произведением

(M × R>0) {\ displaystyle (M \ times {\ mathbb {R}} ^ {>0}) \,}

(M\times {\mathbb {R} }^{>0}) \,

из $M {\ displaystyle M}$ $M$ с половинной линией $R>0 {\ displaystyle {\ mathbb {R}} ^ {>0}}$ ${\mathbb {R} }^{>0}$ , оснащенный метрическим конусом

t 2 g + dt 2, {\ displaystyle t ^ {2} g + dt ^ {2}, \,}

t ^ 2 g + dt ^ 2, \,

где $t {\ displaystyle t}$ $t$ - параметр в $R>0 {\ displaystyle {\ mathbb {R}} ^ {>0 }}$ ${\mathbb {R} }^{>0}$ .

Коллектор $M {\ displaystyle M}$ $M$ с 1-формой $θ {\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ является контактным тогда и только тогда, когда 2-форма

t 2 d θ + 2 tdt ⋅ θ {\ displaystyle t ^ {2} \, d \ theta + 2t \, dt \ cdot \ theta \,}

t ^ 2 \, d \ theta + 2t \, dt \ cdot \ theta \,

на своем конусе симплектический (это одно из возможных определений контактной структуры). Контактное риманово многообразие называется сасакиевым, если его риманов конус с метрикой конуса является кэлеровым многообразием с кэлеровой формой

t 2 d θ + 2 t d t ⋅ θ. {\ displaystyle t ^ {2} \, d \ theta + 2t \, dt \ cdot \ theta.}

{\ dis стиль игры t ^ {2} \, d \ theta + 2t \, dt \ cdot \ theta.}

Примеры

В качестве примера рассмотрим

S 2 n - 1 ↪ R 2 n, * = С N, * {\ Displaystyle S ^ {2n-1} \ hookrightarrow {\ mathbb {R}} ^ {2n, *} = {\ mathbb {C}} ^ {n, *}}

{\ displaystyle S ^ {2n-1} \ hookrightarrow {\ mathbb {R}} ^ {2n, *} = {\ mathbb {C}} ^ { n, *}}

где правая часть представляет собой естественное кэлерово многообразие и читается как конус над сферой (наделенный вложенной метрикой). Контактная 1-форма на $S 2 n - 1 {\ displaystyle S ^ {2n-1}}$ $S^{{2n-1}}$ - это форма, связанная с касательным вектором $в → {\ displaystyle i {\ vec {n}}}$ $я \ vec {п}$ , построенный из вектора единичной нормали $n → {\ displaystyle {\ vec {n}}}$ $\ vec {n}$ к сфере ( $i {\ displaystyle i}$ $я$ - сложная структура на $C n {\ displaystyle {\ mathbb {C}} ^ {n}}$ ${\ displaystyle {\ mathbb {C }} ^ {n}}$ ).

Другой некомпактный пример: $R 2 n + 1 {\ displaystyle {{\ mathbb {R}} ^ {2n + 1}}}$ ${\ displaystyle {{\ mathbb {R}} ^ {2n + 1}}}$ с координатами $(Икс →, Y →, Z) {\ Displaystyle ({\ vec {x}}, {\ vec {y}}, z)}$ $(\ vec {x}, \ vec {y}, z)$ с контактной формой

$θ = 1 2 dz + ∑ iyidxi {\ displaystyle \ theta = {\ frac {1} {2}} dz + \ sum _ {i} y_ {i} \, dx_ {i}}$ $\ theta = \ frac12 dz + \ sum_i y_i \, dx_i$

и риманова метрика

$g = ∑ я (dxi) 2 + (dyi) 2 + θ 2. {\ displaystyle g = \ sum _ {i} (dx_ {i}) ^ {2} + (dy_ {i}) ^ {2} + \ theta ^ {2}.}$ $g = \ sum_i (dx_i) ^ 2 + (dy_i) ^ 2 + \ theta ^ 2.$

В качестве третьего примера рассмотрим:

$п 2 n - 1 р ↪ С n, * / Z 2 {\ displaystyle {\ mathbb {P}} ^ {2n-1} {\ mathbb {R}} \ hookrightarrow {\ mathbb {C}} ^ {n, *} / {\ mathbb {Z}} _ {2}}$ ${\ displaystyle {\ mathbb {P}} ^ {2n-1} {\ mathbb {R}} \ hookrightarrow {\ mathbb {C}} ^ {n, *} / {\ mathbb {Z}} _ {2}}$

где правая часть имеет естественную кэлерову структуру, а группа $Z 2 {\ displaystyle {\ mathbb {Z}} _ {2}}$ ${\ displaystyle {\ mathbb {Z}} _ {2}}$ действует путем отражения в начале координат.

История

Сасакиевы многообразия были введены в 1960 году японским геометром Сигео Сасаки. С середины 1970-х годов, до появления теории струн, в этой области не было большой активности. С тех пор сасакиевы многообразия приобрели известность в физике и алгебраической геометрии, в основном благодаря серии статей Чарльза П. Бойера и Кшиштофа Галицкого и их соавторов.

Векторное поле Риба

Гомотетическое векторное поле на конусе над сасакиевым многообразием определяется как

t ∂ / ∂ t. {\ displaystyle t \ partial / \ partial t.}

t \ partial / \ partial t.

Поскольку конус по определению является кэлеровым, существует комплексная структура J. Векторное поле Риба на сасасском многообразии определяется как

ξ = - J ( t ∂ / ∂ t). {\ displaystyle \ xi = -J (t \ partial / \ partial t).}

\ xi = -J (t \ partial / \ partial t).

Это никуда не денется. Он коммутирует со всеми голоморфными векторами Киллинга на конусе и, в частности, со всеми изометриями сасакиева многообразия. Если орбиты векторного поля близки, то пространство орбит является кэлеровым орбифолдом. Векторное поле Риба на сасакиевом многообразии единичного радиуса является единичным векторным полем, касательным к вложению.

Многообразия Сасаки – Эйнштейна

Сасакиево многообразие $M {\ displaystyle M}$ $M$ - это многообразие, риманов конус которого кэлеров. Если, кроме того, этот конус Риччи-плоский, $M {\ displaystyle M}$ $M$ называется Сасаки – Эйнштейна ; если это гиперкэлер, $M {\ displaystyle M}$ $M$ называется 3-сасакиевским . Любое 3-сасакиево многообразие является одновременно многообразием Эйнштейна и спиновым многообразием.

Если M - многообразие Калера – Эйнштейна положительной скалярной кривизны, то, согласно наблюдению Шошичи Кобаяши, круговое расслоение S в его каноническом линейном расслоении допускает метрику Сасаки – Эйнштейна, таким образом, что проекция из S в M превращается в риманову субмерсию. (Например, отсюда следует, что существуют метрики Сасаки – Эйнштейна на подходящих круговых расслоениях над 3-8-й поверхностями дель Пеццо.) Хотя эта конструкция римановой субмерсии дает правильную локальную картину Для любого многообразия Сасаки – Эйнштейна глобальная структура таких многообразий может быть более сложной. Например, в более общем случае можно построить многообразие Сасаки – Эйнштейна, начав с орбифолда Калера – Эйнштейна M. Используя это наблюдение, Бойер, Галицки и Янош Коллар построили бесконечно много гомеотипов 5-многообразий Сасаки-Эйнштейна. Та же конструкция показывает, что пространство модулей метрик Эйнштейна на 5-сфере имеет не менее нескольких сотен компонент связности.

Примечания

Ссылки

Сигео Сасаки, «О дифференцируемых многообразиях с некоторыми структурами, которые тесно связаны с почти контактной структурой», Tohoku Math. J. 2 (1960), 459-476.
Чарльз П. Бойер, Кшиштоф Галицкий, сасакиева геометрия
Чарльз П. Бойер, Кшиштоф Галицки, "3-сасакиевские многообразия ", Surveys Diff. Геом. 7 (1999) 123-184
Дарио Мартелли, Джеймс Спаркс и Шинг-Тунг Яу, «Многообразия Сасаки-Эйнштейна и минимизация объема ", ArXiv hep-th / 0603021

Внешние ссылки

Страница EoM, сасакиевское многообразие