Ромбоэдр

редактировать

Ромбоэдр

Тип	призма
Лица	6 ромбов
Края	12
Вершины	8
Группа симметрии	C i, [2⁺, 2⁺ ], (×), порядок 2
Характеристики	выпуклый, зоноэдр

В геометрии, A ромбоэдр (также называемый ромбические шестигранники) представляет собой трехмерную фигуру с шестью гранями, которые являются ромбы. Это частный случай параллелепипеда, в котором все ребра имеют одинаковую длину. Его можно использовать для определения системы ромбоэдрической решетки, соты с ромбоэдрическими ячейками. Куб представляет собой частный случай ромбоэдра со всех сторон квадратными.

В общем, ромбоэдр может иметь до трех типов ромбических граней в конгруэнтных противоположных парах, симметрия C i, порядок 2.

Четыре точки, образующие несмежные вершины ромбоэдра, обязательно образуют четыре вершины ортоцентрического тетраэдра, и все ортоцентрические тетраэдры могут быть образованы таким образом.

СОДЕРЖАНИЕ

1 Ромбоэдрическая решетчатая система
2 Особые случаи по симметрии
3 Сплошная геометрия
4 См. Также
5 ссылки
6 Внешние ссылки

Ромбоэдрическая решетчатая система

Система ромбоэдрической решетки имеет ромбоэдрические ячейки с 3 парами уникальных ромбических граней:

Особые случаи по симметрии

Частные случаи ромбоэдра

Форма	Куб	Тригональный трапецоэдр	Правая ромбическая призма	Косая ромбическая призма
Угловые ограничения	α = β = γ = 90 °	α = β = γ	α = β = 90 °	α = β
Симметрия	О ч порядка 48	D 3d заказ 12	D 2h порядка 8	C 2h порядка 4
Лица	6 квадратов	6 одинаковых ромбов	2 ромба, 4 квадрата	6 ромбов

Куб : ссимметрией O h, порядок 48. Все грани квадраты.
Тригональный трапецоэдр (также называемый изоэдрическим ромбоэдром или ромбическим шестигранником): ссимметриейD 3d, порядок 12. Все не тупые внутренние углы граней равны (все грани равны конгруэнтным ромбам). Это можно увидеть, растянув куб по диагональной оси тела. Например, правильный октаэдр с двумя правильными тетраэдрами, прикрепленными к противоположным граням, образует тригональный трапецоэдр под углом 60 градусов.
Правая ромбическая призма : симметрия D 2h, порядок 8. Она построена из двух ромбов и четырех квадратов. Это можно увидеть, растянув куб на его грань диагональной оси. Например, две правые призмы с правильными треугольными основаниями, соединенные вместе, образуют правую ромбическую призму под углом 60 градусов.
Косая ромбическая призма: с симметрией C 2h, порядок 4. У нее только одна плоскость симметрии через четыре вершины и шесть ромбических граней.

Сплошная геометрия

Для единицы (например, с длиной стороны 1) равногранный ромбоэдр с ромбическим острым углом, с одной вершиной в начале координат (0, 0, 0) и с одним ребром, лежащим вдоль оси x, три образующих вектора равны ${\ displaystyle \ theta ~}$ ${\ displaystyle \ theta ~}$

e 1 :

{\ Displaystyle {\ biggl (} 1,0,0 {\ biggr)},}

{\ Displaystyle {\ biggl (} 1,0,0 {\ biggr)},}

e 2 :

{\ Displaystyle {\ biggl (} \ соз \ тета, \ грех \ тета, 0 {\ biggr)},}

{\ Displaystyle {\ biggl (} \ соз \ тета, \ грех \ тета, 0 {\ biggr)},}

e 3 :

{\ displaystyle {\ biggl (} \ cos \ theta, {\ cos \ theta - \ cos ^ {2} \ theta \ over \ sin \ theta}, {{\ sqrt {1-3 \ cos ^ {2} \ theta +2 \ cos ^ {3} \ theta}} \ over \ sin \ theta} {\ biggr)}.}

{\ displaystyle {\ biggl (} \ cos \ theta, {\ cos \ theta - \ cos ^ {2} \ theta \ over \ sin \ theta}, {{\ sqrt {1-3 \ cos ^ {2} \ theta +2 \ cos ^ {3} \ theta}} \ over \ sin \ theta} {\ biggr)}.}

Другие координаты могут быть получены путем сложения векторов трех векторов направления: e 1 + e 2, e 1 + e 3, e 2 + e 3 и e 1 + e 2 + e 3.

Объем равногранного ромбоэдра с точки зрения длины его стороны и его ромбического острого угла является упрощением объема параллелепипеда и определяется выражением ${\ displaystyle V}$ $V$ ${\ displaystyle a}$ $а$ ${\ displaystyle \ theta ~}$ ${\ displaystyle \ theta ~}$

{\ displaystyle V = a ^ {3} (1- \ cos \ theta) {\ sqrt {1 + 2 \ cos \ theta}} = a ^ {3} {\ sqrt {(1- \ cos \ theta) ^ {2} (1 + 2 \ cos \ theta)}} = a ^ {3} {\ sqrt {1-3 \ cos ^ {2} \ theta +2 \ cos ^ {3} \ theta}} ~.}

{\ displaystyle V = a ^ {3} (1- \ cos \ theta) {\ sqrt {1 + 2 \ cos \ theta}} = a ^ {3} {\ sqrt {(1- \ cos \ theta) ^ {2} (1 + 2 \ cos \ theta)}} = a ^ {3} {\ sqrt {1-3 \ cos ^ {2} \ theta +2 \ cos ^ {3} \ theta}} ~.}

Мы можем выразить объем по- другому: ${\ displaystyle V}$ $V$

{\ displaystyle V = 2 {\ sqrt {3}} ~ a ^ {3} \ sin ^ {2} \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) {\ sqrt {1 - {\ frac {4} {3}} \ sin ^ {2} \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right)}} ~.}

{\ displaystyle V = 2 {\ sqrt {3}} ~ a ^ {3} \ sin ^ {2} \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) {\ sqrt {1 - {\ frac {4} {3}} \ sin ^ {2} \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right)}} ~.}

Поскольку площадь (ромбического) основания дается выражением, а высота ромбоэдра определяется его объемом, деленным на площадь его основания, высота равногранного ромбоэдра определяется длиной его стороны и острым ромбическим углом. дан кем-то ${\ Displaystyle а ^ {2} \ грех \ тета ~}$ ${\ Displaystyle а ^ {2} \ грех \ тета ~}$ ${\ displaystyle h}$ $час$ ${\ displaystyle a}$ $а$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$

{\ displaystyle h = a ~ {(1- \ cos \ theta) {\ sqrt {1 + 2 \ cos \ theta}} \ over \ sin \ theta} = a ~ {{\ sqrt {1-3 \ cos ^ {2} \ theta +2 \ cos ^ {3} \ theta}} \ over \ sin \ theta} ~.}

{\ displaystyle h = a ~ {(1- \ cos \ theta) {\ sqrt {1 + 2 \ cos \ theta}} \ over \ sin \ theta} = a ~ {{\ sqrt {1-3 \ cos ^ {2} \ theta +2 \ cos ^ {3} \ theta}} \ over \ sin \ theta} ~.}

Примечание:

{\ Displaystyle ч = а ~ я}

{\ Displaystyle ч = а ~ я}

3, где 3 - третья координата e 3.

{\ displaystyle z}

z

Диагональ тела между остроугольными вершинами самая длинная. Из-за симметрии вращения относительно этой диагонали все остальные три диагонали тела между тремя парами противоположных тупоугольных вершин имеют одинаковую длину.

Смотрите также

Списки фигур

Рекомендации

Внешние ссылки