Тауберова теорема Харди – Литтлвуда

редактировать

В математическом анализе тауберова теорема Харди – Литтлвуда - это тауберова теорема, относящаяся к асимптотика частичных сумм ряда с асимптотикой его суммирования Абеля. В этой форме теорема утверждает, что если при y ↓ 0 неотрицательная последовательность a n такова, что существует асимптотическая эквивалентность

∑ n = 0 ∞ ane - ny ∼ 1 y {\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} e ^ {- ny} \ sim {\ frac {1} {y}}}

\ sum_ {n = 0} ^ \ infty a_n e ^ {- ny} \ sim \ frac {1} {y}

, то есть также асимптотическая эквивалентность

∑ k = 0 nak ∼ n {\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} \ sim n}

\ sum_ {k = 0} ^ n a_k \ sim n

при n → ∞. интегральная формулировка теоремы аналогичным образом связывает асимптотику кумулятивной функции распределения функции с асимптотикой ее преобразования Лапласа.

Теорема была доказана в 1914 г. Г. Х. Харди и Дж. Э. Литтлвуд. В 1930 году Йован Карамата дал новое и гораздо более простое доказательство.

Содержание

1 Формулировка теоремы
- 1.1 Формулировка ряда
- 1.2 Интегральная формулировка
2 Доказательство Караматы
3 Примеры
- 3.1 Неположительные коэффициенты
- 3.2 Расширение Литтлвуда теоремы Таубера
- 3.3 Теорема о простых числах
4 Примечания
5 Внешние ссылки

Утверждение теоремы

Серийный состав

Эта формулировка от Titchmarsh. Предположим, что a n ≥ 0 для всех n, а при x ↑ 1 имеем

∑ n = 0 ∞ a n x n ∼ 1 1 - x. {\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} x ^ {n} \ sim {\ frac {1} {1-x}}.}

\ sum_ {n = 0} ^ \ infty a_n x ^ n \ sim \ frac {1} {1-x}.

Тогда, когда n переходит в ∞ имеем

∑ k = 0 nak ∼ n. {\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} \ sim n.}

\ sum_ {k = 0} ^ n a_k \ sim n.

Теорема иногда цитируется в эквивалентных формах, где вместо требования n ≥ 0, нам требуется a n = O (1), или нам требуется n ≥ −K для некоторой константы K. Теорема иногда цитируется в другой эквивалентной формулировке (путем замены переменная x = 1 / e). Если, как y ↓ 0,

∑ n = 0 ∞ ane - ny ∼ 1 y {\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} e ^ {- ny} \ sim { \ frac {1} {y}}}

\ sum_ {n = 0} ^ \ infty a_n e ^ {- ny} \ sim \ frac {1} {y}

, тогда

∑ k = 0 nak ∼ n. {\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} \ sim n.}

\ sum_ {k = 0} ^ n a_k \ sim n.

Интегральная формулировка

Следующая более общая формулировка взята из Феллера. Рассмотрим вещественную функцию F: [0, ∞) → R ограниченной вариации. Преобразование Лапласа – Стилтьеса функции F определяется интегралом Стилтьеса

ω (s) = ∫ 0 ∞ e - s t d F (t). {\ displaystyle \ omega (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} \, dF (t).}

\ omega (s) = \ int_0 ^ \ infty e ^ {- st} \, dF (t).

Теорема связывает асимптотику ω с асимптотикой F в следующим образом. Если ρ - неотрицательное действительное число, то следующие утверждения эквивалентны

$ω (s) ∼ C s - ρ, ass → 0 {\ displaystyle \ omega (s) \ sim Cs ^ {- \ rho}, \ quad {\ rm {{as \} s \ to 0}}}$ $\ omega (s) \ sim C s ^ {- \ rho}, \ quad \ rm {as \} s \ to 0$
$F (t) ∼ C Γ (ρ + 1) t ρ, ast → ∞. {\ Displaystyle F (t) \ sim {\ frac {C} {\ Gamma (\ rho +1)}} t ^ {\ rho}, \ quad {\ rm {{as \} t \ to \ infty.} }}$ $F (t) \ sim \ frac {C} { \ Gamma (\ rho + 1)} t ^ \ rho, \ quad \ rm {as \} t \ to \ infty.$

Здесь Γ обозначает Гамма-функцию. Теорема для рядов получается как частный случай, если ρ = 1 и F (t) - кусочно-постоянная функция со значением $∑ k = 0 nak {\ displaystyle \ textstyle {\ sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {k}}}$ $\ textstyle {\ sum_ {k = 0} ^ n a_k}$ между t = n и t = n + 1.

Возможно небольшое улучшение. Согласно определению медленно меняющейся функции, L (x) медленно изменяется на бесконечности тогда и только тогда, когда

L (tx) L (x) → 1, x → ∞ {\ displaystyle {\ frac { L (tx)} {L (x)}} \ to 1, \ quad x \ to \ infty}

\ frac {L (tx)} {L (x)} \ to 1, \ quad x \ to \ infty

для любого положительного t. Пусть L - функция, медленно меняющаяся на бесконечности, а ρ - неотрицательное действительное число. Тогда следующие утверждения эквивалентны

$ω (s) ∼ s - ρ L (s - 1), ass → 0 {\ displaystyle \ omega (s) \ sim s ^ {- \ rho} L (s ^ {- 1}), \ quad {\ rm {{as \} s \ to 0}}}$ $\ omega (s) \ sim s ^ { - \ rho} L (s ^ {- 1}), \ quad \ rm {as \} s \ to 0$
$F (t) ∼ 1 Γ (ρ + 1) t ρ L (t), ast → ∞. {\ Displaystyle F (t) \ sim {\ frac {1} {\ Gamma (\ rho +1)}} t ^ {\ rho} L (t), \ quad {\ rm {{as \} t \ to \ infty.}}}$ $F (t) \ sim \ frac {1} {\ Gamma (\ rho + 1)} t ^ \ rho L (t), \ quad \ rm {as \} t \ to \ infty.$

Доказательство Караматы

Карамата (1930) harvtxt error: no target: CITEREFKaramata1930 (help ) нашел краткое доказательство теоремы, рассматривая функции g, такие как что

lim x → 1 (1 - x) ∑ беспокойство (xn) = ∫ 0 1 g (t) dt {\ displaystyle \ lim _ {x \ rightarrow 1} (1-x) \ sum a_ {n} x ^ {n} g (x ^ {n}) = \ int _ {0} ^ {1} g (t) dt}

\ lim_ {x \ rightarrow 1} (1-x) \ sum a_nx ^ ng (x ^ n) = \ int_0 ^ 1g (t) dt

Несложный расчет показывает, что все одночлены g (x) = x обладают этим свойством, а значит, и все многочлены g. Это может быть расширено до функции g с простыми (ступенчатыми) разрывами, аппроксимируя ее полиномами сверху и снизу (используя аппроксимационную теорему Вейерштрасса и немного дополнительных ухищрений) и используя тот факт, что коэффициенты a n положительны. В частности, функция, заданная как g (t) = 1 / t, если 1 / e

Примеры

Неположительные коэффициенты

Теорема может быть неверной без условия, что коэффициенты неотрицательны. Например, функция

1 (1 + x) 2 (1 - x) = 1 - x + 2 x 2-2 x 3 + 3 x 4 - 3 x 5 + ⋯ {\ displaystyle {\ frac {1 } {(1 + x) ^ {2} (1-x)}} = 1-x + 2x ^ {2} -2x ^ {3} + 3x ^ {4} -3x ^ {5} + \ cdots}

\ frac {1} {(1 + x) ^ 2 (1-x) } = 1-x + 2x ^ 2-2x ^ 3 + 3x ^ 4-3x ^ 5 + \ cdots

асимптотичен 1/4 (1 – x), когда x стремится к 1, но частичные суммы его коэффициентов равны 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4... и не являются асимптотическими ни для каких линейная функция.

Литтлвудское расширение теоремы Таубера

В 1911 году Литтлвуд доказал расширение обращения Таубера к теореме Абеля. Литтлвуд показал следующее: если a n = O (1 / n), и при x ↑ 1 мы имеем

∑ тревогу → s, {\ displaystyle \ sum a_ {n} x ^ {n } \ to s,}

\ sum a_n x ^ n \ to s,

, затем

∑ an = s. {\ displaystyle \ sum a_ {n} = s.}

\ sum a_n = s.

Исторически это появилось до тауберианской теоремы Харди – Литтлвуда, но может быть доказано простым применением ее.

Теорема о простых числах

В 1915 году Харди и Литтлвуд разработали доказательство теоремы о простых числах на основе своей тауберова теоремы; они доказали

∑ N = 2 ∞ Λ (n) e - ny ∼ 1 y, {\ displaystyle \ sum _ {n = 2} ^ {\ infty} \ Lambda (n) e ^ {- ny} \ sim {\ frac {1} {y}},}

\ sum_ {n = 2} ^ \ infty \ Lambda (n) e ^ {- ny} \ sim \ frac {1} {y},

где Λ - функция фон Мангольдта, а затем заключаем, что

∑ n ≤ x Λ (n) ∼ x, {\ displaystyle \ sum _ {n \ leq x} \ Lambda (n) \ sim x,}

\ sum_ {n \ le x} \ Lambda (n) \ sim x,

эквивалентная форма теоремы о простых числах. Литтлвуд разработал более простое доказательство, все еще основанное на этой тауберовской теореме, в 1971 году.

Примечания

Внешние ссылки