неоднозначность Грибова

редактировать

В калибровочной теории, особенно в неабелевых калибровочных теориях, глобальные проблемы на крепление датчика встречается часто. Фиксация калибра означает выбор представителя с каждой калибровочной орбиты, то есть выбор участка пучка волокон. Пространство представителей является подмногообразием (расслоения в целом) и представляет собой условие фиксации калибровки. В идеале каждая калибровочная орбита будет пересекать это подмногообразие один и только один раз. К сожалению, это часто невозможно глобально для неабелевых калибровочных теорий из-за топологических препятствий, и лучшее, что можно сделать, - это сделать это условие истинным локально. Подмногообразие, фиксирующее калибровку, может вообще не пересекать калибровочную орбиту или пересекать ее более одного раза. Трудность возникает из-за того, что условие фиксации калибровки обычно задается как какое-то дифференциальное уравнение, например что расхождение исчезает (как в Ландау или калибровке Лоренца ). Решения этого уравнения могут закончиться указанием нескольких разделов или, возможно, ни одного. Это называется двусмысленностью Грибова (названа в честь Владимира Грибова ).

двусмысленность Грибова приводит, помимо прочего, к непертурбативному нарушению симметрии BRST.

Одним из способов решения проблемы неоднозначности Грибова является ограничение соответствующих функциональных интегралов одной областью Грибова, граница которой называется горизонтом Грибова . Тем не менее, можно показать, что эта проблема не решается даже при уменьшении области до первой области Грибова . Единственная область, для которой разрешается эта неоднозначность, - это фундаментальная модульная область (FMR ).

Содержание

1 Предпосылки
2 Конструкция Грибова
3 Действие Грибова – Цванцигера
4 Свойства первой области Грибова
5 Более поздние разработки
6 Примечания
7 Ссылки
8 Источников

Предпосылки

При выполнении вычислений в калибровочных теориях обычно необходимо выбрать датчик. Калибровочные степени свободы не имеют прямого физического значения, но они являются артефактом математического описания, которое мы используем для работы с рассматриваемой теорией. Чтобы получить физические результаты, эти избыточные степени свободы необходимо отбросить подходящим образом

В абелевой калибровочной теории (т.е. в QED ) достаточно просто выбрать калибровку. Популярной является калибровка Лоренца $∂ μ A μ = 0 {\ displaystyle \ partial ^ {\ mu} A _ {\ mu} = 0}$ $\ partial ^ \ mu A_ \ mu = 0$ , которая имеет то преимущество, что Инвариант Лоренца. В неабелевых калибровочных теориях (таких как QCD ) ситуация более сложная из-за более сложной структуры неабелевой калибровочной группы.

Формализм Фаддеева – Попова, разработанный Людвигом Фаддеевым и Виктором Поповым, обеспечивает способ решения проблемы выбора калибровки в неабелевых теориях. Этот формализм вводит оператор Фаддеева – Попова, который по сути является определителем Якоби преобразования, необходимого для приведения калибровочного поля к желаемой калибровке. В так называемой калибровке Ландау $∂ μ A μ a = 0 {\ displaystyle \ partial _ {\ mu} A _ {\ mu} ^ {a} = 0}$ ${\ displaystyle \ partial _ {\ mu} A _ {\ mu} ^ {a} = 0}$ этот оператор имеет форма

∂ μ D μ ab, {\ displaystyle \ partial _ {\ mu} {\ mathcal {D}} _ {\ mu} ^ {ab} \ ;,}

{\ displaystyle \ partial _ {\ mu} {\ mathcal {D}} _ {\ mu} ^ {ab} \ ;,}

где $D μ ab {\ displaystyle {\ mathcal {D}} _ {\ mu} ^ {ab}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {D}} _ {\ mu} ^ {ab}}$ - ковариантная производная в присоединенном представлении. Затем определитель этого оператора Фаддеева – Попова вводится в интеграл по путям с использованием фантомных полей.

. Этот формализм, однако, предполагает, что выбор калибровки (например, $∂ μ A μ a = 0 {\ displaystyle \ частичный _ {\ mu} A _ {\ mu} ^ {a} = 0}$ ${\ displaystyle \ partial _ {\ mu} A _ {\ mu} ^ {a} = 0}$ ) уникален - т.е. для каждой физической конфигурации существует ровно один $A μ a {\ displaystyle A _ {\ mu } ^ {a}}$ ${\ displaystyle A _ {\ mu} ^ {a}}$ , который соответствует ему и удовлетворяет условию калибровки. Однако в неабелевых калибровочных теориях типа Янга – Миллса это не так для большого класса калибров, как было впервые указано Грибовым.

Конструкция Грибова

Грибов считал вопрос о том, при определенной физической конфигурации, сколько различных калибровочных копий этой конфигурации подчиняются калибровочному условию Ландау $∂ μ A μ a = 0 {\ displaystyle \ partial _ {\ mu} A _ {\ mu} ^ { а} = 0}$ ${\ displaystyle \ partial _ {\ mu} A _ {\ mu} ^ {a} = 0}$ . Никаких конфигураций без представителей не известно. Однако вполне возможно, что их будет больше одного.

Рассмотрим два калибровочных поля $A μ a {\ displaystyle A _ {\ mu} ^ {a}}$ ${\ displaystyle A _ {\ mu} ^ {a}}$ и $A μ a ′ {\ displaystyle {A _ {\ mu} ^ {a}} '}$ ${A_{\mu }^{a}}'$ , и предположим, что они оба подчиняются калибровочному условию Ландау. Если $A μ a ′ {\ displaystyle {A _ {\ mu} ^ {a}} '}$ ${A_{\mu }^{a}}'$ является калибровочной копией $A μ a {\ displaystyle A _ {\ mu} ^ {a}}$ ${\ displaystyle A _ {\ mu} ^ {a}}$ , у нас будет (при условии, что они бесконечно близки друг к другу):

A μ a ′ = A μ a + D μ ab ω b {\ displaystyle {A _ {\ mu } ^ {a}} '= A _ {\ mu} ^ {a} + {\ mathcal {D}} _ {\ mu} ^ {ab} \ omega ^ {b}}

{A_{\mu }^{a}}'=A_{\mu }^{a}+{\mathcal {D}}_{\mu }^{ab}\omega ^{b}

для некоторой функции $ω б {\ Displaystyle \ omega ^ {b}}$ ${\ displaystyle \ омега ^ {b}}$ . Если оба поля подчиняются калибровочному условию Ландау, мы должны иметь это

∂ μ D μ ab ω b = 0, {\ displaystyle \ partial _ {\ mu} {\ mathcal {D}} _ {\ mu} ^ { ab} \ omega ^ {b} = 0 \ ;,}

{\ displaystyle \ partial _ {\ mu} {\ mathcal {D}} _ {\ mu} ^ {ab} \ omega ^ {b} = 0 \ ;,}

и, следовательно, оператор Фаддеева – Попова имеет как минимум одну нулевую моду. Если калибровочное поле бесконечно мало, этот оператор не будет иметь нулевых мод. Множество калибровочных полей, в котором оператор Фаддеева – Попова имеет свою первую нулевую моду (при старте из начала координат), называется «горизонтом Грибова». Множество всех калибровочных полей, в которых оператор Фаддеева – Попова не имеет нулевых мод (что означает, что этот оператор положительно определен), называется «первой областью Грибова» $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Omega$ .

Если калибровочные поля имеют калибровку копий, эти поля будут пересчитаны в интеграле по путям. Грибов утверждал, что для того, чтобы противостоять этому завышению, мы должны ограничить интеграл по путям первым регионом Грибова. Для этого он рассмотрел призрачный пропагатор, который представляет собой вакуумное математическое ожидание обратного оператора Фаддеева – Попова. Если этот оператор всегда положительно определен, фантомный пропагатор не может иметь полюсов - это называется «условием отсутствия полюсов». В обычной теории возмущений (с использованием обычного формализма Фаддеева – Попова) у пропагатора действительно есть полюс, что означает, что мы покинули первую область Грибова и пересчитали некоторые конфигурации.

Получив пертурбативное выражение для призрачного пропагатора, Грибов находит, что это неполюсное условие приводит к условию вида

⟨σ [A]⟩ = ⟨N g 2 V d (N 2 - 1) ∫ ddq (2 π) d A μ a (- q) 1 q 2 A μ a (q)⟩ < 1, {\displaystyle \langle \sigma [A]\rangle =\left\langle {\frac {Ng^{2}}{Vd(N^{2}-1)}}\int {\frac {d^{d}q}{(2\pi)^{d}}}A_{\mu }^{a}(-q){\frac {1}{q^{2}}}A_{\mu }^{a}(q)\right\rangle <1\;,}

{\ displaystyle \ langle \ sigma [A] \ rangle = \ left \ langle {\ frac {Ng ^ { 2}} {Vd (N ^ {2} -1)}} \ int {\ frac {d ^ {d} q} {(2 \ pi) ^ {d}}} A _ {\ mu} ^ {a} (-q) {\ гидроразрыва {1} {q ^ {2}}} A _ {\ mu} ^ {a} (q) \ right \ rangle <1\;,}

с N количеством цветов (которое равно 3 в КХД), g калибровочной силой связи, V объемом пространства-времени (которое стремится к бесконечности в большинстве приложений), и d - количество измерений пространства-времени (которое в реальном мире равно 4). Функционал $σ [A] {\ displaystyle \ sigma [A]}$ ${\ displaystyle \ sigma [A]}$ - это сокращение для выражения между угловыми скобками. Чтобы наложить это условие, Грибов предложил ввести ступенчатую функцию Хевисайда, содержащую указанное выше, в интеграл по путям в его представлении Фурье :

H (1 - σ [A]) = ∫ - я ∞ + ϵ + я ∞ + ϵ d β 2 π i β e β (1 - σ [A]). {\ Displaystyle H (1- \ sigma [A]) = \ int _ {- i \ infty + \ epsilon} ^ {+ i \ infty + \ epsilon} {\ frac {d \ beta} {2 \ pi i \ beta}} e ^ {\ beta (1- \ sigma [A])} \ ;.}

{\ displaystyle H (1- \ sigma [A]) = \ int _ {-i \ infty + \ epsilon} ^ {+ i \ infty + \ epsilon} {\ frac {d \ beta} {2 \ pi i \ beta}} e ^ {\ beta (1- \ sigma [A]) } \ ;.}

В этом выражении параметр $β {\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ называется «Параметр Грибова». Затем выполняется интегрирование по этому параметру Грибова с использованием метода наискорейшего спуска . Этот метод дает уравнение для параметра Грибова, которое называется уравнением разрыва. Подстановка решения этого уравнения обратно в интеграл по путям приводит к модифицированной калибровочной теории.

С модификацией, проистекающей из параметра Грибова, оказывается, что глюонный пропагатор изменен на

D μ ν ab (k) = δ ab (δ μ ν - k μ k ν k 2) 1 К 2 + 2 N г 2 В d (N 2-1) β 0 К 2, {\ Displaystyle D _ {\ mu \ nu} ^ {ab} (k) = \ delta ^ {ab} \ left (\ delta _ {\ mu \ nu} - {\ frac {k _ {\ mu} k _ {\ nu}} {k ^ {2}}} \ right) {\ frac {1} {k ^ {2} + {\ frac {2Ng ^ {2}} {Vd (N ^ {2} -1)}} {\ frac {\ beta _ {0}} {k ^ {2}}}}} \ ;,}

{\ displaystyle D _ {\ mu \ nu} ^ {ab} (k) = \ delta ^ {ab} \ left (\ delta _ {\ mu \ nu} - {\ гидроразрыв {k _ {\ mu} k _ {\ nu}} {k ^ {2}}} \ right) {\ frac {1} {k ^ {2} + {\ frac {2Ng ^ {2}} {Vd (N ^ {2} -1)}} {\ frac {\ beta _ {0}} {k ^ {2}}}} \ ;,}

где $β 0 {\ displaystyle \ beta _ {0}}$ $\ beta _ {0}$ - это значение $β {\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ , которое решает уравнение разрыва. Призрачный пропагатор также модифицируется и, в порядке одного цикла, отображает поведение $∝ 1 / k 4 {\ displaystyle \ propto 1 / k ^ {4}}$ ${\ displaystyle \ propto 1 / k ^ {4}}$ .

Действие Грибова – Цванцигера

Несколько лет спустя Даниэль Цванцигер также рассмотрел проблему Грибова. Он использовал другой подход. Вместо того, чтобы рассматривать фантомный пропагатор, он вычислил наименьшее собственное значение оператора Фаддеева – Попова как пертурбативный ряд в глюонном поле. Это дало некоторую функцию, которую он назвал «функцией горизонта», и ожидаемое значение вакуума этой функции горизонта должно быть ограничено максимум одним, чтобы оставаться в пределах первой области Грибова. Это условие может быть выражено путем введения функции горизонта в интеграл по путям (способом, аналогичным тому, как Грибов сделал то же самое) и наложения определенного уравнения зазора на вакуумную энергию результирующей теории. Это дало новый интеграл по путям с измененным действием, которое, однако, является нелокальным. В первом порядке результаты идентичны тем, которые ранее нашел Грибов.

Чтобы легче было разобраться с найденным действием, Цванцигер ввел локализующие поля. Как только действие стало локальным, можно было доказать, что результирующая теория перенормируема - т.е. все бесконечности, порожденные петлевой диаграммой, могут быть поглощены мультипликативным изменением содержания (константа связи, нормализация поля, параметр Грибова) уже присутствует в теории без дополнительных дополнений.

Цванцигер, кроме того, отметил, что получившийся глюонный пропагатор не допускает спектрального представления Келлена – Лемана, которое сигнализирует о том, что глюон больше не может быть физической частицей. Это часто интерпретируется как сигнализация ограничение цвета.

Свойства первой области Грибова

Поскольку первая область Грибова играет ключевую роль в разрешении неоднозначности Грибова, она привлекает дополнительное внимание из-за лет со дня выхода первой статьи Грибова. Калибровку Ландау можно определить как калибровку, экстремизирующую функционал

| | А | | 2 = ∫ d d x A μ a (x) A μ a (x). {\ displaystyle || A || ^ {2} = \ int d ^ {d} xA _ {\ mu} ^ {a} (x) A _ {\ mu} ^ {a} (x) \ ;.}

{\ displaystyle || A || ^ {2} = \ int d ^ {d} xA _ {\ mu} ^ {a} (x) A _ {\ mu} ^ {a} (x) \ ;.}

Простой экстремум (максимум или минимум) этого функционала - обычная калибровка Ландау. Требование минимума (что равносильно требованию, чтобы оператор Фаддеева – Попова был положительным) попадает в первую область Грибова.

Это условие все же включает относительные минимумы. Было показано, что в пределах первой области Грибова все еще существуют копии Грибова, которые связаны друг с другом топологически тривиальным калибровочным преобразованием. Пространство калибровочных функций, абсолютно минимизирующих функционал $| | А | | 2 {\ displaystyle || A || ^ {2}}$ ${\ displaystyle || A || ^ {2}}$ , определенный выше, называется «фундаментальной модульной областью». Однако неизвестно, как ограничить интеграл по путям этой областью.

Было показано, что первая область Грибова ограничена во всех направлениях, так что никакие произвольно большие конфигурации поля не принимаются во внимание при ограничении интеграла по путям для этой области. Кроме того, первая область Грибова является выпуклой, и все физические конфигурации имеют внутри нее хотя бы одного представителя.

Более поздние разработки

В 2013 году было доказано, что два формализма - формализм Грибова и Цванцигера - являются эквивалентен всем порядкам в теории возмущений.

Одной из проблем формализма Грибова – Цванцигера является нарушение БРСТ-симметрии. Это нарушение можно интерпретировать как нарушение динамической симметрии. Нарушение является «мягким» (т.е. пропорционально параметру с положительной размерностью массы, в данном случае параметру Грибова), так что перенормируемость все еще может быть доказана. Унитарность все еще проблематична.

В течение долгого времени моделирование решетки, казалось, указывало на то, что модифицированные пропагаторы глюонов и призраков, предложенные Грибовым и Цванцигером, были правильными. Однако в 2007 году компьютеры стали достаточно мощными, чтобы исследовать область малых импульсов, где пропагаторы наиболее модифицированы, и оказалось, что картина Грибова – Цванцигера неверна. Вместо этого, пропагатор глюона переходит к постоянному значению, когда импульс становится равным нулю, а пропагатор-призрак по-прежнему имеет значение 1 / k при малых импульсах. Это верно как для 3-х, так и для 4-х измерений пространства-времени. Было предложено решение этого несоответствия путем добавления конденсата к действию Грибова – Цванцигера.

Примечания

Ссылки

Источники

Capri, Márcio A.L.; Дудал, Дэвид; Guimarães, Marcelo S.; Palhares, Letícia F.; Сорелла, Сильвио П. (2013). «Полное доказательство эквивалентности неполюсности Грибова и условий горизонта Цванцигера». Phys. Lett. Б. 719 : 448–453. arXiv : 1212,2419. Bibcode : 2013PhLB..719..448C. doi : 10.1016 / j.physletb.2013.01.039.
Куккьери, Аттилио; Мендес, Тереза (2007). «Что случилось с ИК-глюонами и призрачными пропагаторами в калибровке Ландау? Загадочный ответ из огромных решеток». PoS. LAT2007: 297. arXiv : 0710.0412. Bibcode : 2007slft.confE.297C. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Дель'Антонио, Джанфаусто; Цванцигер, Даниэль (1989). «Эллипсоидальная граница на горизонте Грибова противоречит пертурбативной ренормгруппе». Nuclear Physics B. 326 : 333–350. Bibcode : 1989NuPhB.326..333D. doi : 10.1016 / 0550-3213 (89) 90135-1. CS1 maint: ref = harv (link )
Грибов Владимир Николаевич (1978). «Квантование неабелевых калибровочных теорий». Ядерная физика B. 139 : 1–19. Bibcode : 1978NuPhB.139.... 1G. doi : 10.1016 / 0550-3213 (78) 90175-X. CS1 maint: ref = harv (link )
T. Heinzl. Гамильтонов подход к проблеме Грибова. Nuclear Physics B (Proc.Suppl) 54A (1997) 194-197, arXiv: hep-th / 9609055
Kondo, http: //www.icra.it / MG / mg12 / talk / sqg5_kondo.pdf (второй слайд)
Maas, Axel (2013). «Калибровочные бозоны при нулевой и конечной температуре». Physics Reports. 524 : 203–300. arXiv : 1106.3942. Bibcode : 2013PhR... 524..203M. doi : 10.1016 / j.physrep.2012.11.002. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Зингер, Исадор М. ( 1978). «Некоторые замечания о двусмысленности Грибова». Сообщения по математической физике. 60 : 7–12. Bibcode : 1978CMaPh..60.... 7S. doi : 10.1007 / BF01609471. CS1 maint: ref = harv (link )
van Baal, Pierre (1992). "Подробнее (мысли on) Грибов копирует ". Nucl. Phys. B. 369 : 259–275. Bibcode : 1992NuPhB.369..259V. CiteSeerX 10.1.1.35.6645. doi : 10.1016 / 0550-3213 (92) 90386-P. CS1 maint: ref = harv ( ссылка )
Вандерсикель, Неле (2011). Исследование действия Грибова – Цванцигера: от пропагаторов к глюболам (Диссертация). Гентский университет. arXiv : 1104.1315. Bibcode : 2011arXiv1104.1315V. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Vandersickel, Nele; Zwanziger, Daniel (2012 "Проблема Грибова и динамика КХД". Phys. Rep. 520 : 175–251. arXiv : 1202.1491. Bibcode : 2012PhR... 520..175V. doi : 10.1016 / j.physrep.2012.07.003. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Даниэль Цванцигер (1989). "Local и перенормируемое действие из горизонта Грибова ». Ядерная физика B. 323 : 513–544. Bibcode : 1989NuPhB.323..513Z. doi : 10.1016 / 0550-3213 (89) 90122-3. CS1 maint: ref = harv (ссылка )