Оптимальное решение

Оптимальное решение - это решение, которое приводит к как минимум такому же хорошему известному или ожидаемому результату, как и все другие доступные варианты решения. Это важное понятие в теории принятия решений. Чтобы сравнить результаты различных решений, каждому из них обычно присваивается значение полезности.

Если есть неуверенность в том, каким будет результат, но имеется знание о распределении неопределенности, то согласно аксиомам фон Неймана – Моргенштерна оптимальное решение максимизирует ожидаемую полезность (вероятность– средневзвешенная полезности по всем возможным исходам решения). Иногда рассматривается эквивалентная задача минимизации ожидаемого значения потерь, где потери составляют (–1) раз больше полезности. Другой эквивалентной проблемой является минимизация ожидаемого сожаления.

«Полезность» - это всего лишь произвольный термин для количественной оценки желательности конкретного результата решения и не обязательно связанный с «полезностью». Например, для кого-то вполне может быть оптимальным решением купить спортивный автомобиль, а не универсал, если результат с точки зрения другого критерия (например, влияние на личный имидж) более желателен, даже с учетом более высокой стоимости и отсутствия универсальности спортивного автомобиля.

Задача поиска оптимального решения - это задача математической оптимизации. На практике немногие люди проверяют, что их решения оптимальны, но вместо этого используют эвристику для принятия решений, которые являются «достаточно хорошими», то есть они принимают удовлетворительные.

более формальные подходы. использоваться, когда решение достаточно важно, чтобы мотивировать время, необходимое для его анализа, или когда оно слишком сложно для решения с помощью более простых интуитивных подходов, таких как множество доступных вариантов решения и сложная взаимосвязь между решением и результатом.

• 1 Формальное математическое описание
• 2 При неопределенности результата
• 3 См. Также
• 4 Ссылки

Каждое решение $d\; \{\backslash \; displaystyle\; d\}$в наборе $D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\}$доступных вариантов решения приведет к результату $o\; =\; f\; (d)\; \{\backslash \; displaystyle\; o\; =\; f\; (d)\}$. Все возможные исходы образуют набор $O\; \{\backslash \; displaystyle\; O\}$. Назначив полезность $UO\; (o)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\_\; \{O\}\; (o)\}$каждому результату, мы можем определить полезность конкретного решения $d\; \{\backslash \; displaystyle\; d\}$как

$UD\; (d)\; =\; UO\; (f\; (d)).\; \{\backslash \; displaystyle\; U\_\; \{D\}\; (d)\; \backslash \; =\; \backslash \; U\_\; \{O\}\; (f\; (d)).\; \backslash ,\}$

Затем мы можем определить оптимальное решение $dopt\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{opt\; \}\}\}$как тот, который максимизирует $UD\; (d)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\_\; \{D\}\; (d)\}$:

$dopt\; =\; arg\; \; max\; d\; \in \; DUD\; (d).\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{opt\}\}\; =\; \backslash \; arg\; \backslash \; max\; \backslash \; limits\; \_\; \{d\; \backslash \; in\; D\}\; U\_\; \{D\}\; (d).\; \backslash ,\}$

Таким образом, решение проблемы можно разделить на три этапа:

1. прогнозирование результата $o\; \{\backslash \; displaystyle\; o\}$для каждого решения $d;\; \{\backslash \; displaystyle\; d;\}$
2. присвоение полезности $U\; O\; (o)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\_\; \{O\}\; (o)\}$каждому результату $o;\; \{\backslash \; displaystyle\; o;\}$
3. поиск решения $d\; \{\backslash \; displaystyle\; d\}$, которое максимизирует $U\; D\; (d).\; \{\backslash \; displaystyle\; U\_\; \{D\}\; (d).\}$

В случае, если невозможно с уверенностью предсказать, каким будет результат того или иного решения, необходим вероятностный подход. В самом общем виде это можно выразить следующим образом:

Учитывая решение $d\; \{\backslash \; displaystyle\; d\}$, мы знаем распределение вероятностей для возможных результатов, описываемых условная плотность вероятности $p\; (o\; |\; d)\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; (o\; |\; d)\}$. Рассмотрение $UD\; (d)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\_\; \{D\}\; (d)\}$как случайной величины (при условии $d\; \{\backslash \; displaystyle\; d\}$), мы можем вычислить ожидаемую полезность решения $d\; \{\backslash \; displaystyle\; d\}$как

$EUD\; (d)\; =\; \int \; p\; (o\; |\; d)\; U\; (o)\; do\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{E\}\}\; U\_\; \{D\}\; (d)\; =\; \backslash \; int\; \{p\; (o\; |\; d)\; U\; (o)\; do\}\; \backslash ,\}$,

где интеграл берется по всему набору $О\; \{\backslash \; displaystyle\; O\}$(ДеГрут, стр 121).

Тогда оптимальным решением $dopt\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{opt\}\}\}$является то, которое максимизирует $EUD\; (d)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{\; E\}\}\; U\_\; \{D\}\; (d)\}$, как указано выше:

$dopt\; =\; arg\; \; max\; d\; \in \; DEUD\; (d).\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{opt\}\}\; =\; \backslash \; arg\; \backslash \; max\; \backslash \; limits\; \_\; \{d\; \backslash \; in\; D\}\; \{\backslash \; text\; \{E\}\}\; U\_\; \{D\}\; (d).\; \backslash ,\}$

Примером является Задача Монти Холла.

• Принятие решений
• Программное обеспечение для принятия решений
• Двухальтернативный принудительный выбор

• Оптимальные статистические решения Морриса ДеГрута. Макгроу-Хилл. Нью-Йорк. 1970. ISBN 0-07-016242-5.
• Джеймс О. Бергер Статистическая теория принятия решений и байесовский анализ. Второе издание. 1980. Серия Спрингера в статистике. ISBN 0-387-96098-8.