Риманово неравенство Пенроуза

В математической общей теории относительности, то Пенроуза неравенство, первым высказал предположение, сэр Роджер Пенроуз, оценивает массу пространства - времени с точки зрения общей площади ее черных дыр и является обобщением теоремы положительной массой. Неравенство риманова Пенроуза является важным частным случаем. В частности, если ( M,  g ) - асимптотически плоское риманово трехмерное многообразие с неотрицательной скалярной кривизной и массой m ADM, а A - площадь самой внешней минимальной поверхности (возможно, с несколькими компонентами связности ), то риманово неравенство Пенроуза утверждает

${\ displaystyle m \ geq {\ sqrt {\ frac {A} {16 \ pi}}}.}$

Это чисто геометрический факт, и это соответствует случаю полного трехмерного, пространства-как, вполне геодезического подмногообразия а (3 + 1) -мерном пространстве - времени. Такое подмногообразие часто называют симметричным по времени исходным набором данных для пространства-времени. Условие наличия неотрицательной скалярной кривизны ( M,  g ) эквивалентно пространству-времени, подчиняющемуся доминирующему энергетическому условию.

Это неравенство было впервые доказано Герхардом Хьюскеном и Томом Ильманеном в 1997 году в случае, когда A - площадь наибольшего компонента самой внешней минимальной поверхности. Их доказательство опиралось на разработанный ими механизм слабо определенного потока обратной средней кривизны. В 1999 году Хьюберт Брей дал первое полное доказательство указанного выше неравенства, используя конформный поток метрик. Обе статьи были опубликованы в 2001 году.

• 1 Физическая мотивация
• 2 Случай равенства
• 3 Гипотеза Пенроуза
• 4 В популярной культуре
• 5 ссылки

Первоначальный физический аргумент, который привел Пенроуза к предположению о таком неравенстве, основывался на теореме о площади Хокинга и гипотезе космической цензуры.

Доказательства Брея и Хуйскена – Ильманена риманова неравенства Пенроуза утверждают, что при гипотезах, если

${\ displaystyle m = {\ sqrt {\ frac {A} {16 \ pi}}},}$

тогда рассматриваемое многообразие изометрично срезу пространства-времени Шварцшильда за пределами самой внешней минимальной поверхности.

В более общем смысле, Пенроуз предположил, что вышеупомянутое неравенство должно выполняться для пространственноподобных подмногообразий пространств-времени, которые не обязательно являются симметричными по времени. В этом случае неотрицательная скалярная кривизна заменяется условием доминирующей энергии, и одна из возможностей состоит в том, чтобы заменить условие минимальной поверхности условием видимого горизонта. Доказательство такого неравенства остается открытой проблемой в общей теории относительности, называемой гипотезой Пенроуза.

• В 6-й серии 8-го сезона телевизионного ситкома «Теория большого взрыва» доктор Шелдон Купер утверждает, что находится в процессе решения гипотезы Пенроуза, в то же время сочиняя свою речь о вручении Нобелевской премии.

• Брей, Х. (2001). «Доказательство риманова неравенства Пенроуза с помощью теоремы о положительной массе». Журнал дифференциальной геометрии. 59 (2): 177–267. Bibcode : 2001JDGeo..59..177B. DOI : 10.4310 / JDG / 1090349428. MR   1908823.
• Bray, H.; Chruściel, П. (2003). «Неравенство Пенроуза». arXiv : gr-qc / 0312047.
• Huisken, G.; Ильманен, Т. (1997). «Риманово неравенство Пенроуза». Уведомления о международных математических исследованиях. 1997 (20): 1045–1058. DOI : 10.1155 / S1073792897000664. ISSN   1073-7928. Руководство по ремонту   1486695.
• Huisken, G.; Ильманен, Т. (2001). «Обратный поток средней кривизны и риманово неравенство Пенроуза». Журнал дифференциальной геометрии. 59 (3): 353–437. DOI : 10.4310 / JDG / 1090349447. MR   1916951.