Функция параболического цилиндра

Координатные поверхности параболических цилиндрических координат. Функции параболического цилиндра возникают, когда в уравнении Лапласа в этих координатах используется разделение переменных.

В математике функции параболического цилиндра - это специальные функции, определенные как решения дифференциального уравнения

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} f} {dz ^ {2}}} + \ left ({\ tilde {a}} z ^ {2} + {\ tilde {b}} z + {\ tilde) {c}} \ right) f = 0.}$

( 1)

Это уравнение находится, когда метод разделения переменных используется в уравнении Лапласа, выраженном в параболических цилиндрических координатах.

Вышеупомянутое уравнение может быть преобразовано в две различные формы (A) и (B) путем завершения квадрата и изменения масштаба z, которые называются уравнениями Х. Ф. Вебера ( Weber 1869): ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFWeber1869 ( справка )

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} f} {dz ^ {2}}} - \ left ({\ tfrac {1} {4}} z ^ {2} + a \ right) f = 0}$    (А)

и

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} f} {dz ^ {2}}} + \ left ({\ tfrac {1} {4}} z ^ {2} -a \ right) f = 0. }$     (В)

Если

${\ Displaystyle е (а, г) \,}$

это решение, то также

${\ Displaystyle е (а, -z), е (-а, iz) {\ текст {и}} е (-а, -iz). \,}$

Если

${\ Displaystyle е (а, г) \,}$

является решением уравнения (A), то

${\ Displaystyle f (-ia, ze ^ {(1/4) \ pi i}) \,}$

является решением (B), и в силу симметрии

${\ displaystyle f (-ia, -ze ^ {(1/4) \ pi i}), f (ia, -ze ^ {- (1/4) \ pi i}) {\ text {and}} f (ia, ze ^ {- (1/4) \ pi i}) \,}$

также являются решениями (B).

Существуют независимые четные и нечетные решения вида (A). Они даются (после обозначений Абрамовица и Стегуна (1965)):

${\ displaystyle y_ {1} (a; z) = \ exp (-z ^ {2} / 4) \; _ {1} F_ {1} \ left ({\ tfrac {1} {2}} a + { \ tfrac {1} {4}}; \; {\ tfrac {1} {2}} \ ;; \; {\ frac {z ^ {2}} {2}} \ right) \, \, \, \, \, \, (\ mathrm {даже})}$

и

${\ displaystyle y_ {2} (a; z) = z \ exp (-z ^ {2} / 4) \; _ {1} F_ {1} \ left ({\ tfrac {1} {2}} a + {\ tfrac {3} {4}}; \; {\ tfrac {3} {2}} \ ;; \; {\ frac {z ^ {2}} {2}} \ right) \, \, \, \, \, \, (\ mathrm {odd})}$

где - конфлюэнтная гипергеометрическая функция. ${\ Displaystyle \; _ {1} F_ {1} (a; b; z) = M (a; b; z)}$

Другие пары независимых решений могут быть образованы из линейных комбинаций вышеуказанных решений (см. Абрамовиц и Стегун). Одна такая пара основана на их поведении на бесконечности:

${\ Displaystyle U (a, z) = {\ frac {1} {2 ^ {\ xi} {\ sqrt {\ pi}}}} \ left [\ cos (\ xi \ pi) \ Gamma (1/2 - \ xi) \, y_ {1} (a, z) - {\ sqrt {2}} \ sin (\ xi \ pi) \ Gamma (1- \ xi) \, y_ {2} (a, z) \право]}$

${\ Displaystyle V (a, z) = {\ frac {1} {2 ^ {\ xi} {\ sqrt {\ pi}} \ Gamma [1/2-a]}} \ left [\ sin (\ xi \ pi) \ Gamma (1 / 2- \ xi) \, y_ {1} (a, z) + {\ sqrt {2}} \ cos (\ xi \ pi) \ Gamma (1- \ xi) \, y_ {2} (a, z) \ right]}$

где

${\ displaystyle \ xi = {\ frac {1} {2}} a + {\ frac {1} {4}}.}$

Функция U ( a,  z) стремится к нулю при больших значениях z и | arg ( z) | lt;π / 2, а V ( a,  z) расходится при больших положительных вещественных z  .

${\ displaystyle \ lim _ {z \ rightarrow \ infty} U (a, z) / e ^ {- z ^ {2} / 4} z ^ {- a-1/2} = 1 \, \, \, \, ({\ text {for}} \, | \ arg (z) | lt;\ pi / 2)}$

и

${\ displaystyle \ lim _ {z \ rightarrow \ infty} V (a, z) / {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi}}} e ^ {z ^ {2} / 4} z ^ {a -1/2} = 1 \, \, \, \, ({\ text {for}} \, \ arg (z) = 0).}$

Для полуцелых значений a они (то есть U и V) могут быть перевыражены через полиномы Эрмита ; альтернативно, они также могут быть выражены через функции Бесселя.

Функции U и V также могут быть связаны с функциями D p ( x) (обозначение, восходящее к Уиттекеру (1902 г.)), которые сами иногда называются функциями параболического цилиндра (см. Abramowitz and Stegun (1965)):

${\ Displaystyle U (а, х) = D _ {- а - {\ tfrac {1} {2}}} (х),}$

${\ Displaystyle V (a, x) = {\ frac {\ Gamma ({\ tfrac {1} {2}} + a)} {\ pi}} [\ sin (\ pi a) D _ {- a- { \ tfrac {1} {2}}} (x) + D _ {- a - {\ tfrac {1} {2}}} (- x)].}$

Функция D a (z) была введена Уиттакером и Ватсоном как решение уравнения ~ ( 1) с ограниченным при. Его можно выразить через конфлюэнтные гипергеометрические функции как ${\ displaystyle {\ tilde {a}} = - {\ frac {1} {4}}, {\ tilde {b}} = 0, {\ tilde {c}} = a + {\ frac {1} {2 }}}$${\ displaystyle + \ infty}$

${\ displaystyle D_ {a} (z) = {\ frac {1} {\ sqrt {\ pi}}} {2 ^ {a / 2} e ^ {- {\ frac {z ^ {2}} {4 }}} \ left (\ cos \ left ({\ frac {\ pi a} {2}} \ right) \ Gamma \ left ({\ frac {a + 1} {2}} \ right) \, _ { 1} F_ {1} \ left (- {\ frac {a} {2}}; {\ frac {1} {2}}; {\ frac {z ^ {2}} {2}} \ right) + {\ sqrt {2}} z \ sin \ left ({\ frac {\ pi a} {2}} \ right) \ Gamma \ left ({\ frac {a} {2}} + 1 \ right) \, _ {1} F_ {1} \ left ({\ frac {1} {2}} - {\ frac {a} {2}}; {\ frac {3} {2}}; {\ frac {z ^ {2}} {2}} \ right) \ right)}.}$

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 19». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 686. ISBN.   978-0-486-61272-0. LCCN   64-60036. Руководство по ремонту   0167642. LCCN   65-12253.
• Розов, Н.Х. (2001) [1994], "Уравнение Вебера", Энциклопедия математики, EMS Press
• Темме, Н.М. (2010), "Функция параболического цилиндра", в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Бойсверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Cambridge University Press, ISBN   978-0-521-19225-5, MR   2723248
• Вебер, HF (1869) "Ueber die Integration der partiellen Differentialgleichung ". Математика. Энн., 1, 1–36${\ displaystyle \ partial ^ {2} u / \ partial x ^ {2} + \ partial ^ {2} u / \ partial y ^ {2} + k ^ {2} u = 0}$
• Whittaker, ET (1902) "О функциях, связанных с параболическим цилиндром в гармоническом анализе" Proc. Лондонская математика. Soc. 35, 417–427.
• Уиттакер, Е.Т. и Уотсон, Г.Н. «Функция параболического цилиндра». §16.5 в курсе современного анализа, 4-е изд. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета, стр. 347-348, 1990.