Формула Ландау – Зинера

редактировать

Формула для вероятности того, что система изменится между двумя энергетическими состояниями.

Эскиз пересечения. График представляет энергии системы по параметру z (который может меняться во времени). Пунктирные линии представляют энергии диабатических состояний, которые пересекаются друг с другом при z c, а сплошные линии представляют энергии адиабатических состояний (собственные значения гамильтониана).

Формула Ландау – Зинера является аналитическим решением уравнений движения, определяющих динамику перехода квантовой системы с двумя состояниями, с зависящим от времени гамильтонианом изменяется так, что разделение энергии двух состояний является линейной функцией времени. Формула, дающая вероятность диабатического (не адиабатического ) перехода между двумя энергетическими состояниями, была опубликована отдельно Львом Ландау, Кларенсом Зинером., Эрнст Штюкельберг и Этторе Майорана, в 1932 году.

Если система запускается в бесконечном прошлом в собственном состоянии с более низкой энергией, мы желаем для вычисления вероятности нахождения системы в верхнем собственном состоянии энергии в бесконечном будущем (так называемый переход Ландау – Зинера). Для бесконечно медленного изменения разности энергий (то есть скорости Ландау – Зинера, равной нулю), адиабатическая теорема говорит нам, что такого перехода не будет, так как система всегда будет в мгновенном собственном состоянии гамильтониана в этот момент времени. При ненулевых скоростях переходы происходят с вероятностью, как описано формулой Ландау – Зинера.

Содержание

1 Условия и приближение
2 Формула
3 Задача с несколькими состояниями
4 Исследование шума
5 См. Также
6 Ссылки

Условия и приближение

Такие переходы происходят между состояниями всей системы, поэтому любое описание системы должно включать все внешние воздействия, включая столкновения и внешние электрические и магнитные поля.. Для того чтобы уравнения движения системы могли быть решены аналитически, делается ряд упрощений, известных под общим названием приближение Ландау – Зинера. Упрощения заключаются в следующем:

Параметр возмущения в гамильтониане - известная линейная функция времени
Энергетическое разделение диабатических состояний изменяется линейно со временем
Связь в матрица диабатического гамильтониана не зависит от времени

Первое упрощение делает эту трактовку полуклассической. В случае атома в магнитном поле напряженность поля становится классической переменной, которую можно точно измерить во время перехода. Это требование является весьма ограничительным, поскольку линейное изменение, как правило, не будет оптимальным профилем для достижения желаемой вероятности перехода.

Второе упрощение позволяет нам сделать замену

Δ E = E 2 (t) - E 1 (t) ≡ α t, {\ displaystyle \ Delta E = E_ {2} (t) -E_ {1} (t) \ Equiv \ alpha t, \,}

\ Delta E = E_2 (t) - E_1 (t) \ Equiv \ alpha t, \,

где $E 1 (t) {\ displaystyle \ scriptstyle {E_ {1} (t)}}$ $\ scriptstyle {E_ {1} (t)}$ и $E 2 (t) {\ displaystyle \ scriptstyle {E_ {2} (t)}}$ $\ scriptstyle {E_ {2} (t)}$ - энергии двух состояний в момент времени $t {\ displaystyle \ scriptstyle {t }}$ $\ scriptstyle { t}$ , задаваемый диагональными элементами матрицы Гамильтона, а $α {\ displaystyle \ scriptstyle {\ alpha}}$ $\ scriptstyle {\ alpha}$ является константой. В случае атома в магнитном поле это соответствует линейному изменению магнитного поля. Для линейного зеемановского сдвига это следует непосредственно из пункта 1.

Окончательное упрощение требует, чтобы зависящее от времени возмущение не связывало диабатические состояния; скорее, связь должна быть вызвана статическим отклонением от $1 / r {\ displaystyle \ scriptstyle {1 / r}}$ $\scriptstyle{1/r}$ кулоновского потенциала, обычно описываемого квантовым дефектом.

Формула

Детали решения Зенера несколько непрозрачны, поскольку он основан на наборе подстановок для преобразования уравнения движения в форму уравнения Вебера и с использованием известного решения. Более прозрачное решение дает Курт Виттиг с использованием интегрирования контура.

Ключевым показателем достоинства этого подхода является скорость Ландау – Зинера:

v L Z = ∂ ∂ t | E 2 - E 1 | ∂ ∂ q | E 2 - E 1 | ≈ d q d t, {\ displaystyle v _ {\ rm {LZ}} = {{\ frac {\ partial} {\ partial t}} | E_ {2} -E_ {1} | \ over {\ frac {\ partial} {\ partial q}} | E_ {2} -E_ {1} |} \ приблизительно {\ frac {dq} {dt}},}

{\ displaystyle v _ {\ rm {LZ}} = {{\ frac {\ partial} {\ partial t}} | E_ {2 } -E_ {1} | \ over {\ frac {\ partial} {\ partial q}} | E_ {2} -E_ {1} |} \ приблизительно {\ frac {dq} {dt}},}

где $q { \ displaystyle \ scriptstyle {q}}$ $\ scriptstyle { q}$ - переменная возмущения (электрическое или магнитное поле, длина молекулярной связи или любое другое возмущение в системе), а $E 1 {\ displaystyle \ scriptstyle { E_ {1}}}$ $\ scriptstyle {E_ {1}}$ и $E 2 {\ displaystyle \ scriptstyle {E_ {2}}}$ $\ scriptstyle { E_ {2}}$ - это энергии двух диабатических (пересекающихся) состояний. Большой $v L Z {\ displaystyle \ scriptstyle {v _ {\ rm {LZ}}}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {v _ {\ rm {LZ}}}}$ приводит к большой вероятности диабатического перехода и наоборот.

Используя формулу Ландау – Зинера, вероятность, $PD {\ displaystyle \ scriptstyle {P _ {\ rm {D}}}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {P _ {\ rm {D}}}}$ , диабатического перехода определяется как

PD = e - 2 π Γ Γ = a 2 / ℏ | ∂ ∂ t (E 2 - E 1) | = a 2 / ℏ | d q d t ∂ ∂ q (E 2 - E 1) | = a 2 ℏ | α | {\ displaystyle {\ begin {align} P _ {\ rm {D}} = e ^ {- 2 \ pi \ Gamma} \\\ Gamma = {a ^ {2} / \ hbar \ over \ left | { \ frac {\ partial} {\ partial t}} (E_ {2} -E_ {1}) \ right |} = {a ^ {2} / \ hbar \ over \ left | {\ frac {dq} {dt }} {\ frac {\ partial} {\ partial q}} (E_ {2} -E_ {1}) \ right |} \\ = {a ^ {2} \ over \ hbar | \ alpha |} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} P _ {\ rm {D }} = e ^ {- 2 \ pi \ Gamma} \\\ Gamma = {a ^ {2} / \ hbar \ over \ left | {\ frac {\ partial} {\ partial t}} (E_ { 2} -E_ {1}) \ right |} = {a ^ {2} / \ hbar \ over \ left | {\ frac {dq} {dt}} {\ frac {\ partial} {\ partial q}} (E_ {2} -E_ {1}) \ right |} \\ = {a ^ {2} \ over \ hbar | \ alpha |} \ end {выравнивается}}}

Величина $a {\ displaystyle a}$ $a$ является недиагональным элементом гамильтониана двухуровневой системы, связывающего основания, и как таковая, это половина расстояния между двумя невозмущенными собственными энергиями в избегаемом пересечении, когда $E 1 = E 2 {\ displaystyle E_ {1} = E_ {2}}$ $E_1 = E_2$ .

Задача с несколькими состояниями

Простейшим обобщением модели Ландау – Зинера с двумя состояниями является система с несколькими состояниями с гамильтонианом вида

$H (t) = A + B t {\ displaystyle H (t) = A + Bt}$ ${\ displaystyle H (t) = A + Bt}$ ,

где A и B - эрмитовы матрицы размера NxN с постоянными элементами. Целью многоступенчатой теории Ландау – Зинера является определение элементов матрицы рассеяния и вероятностей переходов между состояниями этой модели после эволюции с таким гамильтонианом от отрицательного бесконечного к положительному бесконечному времени. Вероятности перехода представляют собой квадрат абсолютных значений элементов матрицы рассеяния.

Существуют точные формулы, называемые ограничениями иерархии, которые обеспечивают аналитические выражения для специальных элементов матрицы рассеяния в любой модели Ландау – Зинера с несколькими состояниями. Частные случаи этих соотношений известны как формула Брандоблера – Эльзера (BE) (отмеченная Брандоблером и Эльзером при численном моделировании и строго доказанная Добреску и Синицыным после вклада Волкова и Островского) и запрета Теорема (сформулирована Синицыным и строго доказана Волковым и Островским). Дискретные симметрии также часто приводят к ограничениям, которые уменьшают количество независимых элементов матрицы рассеяния.

Существуют особые условия интегрируемости, которые, когда выполняются, приводят к точным выражениям для матриц рассеяния многоступенчатых моделей Ландау – Зинера. Таким образом, были идентифицированы и исследованы многочисленные полностью решаемые многосостояния модели Ландау – Зинера, в том числе:

модель Демкова – Ошерова, которая описывает единственный уровень, пересекающий полосу параллельных уровней. Удивительным фактом в решении этой модели является совпадение точно полученной матрицы вероятности перехода с ее формой, полученной с помощью простого квазиклассического приближения независимых пересечений. С некоторыми обобщениями это свойство проявляется почти во всех разрешимых системах Ландау – Зинера с конечным числом взаимодействующих состояний.
Обобщенная модель бабочки. Модель описывает связь двух (или одного в пределе вырожденного случая) уровня с набором невзаимодействующих диабатических состояний, пересекающихся в одной точке.
Управляемая модель Тэвиса – Каммингса описывает взаимодействие N спинов-½ с бозоном. режим в линейно-зависящем от времени магнитном поле. Это самая богатая из известных решенных систем. Он имеет комбинаторную сложность: размер его фазового пространства экспоненциально растет с увеличением числа спинов N. Вероятности переходов в этой модели описываются q-деформированной биномиальной статистикой.
Спиновые кластеры, взаимодействующие с зависящими от времени магнитными полями... Этот класс моделей показывает относительно сложное поведение вероятностей переходов из-за эффектов интерференции пути в приближении квазиклассического независимого пересечения.
Приводимые (или составные) мультисостояния модели Ландау – Зинера. Этот класс состоит из систем, которые можно разделить на подмножества других решаемых и более простых моделей с помощью преобразования симметрии. Ярким примером является гамильтониан произвольного спина $H = g S x + bt S z {\ textstyle H = gS_ {x} + btS_ {z}}$ ${\ textstyle H = gS_ {x} + btS_ {z}}$ , где S z и S x - операторы вращения, а S>1/2; b и g - постоянные параметры. Это самая ранняя известная решаемая система, которая обсуждалась Майораном в 1932 году. Среди других примеров - модели пары вырожденного пересечения уровней и одномерной квантовой цепочки Изинга в линейно изменяющемся магнитном поле.
Ландау. –Зенеровские переходы в бесконечных линейных цепочках. В этот класс входят системы с формально бесконечным числом взаимодействующих состояний. Хотя наиболее известные его примеры могут быть получены как пределы некоторых других моделей (таких как модель Тэвиса – Каммингса), есть также случаи, которые не принадлежат стандартной классификации моделей конечного размера. Например, существуют разрешимые бесконечные цепочки с ненулевыми связями между неближайшими состояниями.

Исследование шума

Приложения решения Ландау – Зинера к задачам подготовки квантовых состояний и манипулирования с дискретными степенями свободы стимулировал изучение эффектов шума и декогеренции на вероятность перехода в управляемой системе с двумя состояниями. Для описания этих эффектов было получено несколько компактных аналитических результатов, включая формулу Каянумы для сильного диагонального шума и формулу Покровского – Синицына для связи с быстрым цветным шумом с недиагональными компонентами.

Используя функцию Грина Швингера-Келдыша, Ао и Раммер в конце 1980-х провели довольно полное и всестороннее исследование влияния квантового шума во всех режимах параметров, от слабой до сильной связи, от низких до высоких температур, переход от медленного к быстрому и т. д. Были получены краткие аналитические выражения в различных пределах, демонстрирующие богатое поведение такой проблемы. Влияние ядерной спиновой ванны и термостата на процесс Ландау – Зинера исследовали Синицын и Прокофьев, Покровский и Сан, соответственно.

Точные результаты в теории Ландау – Зинера с несколькими состояниями (теорема о запрете действия и) могут быть применены к системам Ландау-Зинера, которые связаны с ваннами, состоящими из бесконечного множества осцилляторов и / или спиновых ванн (диссипативные переходы Ландау-Зинера). Они обеспечивают точные выражения для вероятностей переходов, усредненных по конечным состояниям ванны, если эволюция начинается с основного состояния при нулевой температуре, см. для ванн с осцилляторами и для универсальных результатов, включая спиновые ванны, см. также

См. также

Ссылки