Поверхность Эннепера

В дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии поверхность Эннепер представляет собой самопересекающуюся поверхность, которую параметрически можно описать следующим образом:

$x\; =\; u\; (1\; -\; u\; 2/3\; +\; v\; 2)\; /\; 3,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; u\; (1\; -u\; ^\; \{2\}\; /\; 3\; +\; v\; ^\; \{2\})\; /\; 3,\; \backslash \}$

$y\; =\; v\; (1\; -\; v\; 2/3\; +\; u\; 2)\; /\; 3,\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; v\; (1-v\; ^\; \{2\}\; /\; 3\; +\; u\; ^\; \{2\})\; /\; 3,\; \backslash \}$

$z\; =\; (u\; 2\; -\; v\; 2)\; /\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; (u\; ^\; \{2\}\; -v\; ^\; \{2\})\; /\; 3.\; \backslash \}$

Он был введен Альфредом Эннепером в 1864 году в связи с теорией минимальной поверхности.

Параметризация Вейерштрасса-Эннепера очень просто, $f\; (z)\; =\; 1,\; g\; (z)\; =\; z\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (z)\; =\; 1,\; g\; (z)\; =\; z\}$, а действительное параметрическая форма может еа Силы рассчитывать на это. Поверхность сопряжена сама с собой.

Методы неявной реализации алгебраической геометрии могут использоваться для определения того, что точки на поверхности Эннепера, приведенные выше, удовлетворяют полиномиальному уравнению степени-9

$64\; z\; 9\; -\; 128\; z\; 7\; +\; 64\; z\; 5\; -\; 702\; x\; 2\; y\; 2\; z\; 3\; -\; 18\; x\; 2\; y\; 2\; z\; +\; 144\; (y\; 2\; z\; 6\; -\; x\; 2\; z\; 6)\; \{\backslash \; displaystyle\; 64z\; ^\; \{9\}\; -128z\; ^\; \{7\; \}\; +\; 64z\; ^\; \{5\}\; -702x\; ^\; \{2\}\; y\; ^\; \{2\}\; z\; ^\; \{3\}\; -18x\; ^\; \{2\}\; y\; ^\; \{2\}\; z\; +\; 144\; (y\; ^\; \{2\}\; z\; ^\; \{6\}\; -x\; ^\; \{2\}\; z\; ^\; \{6\})\; \backslash \}$

$+\; 162\; (y\; 4\; z\; 2\; -\; x\; 4\; z\; 2)\; +\; 27\; (y\; 6\; -\; x\; 6)\; +\; 9\; (x\; 4\; z\; +\; y\; 4\; z)\; +\; 48\; (Икс\; 2\; Z\; 3\; +\; Y\; 2\; Z\; 3)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\}\; +162\; (y\; ^\; \{4\}\; z\; ^\; \{2\}\; -x\; ^\; \{4\}\; z\; ^\; \{2\})\; +\; 27\; (y\; ^\; \{6\}\; -\; x\; ^\; \{6\})\; +\; 9\; (x\; ^\; \{4\}\; z\; +\; y\; ^\; \{4\}\; z)\; +48\; (x\; ^\; \{2\}\; z\; ^\; \{3\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\; z\; ^\; \{3\})\; \backslash \}$

$-\; 432\; (x\; 2\; z\; 5\; +\; y\; 2\; z\; 5)\; +\; 81\; (x\; 4\; y\; 2\; -\; x\; 2\; y\; 4)\; +\; 240\; (y\; 2\; z\; 4\; -\; x\; 2\; z\; 4)\; -\; 135\; (x\; 4\; z\; 3\; +\; y\; 4\; z\; 3)\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\}\; -432\; (x\; ^\; \{2\}\; z\; ^\; \{5\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\; z\; ^\; \{5\})\; +\; 81\; (x\; ^\; \{4\}\; y\; ^\; \{2\; \}\; -x\; ^\; \{2\}\; y\; ^\; \{4\})\; +\; 240\; (y\; ^\; \{2\}\; z\; ^\; \{4\}\; -x\; ^\; \{2\}\; z\; ^\; \{4\})\; -\; 135\; (x\; ^\; \{4\}\; z\; ^\; \{3\; \}\; +\; y\; ^\; \{4\}\; z\; ^\; \{3\})\; =\; 0.\; \backslash \}$

Соответственно, касательная плоскость в точке с заданными параметрами равна $a\; +\; bx\; +\; cy\; +\; dz\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; +\; bx\; +\; cy\; +\; dz\; =\; 0,\; \backslash \}$где

$a\; =\; -\; (u\; 2\; -\; v\; 2)\; (1\; +\; u\; 2/3\; +\; v\; 2/3),\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; =\; -\; (u\; ^\; \{2\}\; -v\; ^\; \{2\})\; (1\; +\; u\; ^\; \{2\}\; /\; 3\; +\; v\; ^\; \{2\}\; /\; 3),\; \backslash \}$

$b\; =\; 6\; u,\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; =\; 6u,\; \backslash \}$

$c\; =\; 6\; v,\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; =\; 6v,\; \backslash \}$

$d\; =\; -\; 3\; (1\; -\; u\; 2\; -\; v\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; =\; -3\; (1-u\; ^\; \{2\}\; -v\; ^\; \{2\}).\; \backslash \}$

Его коэффициенты удовлетворяют неявному полиномиальному уравнению степени 6

$162\; a\; 2\; b\; 2\; c\; 2\; +\; 6\; b\; 2\; c\; 2\; d\; 2-4\; (b\; 6\; +\; c\; 6)\; +\; 54\; (ab\; 4\; d\; -\; ac\; 4\; d)\; +\; 81\; (a\; 2\; b\; 4\; +\; a\; 2\; c\; 4)\; \{\backslash \; displaystyle\; 162a\; ^\; \{2\}\; b\; ^\; \{\; 2\}\; c\; ^\; \{2\}\; +\; 6b\; ^\; \{2\}\; c\; ^\; \{2\}\; d\; ^\; \{2\}\; -4\; (b\; ^\; \{6\}\; +\; c\; ^\; \{6\})\; +\; 54\; (ab\; ^\; \{4\}\; d-ac\; ^\; \{4\}\; d)\; +81\; (a\; ^\; \{2\}\; b\; ^\; \{4\}\; +\; a\; ^\; \{2\}\; c\; ^\; \{4\})\; \backslash \}$

$+\; 4\; (b\; 4\; c\; 2\; +\; b\; 2\; c\; 4)\; -\; 3\; (b\; 4\; d\; 2\; +\; c\; 4\; d\; 2)\; +\; 36\; (ab\; 2\; d\; 3\; -\; ac\; 2\; d\; 3)\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\}\; +4\; (b\; ^\; \{4\}\; c\; ^\; \{2\}\; +\; b\; ^\; \{2\; \}\; c\; ^\; \{4\})\; -\; 3\; (b\; ^\; \{4\}\; d\; ^\; \{2\}\; +\; c\; ^\; \{4\}\; d\; ^\; \{2\})\; +\; 36\; (ab\; ^\; \{2\}\; d\; ^\; \{3\}\; -ac\; ^\; \{2\; \}\; d\; ^\; \{3\})\; =\; 0.\; \backslash \}$

Якобиан, Гауссова кривизна и средняя кривизна равны

$J\; =\; (1\; +\; u\; 2\; +\; v\; 2)\; 4/81,\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; =\; (1\; +\; u\; ^\; \{2\}\; +\; v\; ^\; \{2\})\; ^\; \{4\}\; /\; 81,\; \backslash \}$

$K\; =\; -\; (4/9)\; /\; J,\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; =\; -\; (4/9)\; /\; J,\; \backslash \}$

$H\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; =\; 0.\; \backslash \}$

Общая кривизна $-\; 4\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; -4\; \backslash \; pi\}$. Оссерман доказал, что полная минимальная поверхность в $R\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{3\}\}$с полной кривизной $-\; 4\; \pi \; \{\backslash \; displ\; aystyle\; -4\; \backslash \; pi\}$- это либо катеноид, либо поверхность Эннепера.

Другое свойство состоит в том, что все бикубические минимальные поверхности Безье являются, с точностью до аффинного преобразования, куски поверхности.

Его можно обобщить на вращательные симметрии более высокого порядка с помощью параметризации Вейерштрасса – Эннепера $f\; (z)\; =\; 1,\; g\; (z)\; =\; zk\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (z)\; =\; 1,\; g\; (z)\; =\; z\; ^\; \{k\}\}$для целого числа k>1. Его также можно обобщить на более высокие измерения; Поверхности, подобные Эннеперу, существуют в $R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$для n до 7.

• , Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• https://web.archive.org/web/20130501084413/http://www. math.hmc.edu/~gu/curves_and_surfaces/surfaces/enneper.html
• https://web.archive.org/web/20160919231223/https://secure.msri.org/about/sgp/jim/geom /minimal/library/ennepern/index.html

.