Домен Рейнхардта

редактировать

В математике, особенно несколько сложных переменных, открытое подмножество $G {\ displaystyle G}$ $G$ из $C n {\ displaystyle \ mathbf {C} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {C} ^ {n}}$ называется областью Рейнхардта, если $(z 1,…, zn) ∈ G { \ displaystyle (z_ {1}, \ dots, z_ {n}) \ in G}$ $(z_ {1}, \ dots, z_ {n}) \ in G$ подразумевает $(ei θ 1 z 1,…, Ei θ nzn) ∈ G {\ displaystyle (e ^ {i \ theta _ {1}} z_ {1}, \ dots, e ^ {i \ theta _ {n}} z_ {n}) \ in G}$ $(e ^ {{i \ theta _ {1}}} z_ {1}, \ dots, e ^ {{i \ theta _ {n}}} z_ {n}) \ in G$ для всех действительных чисел $θ 1,…, θ n {\ displaystyle \ theta _ {1}, \ dots, \ theta _ {n}}$ $\ theta _ {1}, \ dots, \ theta _ {n}$ . Он назван в честь Карла Рейнхардта.

. Область Рейнхардта $D {\ displaystyle D}$ $D$ называется логарифмически выпуклой, если изображение множества $D * Знак равно {z = (z 1,…, zn) ∈ D / z 1 ⋯ zn ≠ 0} {\ displaystyle D ^ {*} = \ {z = (z_ {1}, \ ldots, z_ {n}) \ in D / z_ {1} \ cdots z_ {n} \ neq 0 \}}$ ${\ displaystyle D ^ {*} = \ {z = (z_ {1}, \ ldots, z_ {n}) \ in D / z_ {1} \ cdots z_ {n} \ neq 0 \}}$ при отображении $λ: z → λ (z) = (ln ⁡ (| z 1 |),…, Пер ⁡ (| zn |)) {\ displaystyle \ lambda: z \ rightarrow \ lambda (z) = (\ ln (| z_ {1} |), \ ldots, \ ln (| z_ {n} |))}$ ${\ displaystyle \ lambda: z \ rightarrow \ lambda (z) = (\ ln (| z_ {1} |), \ ldots, \ ln (| z_ {n} |))}$ - выпуклое множество в реальном пространстве $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ .

Причина изучения таких областей состоит в том, что логарифмически выпуклые Области Рейнхардта - это области сходимости степенного ряда нескольких комплексных переменных. В одной комплексной переменной логарифмически выпуклая область Рейнхардта - это просто диск.

Пересечение логарифмически выпуклых областей Рейнхардта по-прежнему является логарифмически выпуклой областью Рейнхардта, поэтому для каждой области Рейнхардта существует наименьшая логарифмически выпуклая область Рейнхардта, которая содержит это.

Простым примером логарифмически выпуклых доменов Рейнхардта является полидиск, то есть продукт из дисков.

Классический результат Таллена говорит, что двумерная ограниченная область Рейнхарда, содержащая начало координат, является биголоморфной одной из следующих областей при условии, что орбита начала координат группы автоморфизмов имеет положительную размерность:

(1) ${(z, w) ∈ C 2; | z | < 1, | w | < 1 } {\displaystyle \{(z,w)\in \mathbf {C} ^{2};~|z|<1,~|w|<1\}}$ $\ {(z, w) \ in {\ mathbf {C}} ^ {2}; ~ | z | <1, ~ | w | <1 \}$ (полидиск);

(2) ${(z, w) ∈ C 2; | z | 2 + | w | 2 < 1 } {\displaystyle \{(z,w)\in \mathbf {C} ^{2};~|z|^{2}+|w|^{2}<1\}}$ $\ { (г, ш) \ в {\ mathbf {C}} ^ {2}; ~ | г | ^ {2} + | ш | ^ {2} <1 \}$ (единичный шар);

(3) ${(z, w) ∈ C 2; | z | 2 + | w | 2 / p < 1 } ( p>0, ≠ 1) {\ displaystyle \ {(z, w) \ in \ mathbf {C} ^ {2}; ~ | z | ^ {2} + | w | ^ {2 / p } <1\}(p>0, \ neq 1)}$ $\{(z,w)\in {\mathbf {C}}^{2};~|z|^{2}+|w|^{{2/p}}<1\}(p>0, \ neq 1)$ (домен Таллена).

В 1978 году Тошиказу Сунада обобщил результат Таллена и доказал, что два $n {\ displaystyle n}$ $n$ -мерные ограниченные домены Рейнхардта $G 1 {\ displaystyle G_ {1}}$ $G_ {1}$ и $G 2 {\ displaystyle G_ {2}}$ $G_ {2}$ взаимно биголоморфны тогда и только тогда, когда существует преобразование $φ: C n ⟶ C n {\ displaystyle \ varphi: \ mathbf {C} ^ {n} \ longrightarrow \ mathbf {C} ^ {n} }$ $\ varphi: { \ mathbf {C}} ^ {n} \ longrightarrow {\ mathbf {C}} ^ {n}$ задано $zi ↦ riz σ (i) (ri>0) {\ displaystyle z_ {i} \ mapsto r_ {i} z _ {\ sigma (i)} (r_ {i}>0)}$ $z_{i}\mapsto r_{i}z_{{\sigma (i)}}(r_{i}>0)$ , $σ {\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ является перестановкой индексов), так что $φ (G 1) = G 2 {\ displaystyle \ varphi (G_ {1}) = G_ {2}}$ $\ varphi (G_ {1}) = G_ {2}$ .

Ссылки

Эта статья включает материал из домена Рейнхардта на PlanetMath, который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License.
Lars Hörmander. Введение в комплексный анализ нескольких переменных, издательство North-Holland Publishing Company, Нью-Йорк, Нью-Йорк, 1973.
Питер Таллен, Zu den Abbildungen durch analytische Funktionen mehrerer komplexer Veraenderlichen Die Invarianz des Mittelpunktes von Kreiskoerpern, Matt. Энн. 104 (1931), 244–259
Тосиказу Сунада, Проблема голоморфной эквивалентности для ограниченных областей Рейнхальда, Матем. Энн. 235 (1978), 111–128
E.D. Соломенцев.. Энциклопедия математики. Проверено 22 февраля 2015 г.