Логарифмически вогнутая мера

В математике, мера Бореля μ на n- размерное евклидово пространство $R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$называется логарифмически вогнутым (или log-вогнутый для краткости), если для любых компактных подмножеств A и B из $R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$и 0 < λ < 1, one has

$\mu \; (\lambda \; A\; +\; (1\; -\; \lambda )\; B)\; \ge \; \mu \; (A)\; \lambda \; \mu \; (B)\; 1\; -\; \lambda ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; (\backslash \; lambda\; A\; +\; (1-\; \backslash \; lambda)\; B)\; \backslash \; geq\; \backslash \; mu\; (A)\; ^\; \{\backslash \; lamb\; da\}\; \backslash \; mu\; (B)\; ^\; \{1-\; \backslash \; lambda\},\}$

где λ A + (1 - λ) B обозначает сумму Минковского λ A и (1 - λ) B.

Неравенство Брунна – Минковского утверждает, что мера Лебега является логарифмически вогнутой. Ограничение меры Лебега на любое выпуклое множество также лог-вогнуто.

По теореме Борелла мера логарифмически вогнута тогда и только тогда, когда она имеет плотность относительно меры Лебега на некоторой аффинной гиперплоскости, и эта плотность является логарифмически вогнутой функцией. Таким образом, любая гауссовская мера логарифмически вогнута.

Неравенство Прекопы – Лейндлера показывает, что свертка логарифмически вогнутых мер является логарифмически вогнутой.

• Выпуклая мера, обобщение этой концепции
• Логарифмически вогнутая функция

1. ^Prékopa, A. (1980). «Логарифмические вогнутые меры и связанные темы». Стохастическое программирование (Proc. Internat. Conf., Univ. Oxford, Oxford, 1974). Лондон-Нью-Йорк: Academic Press. С. 63–82. MR 0592596.
2. ^Борелл, К. (1975). «Выпуклые функции множества в d-пространстве». Период. Математика. Hungar. 6 (2): 111–136. doi :10.1007/BF02018814. MR 0404559.