Нормальный конус

редактировать

В алгебраической геометрии нормальный конус CXY подсхемы X схемы Y является схемой, аналогичной нормальный пучок или трубчатая окрестность в дифференциальной геометрии.

Содержание

1 Определение
2 Свойства
3 Примеры
- 3.1 Нерегулярное внедрение
4 Деформация нормального конуса
5 Собственный нормальный конус
6 См. Также
7 Примечания
8 Ссылки

Определение

Нормальный конус C X Y или $CX / Y {\ displaystyle C_ {X / Y}}$ ${\ displaystyle C_ {X / Y}}$ вложения i: X → Y, определяемого некоторым пучком идеалов I, определяется как относительный Spec

Spec X ⁡ (⊕ n = 0 ∞ I n / I n + 1). {\ displaystyle \ operatorname {Spec} _ {X} (\ oplus _ {n = 0} ^ {\ infty} I ^ {n} / I ^ {n + 1}).}

{\ displaystyle \ operatorname {Spec} _ {X} (\ oplus _ {n = 0} ^ {\ infty} I ^ {n} / I ^ {n +1}).}

Когда вложение i равно регулярный нормальный конус - это нормальное расслоение, векторное расслоение на X, соответствующее двойственному пучку I / I.

Если X - точка, то нормальный конус и нормальное расслоение к нему также называются касательным конусом и касательным пространством (касательным по Зарисскому пробел ) до точки. Когда Y = Spec R является аффинным, определение означает, что нормальный конус к X = Spec R / I является Spec связанного градуированного кольца R по отношению к I.

Если Y - это произведение X × X, а вложение i - это диагональное вложение, тогда нормальное расслоение к X в Y - это касательное расслоение к X.

нормальный конус (точнее его проективный родственник) появляется в результате раздува. Точно, пусть

π: Bl X ⁡ Y = Proj Y ⁡ (⊕ n = 0 ∞ I n) → Y {\ displaystyle \ pi: \ operatorname {Bl} _ {X} Y = \ operatorname {Proj} _ {Y} (\ oplus _ {n = 0} ^ {\ infty} I ^ {n}) \ to Y}

{\ displaystyle \ pi: \ operatorname {Bl} _ {X} Y = \ operatorname {Proj} _ {Y} (\ oplus _ {n = 0} ^ {\ infty} I ^ {n}) \ to Y}

- раздутие Y вдоль X. Тогда, по определению, исключительный дивизор - это прообраз $E = π - 1 (X) {\ displaystyle E = \ pi ^ {- 1} (X)}$ ${\ displaystyle E = \ pi ^ {- 1} (X)}$ ; который является проективным конусом элемента $⊕ 0 ∞ I n ⊗ OYOX = ⊕ 0 ∞ I n / I n + 1 {\ displaystyle \ oplus _ {0} ^ {\ infty} I ^ { n} \ otimes _ {{\ mathcal {O}} _ {Y}} {\ mathcal {O}} _ {X} = \ oplus _ {0} ^ {\ infty} I ^ {n} / I ^ { n + 1}}$ ${\ displaystyle \ oplus _ {0} ^ {\ infty} I ^ {n} \ otimes _ {{ \ mathcal {O}} _ {Y}} {\ mathcal {O}} _ {X} = \ oplus _ {0} ^ {\ infty} I ^ {n} / I ^ {n + 1}}$ . Таким образом,

E = P (C X Y) {\ displaystyle E = \ mathbb {P} (C_ {X} Y)}

{\ displaystyle E = \ mathbb {P} (C_ {X} Y)}

Глобальные разделы нормального пакета классифицируют Y в X; существует естественная биекция между множеством замкнутых подсхем Y × k D, плоских над кольцом D двойственных чисел и имеющих X в качестве специального слоя, и H (X, N X Y).

Свойства

Если $i: X ↪ Y, j: Y ↪ Z {\ displaystyle i: X \ hookrightarrow Y, \, j: Y \ hookrightarrow Z}$ ${\ displaystyle i: X \ hookrightarrow Y, \, j: Y \ hookrightarrow Z}$ - это обычное вложение, тогда $j ∘ i {\ displaystyle j \ circ i}$ ${\ displaystyle j \ circ i}$ - обычное вложение и существует естественная точная последовательность векторных пучков на X:

0 → NX / Y → NX / Z → i ∗ NY / Z → 0 {\ displaystyle 0 \ to N_ {X / Y} \ to N_ {X / Z} \ to i ^ {*} N_ {Y / Z} \ to 0}

{\ displaystyle 0 \ to N_ {X / Y} \ to N_ {X / Z} \ to я ^ {*} N_ {Y / Z} \ к 0}

Если $Y i ↪ X {\ displaystyle Y_ {i} \ hookrightarrow X}$ ${\ displaystyle Y_ {i} \ hookrightarrow X}$ являются регулярными вложениями коразмерностей $ci {\ displaystyle c_ {i}}$ $c_ {i}$ и если $W: = ⋂ i Y i ↪ X {\ displaystyle W: = \ bigcap _ {i} Y_ {i} \ hookrightarrow X}$ ${\ displaystyle W: = \ bigcap _ {i} Y_ {i} \ hookrightarrow X}$ является регулярным вложением коразмерности $∑ ci {\ displaystyle \ sum c_ {i}}$ ${\ displaystyle \ sum c_ {i}}$ , тогда

NW / X = ⨁ i NY i / X | W {\ displaystyle N_ {W / X} = \ bigoplus _ {i} N_ {Y_ {i} / X} | _ {W}}

{\ displaystyle N_ {W / X} = \ bigoplus _ {i} N_ {Y_ {i} / X} | _ {W}}

В частности, если $X → S {\ displaystyle X \ к S}$ $X \ до S$ является гладким морфизмом, тогда нормальное расслоение к диагональному вложению $Δ: X ↪ X × S ⋯ × SX {\ displaystyle \ Delta: X \ hookrightarrow X \ times _ {S} \ cdots \ times _ {S} X}$ ${\ displaystyle \ Delta: X \ hookrightarrow X \ times _ {S} \ cdots \ times _ {S} X}$ (r-кратный) является прямой суммой r - 1 копий относительной касательной bundle $TX / S {\ displaystyle T_ {X / S}}$ ${ \ displaystyle T_ {X / S}}$ .

Если $X ↪ X ′ {\ displaystyle X \ hookrightarrow X '}$ $X\hookrightarrow X'$ - это закрытое погружение и если $Y ′ → Y {\ displaystyle Y '\ to Y}$ $Y'\to Y$ - плоский морфизм такой, что $X ′ = X × YY ′ {\ displaystyle X' = X \ times _ {Y} Y '}$ $X'=X\times _{Y}Y'$ , тогда

CX ′ / Y ′ = CX / Y × XX ′. {\ displaystyle C_ {X '/ Y'} = C_ {X / Y} \ times _ {X} X '.}

C_{X'/Y'}=C_{X/Y}\times _{X}X'.

Если $X → S {\ displaystyle X \ to S}$ $X \ до S$ является гладким морфизмом и $X ↪ Y {\ displaystyle X \ hookrightarrow Y}$ $X \ hookrightarrow Y$ является регулярным вложением, тогда существует естественная точная последовательность векторных расслоений на X :

0 → TX / S → TY / S | X → NX / Y → 0 {\ displaystyle 0 \ to T_ {X / S} \ to T_ {Y / S} | _ {X} \ to N_ {X / Y} \ to 0}

{\ displaystyle 0 \ to T_ {X / S} \ to T_ {Y / S } | _ {X} \ к N_ {X / Y} \ к 0}

(т.е. частный случай точной последовательности для котангенсных пучков.)

Пусть $X {\ displaystyle X}$ $X$ будет схемой конечного типа над полем и $W ⊂ X {\ displaystyle W \ subset X}$ $W \ subset X$ замкнутая подсхема. Если $X {\ displaystyle X}$ $X$ имеет чистую размерность r; то есть каждый неприводимый компонент имеет размерность r, тогда $C W / X {\ displaystyle C_ {W / X}}$ ${\ displaystyle C_ {W / X}}$ также имеет чистую размерность r. (Это можно рассматривать как следствие # Деформации нормального конуса.) Это свойство является ключом к применению в теории пересечений: задана пара замкнутых подсхем $V, X {\ displaystyle V, X}$ ${\ displaystyle V, X}$ в некотором окружающем пространстве, в то время как теоретико-схемное пересечение $V ∩ X {\ displaystyle V \ cap X}$ ${\ displaystyle V \ cap X}$ имеет неприводимые компоненты различных размеров, в зависимости от положения $V, X {\ displaystyle V, X}$ ${\ displaystyle V, X}$ , нормального конуса до $V ∩ X {\ displaystyle V \ cap X}$ ${\ displaystyle V \ cap X}$ имеет чистое измерение.

Примеры

Пусть $D ↪ X {\ displaystyle D \ hookrightarrow X}$ ${\ displaystyle D \ hookrightarrow X}$ будет эффективным делителем Картье. Тогда нормальный пучок к нему (или, что то же самое, нормальный конус к нему) равен
$N D / X = O D (D): = O X (D) | D {\ Displaystyle N_ {D / X} = {\ mathcal {O}} _ {D} (D): = {\ mathcal {O}} _ {X} (D) | _ {D}}$ ${\ Displaystyle N_ {D / X} = {\ mathcal {O}} _ {D} (D): = {\ mathcal {O}} _ {X} (D) | _ {D}}$ .

Нерегулярное вложение

Рассмотрим нерегулярное вложение

X = Spec (C [x, y, z] (xz, yz)) → A 3 {\ displaystyle X = {\ text {Spec }} \ left ({\ frac {\ mathbb {C} [x, y, z]} {(xz, yz)}} \ right) \ to \ mathbb {A} ^ {3}}

{\ displaystyle X = {\ text {Spec}} \ left ({\ frac {\ mathbb {C} [x, y, z]} {(xz, yz)}} \ right) \ to \ mathbb { A} ^ {3}}

тогда, мы можем вычислить нормальный конус, сначала наблюдая

I = (xz, yz) I 2 = (x 2 z 2, xyz 2, y 2 z 2) {\ displaystyle {\ begin {align} I = (xz, yz) \\ I ^ {2} = (x ^ {2} z ^ {2}, xyz ^ {2}, y ^ {2} z ^ {2}) \\\ конец {выровнено}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} I = (xz, yz) \\ I ^ {2} = (x ^ {2} z ^ {2}, xyz ^ {2}, y ^ {2} z ^ {2}) \\\ конец {выровнено}}}

Если мы сделаем вспомогательные переменные $a = xz {\ displaystyle a = xz}$ ${\ displaystyle a = xz}$ и $b = yz {\ displaystyle b = yz}$ ${\ displaystyle b = yz}$ , тогда заметим, что

I 2 = (a 2, ab, b 2) {\ displaystyle I ^ {2} = (a ^ {2}, ab, b ^ {2})}

{\ displaystyle I ^ {2} = (a ^ {2}, ab, b ^ {2})}

с соотношением

a 2 b 2 - ab = 0. {\ displaystyle a ^ {2} b ^ {2} -ab = 0.}

{\ displaystyle a ^ {2} b ^ {2} -ab = 0.}

Мы можем использовать это для представления обычного конуса:

CXA 3 = Spec Икс (OX [a, b] (a 2 b 2 - ab)) {\ displaystyle C_ {X} \ mathbb {A} ^ {3} = {\ text {Spec}} _ {X} \ left ({\ frac {{\ mathcal {O}} _ {X} [a, b]} {(a ^ {2} b ^ {2} -ab)}} \ right)}

{\ displaystyle C_ {X} \ mathbb {A} ^ {3} = {\ text {Spec} } _ {X} \ left ({\ frac {{\ mathcal {O}} _ {X} [a, b]} {(a ^ {2} b ^ {2} -ab)}} \ right)}

Деформация к нормальному конусу

Предположим, что i: X → Y - вложение. Это может быть преобразовано в вложение X в нормальный конус C X Y в следующем смысле: существует семейство вложений, параметризованное элементом t проективной или аффинной прямой, такое, что если t = 0 вложение - это вложение в нормальный конус, а для других t оно изоморфно данному вложению i. (См. Конструкцию ниже.)

Одно из применений этого - определение продуктов пересечения в кольце Чоу. Предположим, что X и V - замкнутые подсхемы Y с пересечением W, и мы хотим определить произведение пересечений X и V в кольце Чжоу Y. Деформация нормального конуса в этом случае означает, что мы заменяем вложения X и W в Y и V их нормальными конусами C Y (X) и C W (V), так что мы хотим найти произведение X и C W V в C X Y. Это может быть намного проще: например, если X является регулярно вложенным в Y, то его нормальный конус является векторным расслоением, поэтому мы сводимся к проблеме поиска произведения пересечений подсхемы C W V векторного расслоения C X Y с нулевым сечением X. Однако это произведение пересечений просто задается применением изоморфизма Гизина к C W V.

Конкретно, деформация нормального конуса может быть построена с помощью раздува. Точно, пусть

π: M → Y × P 1 {\ displaystyle \ pi: M \ to Y \ times \ mathbb {P} ^ {1}}

{\ displaystyle \ pi: M \ to Y \ times \ mathbb {P} ^ {1}}

будет раздутием $Y × P 1 {\ displaystyle Y \ times \ mathbb {P} ^ {1}}$ ${\ displaystyle Y \ times \ mathbb {P} ^ {1}}$ вдоль $X × 0 {\ displaystyle X \ times 0}$ ${\ displaystyle X \ times 0}$ . Исключительный делитель равен $CXY ¯ = P (CXY ⊕ 1) {\ displaystyle {\ overline {C_ {X} Y}} = \ mathbb {P} (C_ {X} Y \ oplus 1)}$ ${\ displaystyle {\ overline {C_ {X} Y}} = \ mathbb {P} (C_ {X } Y \ oplus 1)}$ - проективное пополнение нормального конуса; используемые здесь обозначения см. в разделе cone # Properties. Нормальный конус $CXY {\ displaystyle C_ {X} Y}$ ${\ displaystyle C_ {X} Y}$ - это открытая подсхема $CXY ¯ {\ displaystyle {\ overline {C_ {X} Y}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {C_ {X} Y} }}$ и $X {\ displaystyle X}$ $X$ внедряется как нулевое сечение в $CXY {\ displaystyle C_ {X} Y}$ ${\ displaystyle C_ {X} Y}$ .

Теперь мы отмечаем:

Карта $ρ: M → P 1 {\ displaystyle \ rho: M \ to \ mathbb {P} ^ {1}}$ ${\ displaystyle \ rho: M \ to \ mathbb {P} ^ {1}}$ , $π {\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ , за которым следует проекция, является плоским.
Есть индуцированное закрытое вложение
$i ~: X × P 1 ↪ M {\ displaystyle {\ widetilde {i}}: X \ times \ mathbb {P} ^ {1} \ hookrightarrow M}$ ${\ displaystyle {\ widetilde {i}}: X \ times \ mathbb {P} ^ {1} \ крючок стрелка вправо M}$
, который является морфизмом над $P 1 {\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {1}}$ $\ mathbb {P} ^ {1}$ .
M тривиально от нуля; т.е. $ρ - 1 (P 1 - 0) = Y × (P 1 - 0) {\ displaystyle \ rho ^ {- 1} (\ mathbb {P} ^ {1} -0) = Y \ times (\ mathbb {P} ^ {1} -0)}$ ${\ displaystyle \ rho ^ {- 1 } (\ mathbb {P} ^ {1} -0) = Y \ times (\ mathbb {P} ^ {1} -0)}$ и $i ~ {\ displaystyle {\ widetilde {i}}}$ ${\ Displaystyle {\ widetilde {я} }}$ ограничивается тривиальным вложением
$Икс × (P 1 - 0) ↪ Y × (P 1 - 0) {\ Displaystyle X \ times (\ mathbb {P} ^ {1} -0) \ hookrightarrow Y \ times (\ mathbb {P} ^ { 1} -0)}$ ${\ displaystyle X \ times (\ mathbb {P} ^ {1} -0) \ hookrightarrow Y \ times (\ mathbb {P} ^ {1} -0)}$ .
$ρ - 1 (0) {\ displaystyle \ rho ^ {- 1} (0)}$ ${\ displaystyle \ rho ^ {- 1} (0) }$ , поскольку делителем является сумма
$CXY ¯ + Y ~ {\ displaystyle {\ overline {C_ {X} Y}} + {\ widetilde {Y}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {C_ {X} Y}} + {\ widetilde {Y}}}$
, где $Y ~ {\ displaystyle {\ widetilde {Y}}}$ ${\ displaystyle {\ widetilde {Y}}}$ представляет собой раздутие Y вдоль X и рассматривается как эффективный делитель Картье.
В качестве делителей $CXY ¯ {\ displaystyle {\ overline {C_ {X} Y}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {C_ {X} Y} }}$ и $Y ~ {\ displaystyle {\ widetilde {Y}}}$ ${\ displaystyle {\ widetilde {Y}}}$ пересекаются в $P (C) {\ displaystyle \ mathbb {P} (C)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (C)}$ , где $P (C) {\ displaystyle \ mathbb {P} (C)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (C)}$ находится на бесконечности в $CXY ¯ {\ displaystyle {\ overline {C_ {X} Y}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {C_ {X} Y} }}$ .

Пункт 1.. чистая (проверить без кручения). В общем, для $X ⊂ Y {\ displaystyle X \ subset Y}$ $X \ subset Y$ мы имеем $Bl V ⁡ X ⊂ Bl V ⁡ Y {\ displaystyle \ operatorname {Bl} _ {V } X \ subset \ operatorname {Bl} _ {V} Y}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Bl} _ {V} X \ subset \ имя оператора {Bl} _ {V} Y}$ . Поскольку $X × 0 {\ displaystyle X \ times 0}$ ${\ displaystyle X \ times 0}$ уже является эффективным делителем Картье на $X × P 1 {\ displaystyle X \ times \ mathbb {P} ^ {1} }$ ${\ displaystyle X \ times \ mathbb {P} ^ {1}}$ , получаем

X × P 1 = Bl X × 0 ⁡ X × P 1 ↪ M {\ displaystyle X \ times \ mathbb {P} ^ {1} = \ operatorname {Bl} _ {X \ times 0} X \ times \ mathbb {P} ^ {1} \ hookrightarrow M}

{\ displaystyle X \ times \ mathbb {P} ^ {1} = \ operatorname {Bl} _ {X \ times 0} X \ times \ mathbb {P} ^ {1} \ hookrightarrow M}

, что дает $i ~ {\ displaystyle {\ widetilde {i}}}$ ${\ Displaystyle {\ widetilde {я} }}$ . Пункт 3. следует из того факта, что карта продувки π является изоморфизмом от центра $X × 0 {\ displaystyle X \ times 0}$ ${\ displaystyle X \ times 0}$ . Последние два элемента видны из явных локальных вычислений. $◻ {\ displaystyle \ square}$ $\ square$

Теперь последний элемент в предыдущем абзаце подразумевает, что изображение $X × 0 {\ displaystyle X \ times 0}$ ${\ displaystyle X \ times 0}$ в M действительно не пересекаются $Y ~ {\ displaystyle {\ widetilde {Y}}}$ ${\ displaystyle {\ widetilde {Y}}}$ . Таким образом, мы получаем деформацию i до вложения X нулевого сечения в нормальный конус.

Внутренний нормальный конус

Пусть X - стек Делиня – Мамфорда локально конечного типа над полем k. Если $LX {\ displaystyle {\ textbf {L}} _ {X}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {L}} _ {X}}$ обозначает котангенс-комплекс X относительно k, тогда внутренняя нормальная связка От до X - это стек частных

NX: = h 1 / h 0 (LX, fppf ∨) {\ displaystyle {\ mathfrak {N}} _ {X}: = h ^ {1} / h ^ {0} ({\ textbf {L}} _ {X, {\ text {fppf}}} ^ {\ vee})}

{\ displaystyle {\ mathfrak {N}} _ {X}: = h ^ { 1} / час ^ {0} ({\ textbf {L}} _ {X, {\ text {fppf}}} ^ {\ vee})}

который является стеком fppf $LX ∨, 0 { \ displaystyle {\ textbf {L}} _ {X} ^ {\ vee, 0}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {L}} _ {X} ^ {\ vee, 0}}$ -торсоры на $LX ∨, 1 {\ displaystyle {\ textbf {L}} _ {X} ^ {\ vee, 1}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {L}} _ {X} ^ {\ vee, 1}}$ . Более конкретно, предположим, что существует этальный морфизм $U → X {\ displaystyle U \ to X}$ ${\ displaystyle U \ to X}$ из аффинной k-схемы U конечного типа вместе с локально замкнутым погружением $f: U → M {\ displaystyle f: U \ to M}$ ${\ displaystyle f: U \ to M}$ в гладкую аффинную k-схему конечного типа M. Тогда можно показать

NX | U = [N U / M / f ∗ T M]. {\ displaystyle {\ mathfrak {N}} _ {X} | _ {U} = [N_ {U / M} / f ^ {*} T_ {M}].}

{\ displaystyle {\ mathfrak {N}} _ {X} | _ {U} = [N_ {U / M} / f ^ {*} T_ {M}].}

Внутренний нормальный конус на X, обозначаемый как $CX {\ displaystyle {\ mathfrak {C}} _ {X}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {C}} _ {X}}$ , затем определяется путем замены обычного пакета $NU / M {\ displaystyle N_ {U / M}}$ ${\ Displaystyle N_ {Е / М}}$ с нормальным конусом $CU / M {\ displaystyle C_ {U / M}}$ ${\ displaystyle C_ {U / M}}$ ; т.е.

C X | U = [C U / M / f ∗ T M]. {\ displaystyle {\ mathfrak {C}} _ ​​{X} | _ {U} = [C_ {U / M} / f ^ {*} T_ {M}].}

{\ displaystyle {\ mathfrak {C}} _ ​​{X} | _ {U} = [C_ {U / M} / f ^ {*} T_ {M}].}

Пример : есть что $X {\ displaystyle X}$ $X$ является локальным полным пересечением тогда и только тогда, когда $CX = NX {\ displaystyle {\ mathfrak {C}} _ {X} = {\ mathfrak { N}} _ {X}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {C}} _ {X} = {\ mathfrak {N}} _ {X}}$ . В частности, если X гладкий, то $CX = NX = BTX {\ displaystyle {\ mathfrak {C}} _ {X} = {\ mathfrak {N}} _ {X} = BT_ {X}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {C} } _ {X} = {\ mathfrak {N}} _ {X} = BT_ {X}}$ - это классифицирующий стек касательного пучка $TX {\ displaystyle T_ {X}}$ ${\ displaystyle T_ {X}}$ , который представляет собой схему коммутативной группы над X.

В более общем смысле, пусть $X → Y {\ displaystyle X \ to Y}$ $от X \ до Y$ является морфизмом типа Делиня-Мамфорда (DM-тип) стека Артина, который локально конечного типа. Тогда $CX / Y ⊆ NX / Y {\ displaystyle {\ mathfrak {C}} _ {X / Y} \ substeq {\ mathfrak {N}} _ {X / Y}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {C}} _ {X / Y } \ substeq {\ mathfrak {N}} _ {X / Y}}$ - это характеризуется как замкнутый подстак, такой, что для любого этального отображения $U → X {\ displaystyle U \ to X}$ ${\ displaystyle U \ to X}$ , для которого $U → X → Y {\ displaystyle U \ to X \ на Y}$ ${\ dis playstyle U \ to X \ to Y}$ множители через некоторую гладкую карту $M → Y {\ displaystyle M \ to Y}$ ${\ displaystyle M \ to Y}$ (например, $AY n → Y {\ displaystyle \ mathbb { A} _ {Y} ^ {n} \ to Y}$ ${\ displaystyle \ mathbb {A} _ {Y} ^ {n} \ to Y}$ ), откат:

CX / Y | U = [C U / M / T M / Y | U]. {\ displaystyle {\ mathfrak {C}} _ ​​{X / Y} | _ {U} = [C_ {U / M} / T_ {M / Y} | _ {U}].}

{\ displaystyle {\ mathfrak {C}} _ ​​{X / Y} | _ {U} = [C_ {U / M} / T_ {M / Y} | _ {U}].}

См. также

Остаточное пересечение

Примечания

Ссылки

Behrend, K.; Фантечи, Б. (1997-03-01). «Внутренний нормальный конус». Inventiones Mathematicae. 128 (1): 45–88. doi : 10.1007 / s002220050136. ISSN 0020-9910.
Уильям Фултон. (1998), Теория пересечений, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 2 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-62046 -4, MR 1644323
Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия, Тексты для выпускников по математике, 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157