Логарифмически вогнутая функция

В выпуклом анализе, не -отрицательная функция f: R→ R+является логарифмически вогнутым (или логарифмически вогнутым для краткости), если его домен является выпуклым множеством, и если он удовлетворяет неравенству

$f\; (\theta \; x\; +\; (1\; -\; \theta )\; y)\; \ge \; f\; (x)\; \theta \; f\; (y)\; 1\; -\; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (\backslash \; theta\; x\; +\; (1-\; \backslash \; theta)\; y)\; \backslash \; geq\; f\; (x)\; ^\; \{\backslash \; theta\}\; f\; (y)\; ^\; \{1-\; \backslash \; theta\}\}$

для всех x, y ∈ dom f и 0 < θ < 1. If f is strictly positive, this is equivalent to saying that the логарифм функции, log ∘ f, является вогнутым ; то есть

$журнал\; \; е\; (\theta \; x\; +\; (1\; -\; \theta )\; y)\; \ge \; \theta \; журнал\; \; f\; (x)\; +\; (1\; -\; \theta )\; журнал\; \; f\; (y)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; f\; (\backslash \; theta\; x\; +\; (1-\; \backslash \; theta)\; y)\; \backslash \; geq\; \backslash \; theta\; \backslash \; log\; f\; (x)\; +\; (1-\; \backslash \; theta)\; \backslash \; log\; f\; (y)\}$

для всех x, y ∈ dom f и 0 < θ < 1.

Примерами логарифмически вогнутых функций являются 0-1 индикаторные функции выпуклых множеств (что требует более гибкого определения) и функция Гаусса.

. Аналогично, функция log-convex, если он удовлетворяет обратному неравенству

$f\; (\theta \; x\; +\; (1\; -\; \theta )\; y)\; \le \; f\; (x)\; \theta \; f\; (y)\; 1\; -\; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (\backslash \; theta\; x\; +\; (1-\; \backslash \; theta)\; y)\; \backslash \; leq\; f\; (x)\; ^\; \{\backslash \; theta\}\; f\; (y)\; ^\; \{1-\; \backslash \; theta\}\}$

для всех x, y ∈ dom f и 0 < θ < 1.

Содержание

• 1 Свойства
• 2 Операции сохранения логарифмической вогнутости
• 3 Логарифмически вогнутые распределения
• 4 См. Также
• 5 Примечания
• 6 Ссылки

Свойства

• Журнал- вогнутая функция также является квазивогнутой. Это следует из того факта, что логарифм является монотонным, что означает, что множества этой функции являются выпуклыми.
• Каждая вогнутая функция, которая неотрицательна в своей области определения, является логарифмической. Однако обратное не обязательно. Примером может служить функция Гаусса f (x) = exp (−x / 2), которая является лог-вогнутой, поскольку log f (x) = −x / 2 является вогнутой функцией от x. Но f не вогнутое, поскольку вторая производная положительна при | x |>1:

$f\; ″\; (x)\; =\; e\; -\; x\; 2\; 2\; (x\; 2\; -\; 1)\; \nleqq \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \text{'}\text{'}\; (x)\; =\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{2\}\}\; \{\; 2\}\}\}\; (x\; ^\; \{2\}\; -1)\; \backslash \; nleq\; 0\}$

• Две точки сверху, вогнутость $\Rightarrow \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Rightarrow\}$log- вогнутость $\Rightarrow \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Rightarrow\}$квазивогнутость.
• Дважды дифференцируемая неотрицательная функция с выпуклой областью является лог-вогнутой тогда и только тогда, когда для всех x, удовлетворяющих f (x)>0,

$е\; (Икс)\; \nabla \; 2\; е\; (Икс)\; ⪯\; \nabla \; е\; (Икс)\; \nabla \; е\; (Икс)\; T\; \{\backslash \; Displaystyle\; F\; (x)\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; f\; (x)\; \backslash \; prevq\; \backslash \; nabla\; f\; (x)\; \backslash \; nabla\; f\; (х)\; ^\; \{T\}\}$,

т.е.

$е\; (х)\; \nabla \; 2\; е\; (х)\; -\; \nabla \; е\; (х)\; \nabla \; е\; (х)\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; f\; (x)\; -\; \backslash \; nabla\; f\; (x)\; \backslash \; nabla\; f\; (x)\; ^\; \{T\}\}$is

отрицательный полуопределенный. Для функций одной переменной это условие упрощается до

$f\; (x)\; f\; ″\; (x)\; \le \; (f\; \prime \; (x))\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; f\; \text{'}\text{'}\; (x)\; \backslash \; leq\; (f\; \text{'}(\; x))\; ^\; \{2\}\}$

Операции, сохраняющие логарифмическую вогнутость

• Продукты: Результатом логарифмических функций также является логарифмическая вогнутость. В самом деле, если f и g - логарифмически вогнутые функции, то log f и log g вогнуты по определению. Следовательно,

$журнал\; е\; (х)\; +\; журнал\; g\; (х)\; =\; журнал\; \; (е\; (х)\; г\; (х))\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; журнал\; \backslash ,\; е\; (х)\; +\; \backslash \; журнал\; \backslash ,\; г\; (х)\; =\; \backslash \; log\; (f\; (x)\; g\; (x))\}$

является вогнутым, и, следовательно, также fg является логарифмическим.

• Поля : если f (x, y): R→ Rлогарифмически вогнутым, то

$g\; (x)\; =\; \int \; f\; (x,\; y)\; dy\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (x)\; =\; \backslash \; int\; f\; (x,\; y)\; dy\}$

логарифмически вогнутый (см. Prékopa– Неравенство Лейндлера ).

• Это означает, что свертка сохраняет логарифмическую вогнутость, поскольку h (x, y) = f (xy) g (y) логарифмически вогнута, если f и g логарифмически вогнуты, и поэтому

$(е\; *\; г)\; (Икс)\; знак\; равно\; \int \; е\; (Икс\; -\; Y)\; г\; (у)\; dy\; =\; \int \; час\; (х,\; у)\; dy\; \{\backslash \; Displaystyle\; (е\; *\; г)\; (х)\; =\; \backslash \; int\; f\; (\; xy)\; g\; (y)\; dy\; =\; \backslash \; int\; h\; (x,\; y)\; dy\}$

логарифмически вогнутые.

Логарифмически вогнутые распределения

Логарифмически вогнутые распределения необходимы для ряда алгоритмов, например, выборка с адаптивным отклонением. Каждое распределение с логарифмически вогнутой плотностью представляет собой распределение вероятностей максимальной энтропии с заданным средним μ и мерой риска отклонения D. Как это бывает, многие общие вероятно Распределения ty логарифмически вогнуты. Некоторые примеры:

• нормальное распределение и многомерное нормальное распределение.
• экспоненциальное распределение.
• равномерное распределение по любому выпуклому множеству.
• логистическое распределение.
• распределение экстремальных значений.
• распределение Лапласа.
• распределение ци.
• распределение гиперболического секанса.
• Распределение Уишарта, где n>= p + 1.
• Распределение Дирихле, где все параметры>= 1.
• гамма-распределение, если параметр формы>= 1.
• распределение хи-квадрат, если число степеней свободы>= 2.
• бета-распределение, если оба параметра формы>= 1.
• Распределение Вейбулла, если параметр формы>= 1.

Обратите внимание, что все у ограничений параметров один и тот же основной источник: показатель неотрицательной величины должен быть неотрицательным, чтобы функция была логарифмически вогнутой.

Следующие распределения не являются логарифмически вогнутыми для всех параметров:

• t-распределение Стьюдента.
• Распределение Коши.
• Распределение Парето.
• логарифмически-нормальное распределение.
• F-распределение.

Обратите внимание, что кумулятивная функция распределения (CDF) всех логарифмически вогнутых распределений также логарифмически вогнутая. Однако некоторые не логарифмически вогнутые распределения также имеют логарифмически вогнутые CDF:

• логарифмически нормальное распределение.
• распределение Парето.
• распределение Вейбулла, когда параметр формы < 1.
• гамма-распределение при параметре формы < 1.

Среди свойств логарифмически вогнутых распределений:

• Если плотность логарифмически вогнутая, то и кумулятивная функция распределения (CDF).
• Если многомерная плотность логарифмически вогнута, то же самое можно сказать и о предельной плотности по любому подмножеству переменных.
• Сумма двух независимых логарифмически вогнутых случайных величин логарифмически вогнутыми. Это следует из того факта, что свертка двух логарифмически вогнутых функций является логарифмически вогнутой.
• Продукт двух логарифмически вогнутых функций является логарифмически вогнутым. Это означает, что плотности соединения, сформированные путем умножения двух плотностей вероятности (например, нормальное гамма-распределение, которое всегда имеет параметр формы>= 1), будут логарифмически вогнутыми. Это свойство широко используется в программах выборки Гиббса общего назначения, таких как BUGS и JAGS, которые, таким образом, могут использовать выборку с адаптивным отклонением по широкому кругу условных распределений, полученных из произведения других распределений.

См. также

• логарифмически вогнутую последовательность
• логарифмически вогнутую меру
• логарифмически выпуклую функцию
• выпуклая функция

Примечания

Ссылки

• Barndorff-Nielsen, Ole (1978). Информационные и экспоненциальные семейства в статистической теории. Ряд Уайли по вероятности и математической статистике. Чичестер: John Wiley \ Sons, Ltd., стр. Ix + 238 стр. ISBN 0-471-99545-2. MR 0489333.
• Дхармадхикари, Судхакар; Йоаг-Дев, Кумар (1988). Унимодальность, выпуклость и приложения. Вероятность и математическая статистика. Бостон, Массачусетс: Academic Press, Inc., стр. Xiv + 278. ISBN 0-12-214690-5. MR 0954608.

• Пфанцагл, Иоганн; при содействии Р. Хамбёкера (1994). Параметрическая статистическая теория. Вальтер де Грюйтер. ISBN 3-11-013863-8. MR 1291393.

• Pečarić, Josip E.; Прошан, Франк; Тонг, Ю. Л. (1992). Выпуклые функции, частичные упорядочения и статистические приложения. Математика в науке и технике. 187 . Бостон, Массачусетс: Academic Press, Inc., стр. Xiv + 467 стр. ISBN 0-12-549250-2. MR 1162312. На сайте указан пустой неизвестный параметр: |1=()