Примеры дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения возникают во многих задачах в физике, инженерии и другие науки. Следующие примеры показывают, как решать дифференциальные уравнения в нескольких простых случаях, когда существует точное решение.

• 1 Разделимые обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка
• 2 Разделимые (однородные) линейные обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка
• 3 Несепарабельные (неоднородные) линейные обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка
• 4 Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка
  • 4.1 Простой пример
  • 4.2 Более сложная модель
• 5 Линейные системы ОДУ
• 6 См. Также
• 7 Библиография
• 8 Внешние ссылки

Уравнения в форме $dydx\; =\; f\; (x)\; g\; (y)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; =\; f\; (x)\; g\; (y)\}$называются разделяемыми и решаются с помощью $dyg\; (y)\; =\; f\; (x)\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{g\; (y)\}\}\; =\; f\; (\; x)\; dx\}$и, следовательно, $\int \; dyg\; (y)\; =\; \int \; f\; (x)\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{g\; (y)\}\}\; =\; \backslash \; int\; f\; (\; x)\; dx\}$. Перед делением на $g\; (y)\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (y)\}$необходимо проверить, существуют ли стационарные (также называемые равновесными) решения $y\; =\; const\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; const\}$удовлетворяющий $g\; (y)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (y)\; =\; 0\}$.

A разделимое линейное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка должно быть однородным и иметь общий вид

$dydt\; +\; f\; (t)\; y\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dt\}\}\; +\; f\; (t)\; y\; =\; 0\}$

, где $f\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (t)\}$- некоторая известная функция. Мы можем решить эту проблему с помощью разделения переменных (перемещая элементы y в одну сторону, а члены t в другую сторону),

$dyy\; =\; -\; f\; (t)\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\; dy\}\; \{y\}\}\; =\; -\; f\; (t)\; \backslash ,\; dt\}$

Поскольку разделение переменных в этом случае включает деление на y, мы должны проверить, является ли постоянная функция y = 0 решением исходного уравнения. Очевидно, если y = 0, то y '= 0, поэтому y = 0 на самом деле является решением исходного уравнения. Отметим, что y = 0 недопустимо в преобразованном уравнении.

Мы решаем преобразованное уравнение с переменными, уже разделенными Интегрируя,

$ln\; \; |\; y\; |\; Знак\; равно\; (-\; \int \; е\; (t)\; d\; t)\; +\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; |\; y\; |\; =\; \backslash \; left\; (-\; \backslash \; int\; f\; (t)\; \backslash ,\; dt\; \backslash \; right)\; +\; C\}$

, где C - произвольная константа. Тогда, используя возведение в степень, получаем

$y\; =\; \pm \; e\; (-\; \int \; f\; (t)\; dt)\; +\; C\; =\; \pm \; e\; C\; e\; -\; \int \; f\; (t)\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; \backslash \; pm\; e\; ^\; \{\backslash \; left\; (-\; \backslash \; int\; f\; (t)\; \backslash ,\; dt\; \backslash \; right)\; +\; C\}\; =\; \backslash \; pm\; e\; ^\; \{C\}\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; int\; f\; (t)\; \backslash ,\; dt\}\}$.

Здесь $e\; C>0\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{C\}>0\}$, поэтому $\pm \; e\; C\; \ne \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pm\; e\; ^\; \{C\}\; \backslash \; neq\; 0\}$. Но у нас есть независимо проверили, что y = 0 также является решением исходного уравнения, таким образом,

$y\; =\; A\; e\; -\; \int \; f\; (t)\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; Ae\; ^\; \{-\; \backslash \; int\; f\; (t)\; \backslash ,\; dt\}\}$.

с произвольной константой A, которая охватывает все случаи. Легко подтвердить, что это решение, подставив его в исходное дифференциальное уравнение:

$dydt\; +\; f\; (t)\; y\; =\; -\; f\; (t)\; \cdot \; A\; е\; -\; \int \; е\; (t)\; dt\; +\; е\; (t)\; \cdot \; A\; е\; -\; \int \; е\; (t)\; dt\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dt\}\}\; +\; f\; (t)\; y\; =\; -f\; (\; t)\; \backslash \; cdot\; Ae\; ^\; \{-\; \backslash \; int\; f\; (t)\; \backslash ,\; dt\}\; +\; f\; (t)\; \backslash \; cdot\; Ae\; ^\; \{-\; \backslash \; int\; f\; (t)\; \backslash ,\; dt\}\; =\; 0\}$

Некоторые уточнения n необходимо, потому что ƒ (t) может даже не быть интегрируемым. Прежде чем уравнение будет полностью определено, необходимо также предположить что-то об областях определения задействованных функций. В приведенном выше решении предполагается реальный случай.

Если $f\; (t)\; =\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (t)\; =\; \backslash \; alpha\}$является константой, решение особенно простое: $y\; =\; A\; e\; -\; \alpha \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; Ae\; ^\; \{-\; \backslash \; alpha\; t\}\}$и описывает, например, если $\alpha >0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha>0\}$, экспоненциальный распад радиоактивного материала при макроскопический уровень. Если значение $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$не известно априори, его можно определить по двум измерениям раствора. Например,

$dydt\; +\; \alpha \; y\; Знак\; равно\; 0,\; y\; (1)\; =\; 2,\; y\; (2)\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dt\}\}\; +\; \backslash \; альфа\; y\; =\; 0,\; y\; (1)\; =\; 2,\; y\; (2)\; =\; 1\}$

дает $\alpha \; =\; пер\; \; (2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; =\; \backslash \; ln\; (2)\}$и $y\; =\; 4\; e\; -\; ln\; \; (2)\; t\; =\; 2\; 2\; -\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; 4e\; ^\; \{-\; \backslash \; ln\; (2)\; t\}\; =\; 2\; ^\; \{2-t\}\}$.

Линь первого порядка Неоднородные ОДУ (обычные дифференциальные уравнения ) не разделимы. Их можно решить с помощью следующего подхода, известного как метод интегрирующего множителя. Рассмотрим линейные ОДУ первого порядка общего вида:

$dydx\; +\; p\; (x)\; y\; =\; q\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; +\; p\; (x)\; y\; =\; q\; (x)\; \}$

Метод решения этого уравнения основан на специальном интегрирующем множителе μ:

$\mu \; =\; e\; \int \; x\; 0\; xp\; (t)\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; =\; e\; ^\; \{\backslash \; int\; \_\; \{x\_\; \{0\}\; \}\; ^\; \{x\}\; p\; (t)\; \backslash ,\; dt\}\}$

Мы выбрали этот интегрирующий множитель, потому что он обладает особым свойством: его производная сама умножается на функцию, которую мы интегрируем, то есть:

$d\; \mu \; dx\; =\; е\; \int \; Икс\; 0\; Хр\; (T)\; dt\; \cdot \; п\; (Икс)\; =\; \mu \; п\; (Икс)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \{\backslash \; mu\}\}\; \{dx\}\}\; =\; e\; ^\; \{\backslash \; int\; \_\; \{x\_\; \{0\}\}\; ^\; \{x\}\; p\; (t)\; \backslash ,\; dt\}\; \backslash \; cdot\; p\; (x)\; =\; \backslash \; mu\; p\; (x)\}$

Умножив обе части исходного дифференциального уравнения на μ, получим:

$\mu \; dydx\; +\; \mu \; p\; (Икс)\; Y\; =\; \mu \; Q\; (Икс)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; му\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; +\; \backslash \; му\; \{p\; (x)\; y\}\; =\; \backslash \; mu\; \{q\; (x)\}\}$

Из-за выбранный нами специальный μ, мы можем заменить dμ / dx на μ p (x), упростив уравнение до:

$\mu \; dydx\; +\; yd\; \mu \; dx\; =\; \mu \; q\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; +\; y\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \{\backslash \; mu\}\}\; \{dx\}\}\; =\; \backslash \; mu\; \{q\; (x)\}\}$

Usi Используя правило произведения в обратном порядке, мы получаем:

$ddx\; (\mu \; y)\; =\; \mu \; q\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; \{(\backslash \; mu\; \{y\})\}\; =\; \backslash \; mu\; \{q\; (x)\}\}$

Интегрирование обеих сторон:

$\mu \; y\; =\; (\int \; \mu \; q\; (x)\; dx)\; +\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \{y\}\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; int\; \backslash \; mu\; q\; (x)\; \backslash ,\; dx\; \backslash \; right)\; +\; C\}$

Наконец, чтобы найти y, мы разделим обе стороны на $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$:

$y\; =\; (\int \; \mu \; q\; (x)\; dx)\; +\; C\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (\backslash \; int\; \backslash \; mu\; q\; (x)\; \backslash ,\; dx\; \backslash \; right)\; +\; C\}\; \{\backslash \; mu\}\}\}$

Поскольку μ является функцией x, мы не можем дальше упрощать напрямую.

Простой пример

Предположим, что к пружине прикреплена масса, которая оказывает силу притяжения на массу пропорционально на растяжение / сжатие пружины. На данный момент мы можем игнорировать любые другие силы (гравитация, трение и т. Д.). Мы запишем растяжение пружины в момент времени t как x (t). Теперь, используя второй закон Ньютона, мы можем написать (используя удобные единицы измерения):

$md\; 2\; xdt\; 2\; +\; kx\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\; x\}\; \{dt\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; kx\; =\; 0,\}$

где m - масса, а k - жесткость пружины, которая представляет меру жесткости пружины. Для простоты возьмем в качестве примера m = k.

Если мы ищем решения, которые имеют форму $C\; e\; \lambda \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; Ce\; ^\; \{\backslash \; lambda\; t\}\}$, где C - константа, мы обнаруживаем связь $\lambda \; 2\; +\; 1\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; ^\; \{2\}\; +\; 1\; =\; 0\}$, и поэтому $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\}$должен быть одно из комплексных чисел $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$или $-\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; -i\}$. Таким образом, используя формулу Эйлера, мы можем сказать, что решение должно иметь вид:

$x\; (t)\; =\; A\; cos\; \; t\; +\; B\; sin\; \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (t)\; =\; A\; \backslash \; cos\; t\; +\; B\; \backslash \; sin\; t\}$

См. решение по WolframAlpha.

Чтобы определить неизвестные константы A и B, нам нужны начальные условия, то есть равенства, которые определяют состояние система в данный момент времени (обычно t = 0).

Например, если мы предположим, что при t = 0 протяженность равна единице расстояния (x = 1), и частица не движется (dx / dt = 0). У нас есть

$x\; (0)\; =\; A\; соз\; \; 0\; +\; B\; грех\; \; 0\; =\; A\; =\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (0)\; =\; A\; \backslash \; cos\; 0\; +\; B\; \backslash \; sin\; 0\; =\; A\; =\; 1,\}$

и поэтому A = 1.

$x\; \prime \; (0)\; =\; -\; A\; sin\; \; 0\; +\; B\; cos\; \; 0\; =\; B\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \text{'}(0)\; =\; -\; A\; \backslash \; sin\; 0\; +\; B\; \backslash \; cos\; 0\; =\; B\; =\; 0,\}$

и поэтому B = 0.

Следовательно, x (t) = cos t. Это пример простого гармонического движения.

См. решение от Wolfram Alpha.

Более сложная модель

Вышеупомянутая модель колеблющейся массы на пружина правдоподобна, но не очень реалистична: на практике трение будет иметь тенденцию замедлять массу и иметь величину, пропорциональную ее скорости (то есть dx / dt). Наше новое дифференциальное уравнение, выражающее баланс ускорения и сил, имеет вид

$md\; 2\; xdt\; 2\; +\; cdxdt\; +\; kx\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\; x\}\; \{dt\; ^\; \{2\; \}\}\}\; +\; c\; \{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{dt\}\}\; +\; kx\; =\; 0,\}$

где $c\; \{\backslash \; displaystyle\; c\}$- коэффициент демпфирования, представляющий трение. Снова ища решения вида $C\; e\; \lambda \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; Ce\; ^\; \{\backslash \; lambda\; t\}\}$, мы обнаруживаем, что

$m\; \lambda \; 2\; +\; c\; \lambda \; +\; k\; =\; 0.\; \{\; \backslash \; displaystyle\; m\; \backslash \; lambda\; ^\; \{2\}\; +\; c\; \backslash \; lambda\; +\; k\; =\; 0.\}$

Это квадратное уравнение, которое мы можем решить. Если есть два комплексно сопряженных корня a ± ib, и решение (с указанными выше граничными условиями) будет выглядеть так:

$x\; (t)\; =\; eat\; (cos\; \; bt\; -\; ab\; sin\; \; bt)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (t)\; =\; e\; ^\; \{at\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; cos\; bt\; -\; \{\backslash \; frac\; \{a\}\; \{b\}\}\; \backslash \; sin\; bt\; \backslash \; right)\}$

Для простоты возьмем $m\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; =\; 1\}$, затем и $k\; =\; a\; 2\; +\; b\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; =\; a\; ^\; \{2\}\; +\; b\; ^\; \{2\}\}$.

Уравнение также может быть решено в символической панели инструментов MATLAB как

x = dsolve ('D2x + c * Dx + k * x = 0', 'x (0) = 1', 'Dx (0) = 0 ')

хотя решение выглядит довольно некрасиво,

x = (c + (c ^ 2-4 * k) ^ (1/2)) / (2 * exp (t * (c / 2 - (c ^ 2-4 * k) ^ (1/2) / 2)) * (c ^ 2-4 * k) ^ (1/2)) - (c - (c ^ 2-4 * k) ^ (1/2)) / (2 * ехр (t * (c / 2 + (c ^ 2 - 4 * k) ^ (1/2) / 2)) * (c ^ 2 - 4 * k) ^ ( 1/2))

Это модель осциллятора с затуханием. График смещения от времени будет выглядеть следующим образом:

, который напоминает поведение вибрирующей пружины, когда трение отнимает энергию от системы.

Следующий пример линейной системы ОДУ первого порядка

$y\; 1\; \prime \; =\; y\; 1\; +\; 2\; y\; 2\; +\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; y\_\; \{1\}\; \text{'}\; =\; y\_\; \{1\}\; +\; 2y\_\; \{2\}\; +\; t\}$

$y\; 2\; \prime \; =\; 2\; y\; 1\; -\; 2\; y\; 2\; +\; sin\; \; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\_\; \{2\}\; \text{'}=\; 2y\_\; \{1\}\; -2y\_\; \{2\; \}\; +\; \backslash \; sin\; (t)\}$

можно легко решить символически с помощью программного обеспечения численного анализа.

• Замкнутые и точные дифференциальные формы
• Обыкновенное дифференциальное уравнение
• Дифференциальное уравнение Бернулли

• А. Д. Полянин и В. Ф. Зайцев, Справочник по точным решениям обыкновенных дифференциальных уравнений, 2-е издание, Chapman Hall / CRC Press, Бока-Ратон, 2003; ISBN 1-58488-297-2.

• Обычные дифференциальные уравнения в EqWorld: мир математических уравнений.