Нейтральная ось

редактировать

Луч с нейтральной осью (x).

Нейтральная ось - это ось в поперечном сечении балки (элемента, стойкого к изгибу) или вала, вдоль которого отсутствуют продольные напряжения или деформации. Если сечение симметрично, изотропно и не искривлено до того, как произойдет изгиб, то нейтральная ось находится в геометрическом центроиде. Все волокна на одной стороне нейтральной оси находятся в состоянии растяжения, а волокна на противоположной стороне находятся в состоянии сжатия.

Поскольку балка подвергается равномерному изгибу, плоскость на балке остается самолетом. То есть:

$γ xy = γ zx = τ xy = τ xz = 0 {\ displaystyle \ gamma _ {xy} = \ gamma _ {zx} = \ tau _ {xy} = \ tau _ {xz} = 0}$ $\ gamma_ {xy} = \ gamma_ {zx} = \ tau_ {xy} = \ tau_ {xz} = 0$

где $γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$ - это деформация сдвига, а $τ {\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ - напряжение сдвига

Существует сжимающая (отрицательная) деформация в верхней части балки и растягивающая (положительная) деформация в нижней части балки. Следовательно, согласно теореме о промежуточном значении, между верхом и низом должна быть какая-то точка, которая не имеет деформации, поскольку деформация в балке является непрерывной функцией.

Пусть L будет исходная длина балки (пролет ). ε (y) - деформация как функция координаты на поверхности балки.. σ (y) - напряжение как функция координата на лицевой стороне балки.. ρ - радиус кривизны балки на ее нейтральной оси.. θ - угол изгиба

Поскольку изгиб однородный и чистый, следовательно, на расстоянии y от нейтральной оси с присущим ему свойством не иметь деформации:

$ϵ x (y) = L (y) - LL знак равно θ (ρ - y) - θ ρ θ ρ = - y θ ρ θ = - y ρ {\ displaystyle \ epsilon _ {x} (y) = {\ frac {L (y) -L} {L}} = {\ frac {\ theta \, (\ rho \, - y) - \ theta \ rho \,} {\ theta \ rho \,}} = {\ frac {-y \ theta} {\ rho \ theta} } = {\ frac {-y} {\ rho}}}$ $\ epsilon_x (y) = \ frac {L (y) -L} {L} = \ frac {\ theta \, (\ rho \, - y) - \ theta \ rho \,} {\ theta \ rho \, } = \ frac {-y \ theta} {\ rho \ theta} = \ frac {-y} {\ rho}$

Следовательно, продольная нормальная деформация $ϵ x {\ displaystyle \ epsilon _ {x}}$ $\ epsilon_x$ varie s линейно с расстоянием y от нейтральной поверхности. Обозначая $ϵ m {\ displaystyle \ epsilon _ {m}}$ $\ epsilon _ {m}$ как максимальную деформацию в балке (на расстоянии c от нейтральной оси), становится ясно, что:

$ϵ m = c ρ {\ displaystyle \ epsilon _ {m} = {\ frac {c} {\ rho}}}$ $\ epsilon_m = \ frac {c} {\ rho}$

Таким образом, мы можем решить для ρ и найти, что:

$ρ = c ϵ m {\ displaystyle \ rho = {\ frac {c} {\ epsilon _ {m}}}}$ $\ rho = \ frac {c} {\ epsilon_m}$

Подставляя это обратно в исходное выражение, мы обнаруживаем, что:

$ϵ x (y) = - ϵ myc {\ displaystyle \ epsilon _ {x} (y) = {\ frac {- \ epsilon _ {m} y} {c}}}$ $\ epsilon_x (y) = \ frac {- \ epsilon_my} {c}$

Согласно закону Гука, напряжение в балке пропорционально деформация на E, модуль упругости :

$σ x = E ϵ x {\ displaystyle \ sigma _ {x} = E \ epsilon _ {x} \,}$ $\ sigma_x = E \ epsilon_x \, $

Следовательно:

$E ϵ Икс (Y) = - E ϵ myc {\ displaystyle E \ epsilon _ {x} (y) = {\ frac {-E \ epsilon _ {m} y} {c}}}$ $E \ epsilon_x (y) = \ frac {-E \ epsilon_my} {c}$

$σ x (y) = - σ myc {\ displaystyle \ sigma _ {x} (y) = {\ frac {- \ sigma _ {m} y} {c}}}$ $\ sigma_x (y) = \ frac {- \ sigma_my} {c}$

Из статики, момент (т.е. чистый изгиб ) состоит из равных и противоположных сил. Следовательно, общая сила, действующая в поперечном сечении, должна быть 0.

$∫ σ xd A = 0 {\ displaystyle \ int \ sigma _ {x} dA = 0}$ $\ int \ sigma_x dA = 0$

Следовательно:

$∫ - σ mycd A = 0 {\ displaystyle \ int {\ frac {- \ sigma _ {m} y} {c}} dA = 0}$ $\ int \ frac {- \ sigma_my} {c} dA = 0$

Поскольку y обозначает расстояние от нейтральной оси до любой точки на грани, - единственная переменная, которая изменяется относительно dA. Следовательно:

$∫ y d A = 0 {\ displaystyle \ int ydA = 0}$ $\ int y dA = 0$

Следовательно, первый момент поперечного сечения относительно его нейтральной оси должен быть равен нулю. Следовательно, нейтральная ось лежит в центре тяжести поперечного сечения.

Обратите внимание, что нейтральная ось не изменяется по длине при изгибе. Сначала это может показаться нелогичным, но это потому, что в нейтральной оси нет изгибающих напряжений. Однако есть касательные напряжения (τ) по нейтральной оси, равные нулю в середине пролета, но возрастающие по направлению к опорам, как видно из этой функции (формула Журавского);

τ = TQ w I {\ displaystyle \ tau = {\ frac {TQ} {wI}}}

{\ displaystyle \ tau = {\ frac {TQ} {wI}}}

, где. T = поперечная сила. Q = первый момент площади сечения выше / ниже нейтральной оси. w = ширина балки. I = второй момент площади балки

Это определение подходит для так -называется длинной балкой, т.е. ее длина намного больше двух других размеров.

Арки

Арки также имеют нейтральную ось, если они сделаны из камня; Камень - неэластичная среда и имеет небольшую прочность на растяжение. Следовательно, когда нагрузка на арку изменяется, нейтральная ось перемещается - если нейтральная ось покидает каменную кладку, арка выйдет из строя.

Эта теория (также известная как метод линии тяги ) была предложена Томасом Янгом и развита Isambard Kingdom Brunel.

См. Также