Numéraire

Знаменателя (или нумератор) является основным стандартом, по которому вычисляется значение. В математической экономике это торгуемый экономический субъект, в цене которого выражаются относительные цены всех других торгуемых товаров. В денежно-кредитной экономике, выступление в качестве numéraire является одной из функций денег, чтобы служить единицей учета : обеспечивать общий ориентир, относительно которого измеряется стоимость различных товаров и услуг.

Использование системы исчисления, будь то денежная единица или какой-либо потребляемый товар, облегчает сравнение ценностей, когда важны только относительные цены, как в теории общего равновесия. Когда экономический анализ ссылается на конкретный товар как на число, говорят, что все остальные цены нормализуются по цене этого товара. Например, если единица товара g имеет вдвое большую рыночную стоимость единицы числителя, то (относительная) цена g равна 2. Поскольку стоимость одной единицы товара по отношению к одной своей единице равна 1, цена счетчика всегда равна 1.

• 1 Изменение номера
• 2 Numéraire в финансовых ценах
• 3 См. Также
• 4 ссылки

Обозначения в этом разделе необходимо определить.

На финансовом рынке с торгуемыми ценными бумагами можно использовать изменение числа для оценки активов. Например, если цена на момент 1 доллара была инвестирована на денежный рынок в момент 0, то фундаментальная теорема ценообразования активов гласит, что все активы (скажем), оцененные в терминах денежного рынка, являются мартингалами по отношению к мера, нейтральная к риску, (скажем). Это: ${\ Displaystyle M (T) = \ ехр \ влево (\ int _ {0} ^ {t} г (s) ds \ right)}$${\ displaystyle t}$ ${\ Displaystyle S (т)}$ ${\ displaystyle Q}$

${\ displaystyle {\ frac {S (t)} {M (t)}} = E_ {Q} \ left [\ left. {\ frac {S (T)} {M (T)}} \ right | { \ mathcal {F}} (t) \ right] \ qquad \ forall \, t \ leq T.}$

Теперь предположим, что это еще один строго положительный торгуемый актив (и, следовательно, мартингейл, если он оценивается с точки зрения денежного рынка). Тогда мы можем определить новую вероятностную меру производной Радона – Никодима ${\ Displaystyle N \ влево (т \ вправо)gt; 0}$${\ displaystyle Q ^ {N}}$

${\ displaystyle {\ frac {dQ ^ {N}} {dQ}} = {\ frac {M (0)} {M (T)}} {\ frac {N (T)} {N (0)}}.}$

Затем, применяя теорему Байеса, можно показать, что мартингейл меньше, если оценивать его с точки зрения нового числа: ${\ Displaystyle S (т)}$${\ displaystyle Q ^ {N}}$${\ Displaystyle N (т)}$

${\ Displaystyle {\ begin {align} amp; {} \ quad E_ {Q ^ {N}} \ left [\ left. {\ frac {S (T)} {N (T)}} \ right | {\ mathcal {F}} (t) \ right] \\ amp; = E_ {Q} \ left [\ left. {\ Frac {M (0)} {M (T)}} {\ frac {N (T)} { N (0)}} {\ frac {S (T)} {N (T)}} \ right | {\ mathcal {F}} (t) \ right] / E_ {Q} \ left [\ left. { \ frac {M (0)} {M (T)}} {\ frac {N (T)} {N (0)}} \ right | {\ mathcal {F}} (t) \ right] \\ amp; = {\ frac {M (t)} {N (t)}} E_ {Q} \ left [\ left. {\ frac {S (T)} {M (T)}} \ right | {\ mathcal { F}} (t) \ right] = {\ frac {M (t)} {N (t)}} {\ frac {S (t)} {M (t)}} = {\ frac {S (t)} {N (t)}}. \ End {align}}}$

Этот метод имеет много важных применений в моделях LIBOR и своповых рынков, а также на товарных рынках. Джамшидиан (1989) впервые использовал его в контексте модели Васичека для процентных ставок, чтобы рассчитать цены опционов на облигации. Geman, El Karoui и Rochet (1995) представили общую формальную основу для изменения техники numéraire. См., Например, Brigo and Mercurio (2001) для изменения набора инструментов numéraire.

Определение подходящего числа основано на нескольких финансовых моделях ценообразования, таких как опционы и определенные активы. Идентификация рискованного актива как numéraire коррелирует с количеством базовых активов для моделирования. Основные сдвиги моделируются следующим:

${\ displaystyle X = (X_ {0}, X_ {1},..., X_ {n}) \ to Z = (1, Z_ {1},..., Z_ {n})}$

Где набор 1 определяет новое число и может выводить риск.

• Индекс Биг Мака
• Прямая мера
• Индекс цен
• Расчетная единица

• Фаршид Джамшидиан (1989). «Точная формула ценообразования опционов на облигации». Журнал финансов. 44: 205–209. DOI : 10.1111 / j.1540-6261.1989.tb02413.x.
• Helyette Geman ; Николь Эль Каруи ; Дж. К. Роше (1995). «Изменения численности, изменения вероятностных показателей и цены опционов». Журнал прикладной теории вероятностей. 32: 443–458. DOI : 10.2307 / 3215299.
• Дамиано Бриго ; Фабио Меркурио (2006) [2001]. Модели процентной ставки - теория и практика с улыбкой, инфляции и кредита (2-е изд.). Springer Verlag. ISBN   978-3-540-22149-4.