Логарифмическая система счисления

редактировать

A Логарифмическая система счисления (LNS ) является арифметическая система, используемая для представления действительных чисел в компьютере и цифровом оборудовании, особенно для цифровой обработки сигналов.

Содержание

1 Обзор
2 История
3 Приложения
4 См. Также
5 Ссылки
6 Дополнительная литература
7 Внешние ссылки

Обзор

В LNS число, $X {\ displaystyle X }$ $X$ представлен логарифмом , $x {\ displaystyle x}$ $x$ его абсолютного значения следующим образом:

Икс → {s, x = журнал b ⁡ (| X |)}, {\ displaystyle X \ rightarrow \ {s, x = \ log _ {b} (| X |) \},}

X \ rightarrow \ {s, x = \ log _ {b} (| X |) \},

где $s {\ displaystyle s}$ $s$ немного обозначает знак $X {\ displaystyle X}$ $X$ ( $s = 0 {\ displaystyle s = 0}$ $s = 0$ если $X>0 {\ displaystyle X>0}$ $X>0$ и $s = 1 \ displaystyle s = 1}$ $s = 1$ , если $X < 0 {\displaystyle X<0}$ $X <0$ ).

Число $x {\ displaystyle x}$ $x$ представлено двоичным словом, которое обычно имеет формат с дополнением до двух. LNS можно рассматривать как число с плавающей запятой, где мантисса всегда равна 1, а нецелочисленная экспонента. Эта формулировка упрощает операции умножения, деления, степеней и корней, поскольку они сводятся к сложению, вычитанию, умножению и делению соответственно.

С другой стороны, операции сложения и вычитания более сложные и вычисляются по формуле:

log b ⁡ (| X | + | Y |) = x + sb (y - Икс) {\ Displaystyle \ журнал _ {b} (| Икс | + | Y |) = х + s_ {b} (yx)}

{\ displaystyle \ log _ {b} (| X | + | Y |) = x + s_ {b} (yx)}

журнал b ⁡ (| | X | - | Y | |) = х + db (y - x), {\ displaystyle \ log _ {b} (|| X | - | Y ||) = x + d_ {b} (yx),}

{\ displaystyle \ log _ {b} (|| X | - | Y ||) = x + d_ {b} (yx),}

где функция "сумма" определяется как $sb (z) = log b ⁡ (1 + bz) {\ displaystyle s_ {b} (z) = \ log _ {b} (1 + b ^ {z})}$ $s_ {b} (z) = \ log _ {b} (1 + b ^ {z})$ , а функция "разности" - на $db (z) = log b ⁡ (| 1 - bz |) {\ displaystyle d_ {b} (z) = \ log _ {b} (| 1-b ^ {z} |)}$ $d_ {b} (z) = \ log _ {b} (| 1-b ^ {z} |)$ . Эти функции $sb (z) {\ displaystyle s_ {b} (z)}$ $s_ {b} (z)$ и $db (z) {\ displaystyle d_ {b} (z)}$ $d_ {b} (z)$ также известны как логарифмы Гаусса.

Упрощение умножения, деления, корней и степеней уравновешивается затратами на оценку этих функций для сложения и вычитания. Эта дополнительная стоимость оценки может не быть критической при использовании LNS в первую очередь для повышения точности математических операций с плавающей запятой.

История

Логарифмические системы счисления были независимо изобретены и опубликованы не менее трех раз в качестве альтернативы с фиксированной точкой и с плавающей запятой. -точечные системы счисления.

Николас Кингсбери и Питер Рейнер в 1971 году представили «логарифмическую арифметику» для цифровой обработки сигналов (DSP).

Аналогичная LNS с названием «знаковая логарифмическая система счисления» (SLNS) была описана в 1975 году Эрлом Шварцлендером и Аристидесом Алексопулосом; вместо использования двух дополнений для логарифмов они смещают их (масштабируют представляемые числа), чтобы избежать отрицательных логарифмов.

Самуэль Ли и Альберт Эдгар описали аналогичную систему, которую они назвали система счисления "Focus", 1977 год.

Математические основы для сложения и вычитания в LNS восходят к Карлу Фридриху Гауссу в начале 1800-х годов.

Приложения

LNS использовался в специальном суперкомпьютере Gravity Pipe (GRAPE-5 ), получившем Приз Гордона Белла в 1999.

В контексте Европейского логарифмического микропроцессора (ELM) описаны значительные усилия по исследованию применимости LNS в качестве жизнеспособной альтернативы плавающей запятой для универсальной обработки вещественных чисел одинарной точности. Изготовленный прототип процессора, который имеет 32-битное основанное на котрансформации арифметико-логическое устройство LNS (ALU) на основе котрансформации, продемонстрировал LNS как «более точную альтернативу плавающей запятой» с улучшенной скоростью. Дальнейшее улучшение дизайна LNS на основе архитектуры ELM показало его способность обеспечивать значительно более высокую скорость и точность, чем с плавающей запятой.

LNS иногда используются в приложениях на основе FPGA где большинство арифметических операций - это умножение или деление.

См. также

Ссылки

Дополнительная литература

Мюллер, Жан-Мишель; Щербина, Александр; Тиссеран, Арно (февраль 1998 г.). «Полулогарифмические системы счисления» (PDF). Транзакции IEEE на компьютерах. 47(2): 145–151. doi : 10.1109 / 12.663760. ISSN 0018-9340. Архивировано (PDF) из оригинала 13.07.2018. Проверено 11 июля 2018 г. Ранее опубликовано в: Muller, Jean-Michel; Щербина, Александр; Тиссеран, Арно (июль 1995 г.). «Полулогарифмические системы счисления». Материалы 12-го симпозиума IEEE по компьютерной арифметике (ARITH 12 ). Бат, Великобритания.
Карс, Марк; Бранденбург, Карлхайнц, ред. (2002) [1998]. Применение цифровой обработки сигналов в аудио и акустике (PDF). Kluwer Academic Publishing. ISBN 0-7923-8130-0. Архивировано (PDF) из оригинала на 2018-07-07. Дата обращения 07.07.2018. (NB. Описывает 13-битный LNS, который использовался в Yamaha музыкальных синтезаторах в течение 1980-х.)
Kremer, Hermann (2002-08-29). "Gauss'sche Additionslogarithmen feiern 200. Geburtstag". de.sci.mathematik (на немецком языке). Архивировано из оригинала 07.07.2018. Проверено 7 июля 2018 г.
Зехенднер, Эберхард (лето 2008 г.). «Rechnerarithmetik: Logarithmische Zahlensysteme» (PDF) (сценарий лекции) (на немецком языке). Йенский университет им. Фридриха Шиллера. Архивировано (PDF) из оригинала на 2018-07-09. Проверено 9 июля 2018 г. [2]
Хейс, Брайан (сентябрь – октябрь 2009 г.). «Высшая арифметика». Американский ученый. 97(5): 364–368. DOI : 10.1511 / 2009.80.364. Архивировано из оригинала на 2018-07-09. Проверено 9 июля 2018 г. [3]. Также перепечатано в: Hayes, Brian (2017). «Глава 8: Высшая арифметика». Защита от дурака и другие математические размышления (1 изд.). MIT Press. С. 113–126. ISBN 978-0-26203686-3. ISBN 0-26203686-X.

Внешние ссылки