Уравнения Эйнштейна – Инфельда – Гофмана

The Уравнения движения Эйнштейна – Инфельда – Гофмана, совместно полученные Альбертом Эйнштейном, Леопольдом Инфельдом и Банешем Хоффманном, представляют собой дифференциал уравнения движения, описывающие приблизительную динамику системы точечных масс из-за их взаимного гравитационного взаимодействия, включая общие релятивистские эффекты. Он использует постньютоновское расширение первого порядка и, таким образом, действителен в пределе, когда скорости тел малы по сравнению со скоростью света и где гравитационные поля, влияющие на них, соответственно слабы.

Для системы из N тел, обозначенных индексами A = 1,..., N, барицентрический вектор ускорения тела A определяется выражением:

$a → A = ∑ B ≠ AG m B n → BA r AB 2 + 1 c 2 ∑ B ≠ AG m B n → BA r AB 2 [v A 2 + 2 v B 2 - 4 (v → A ⋅ v → B) - 3 2 (n → AB ⋅ v → B) 2 - 4 ∑ C ≠ AG m C r AC - C ≠ BG m C r BC + 1 2 ((x → B - x → A) ⋅ a → B)] + 1 c 2 ∑ B ≠ AG m B r AB 2 [n → AB ⋅ (4 v → A - 3 v → B)] (v → A - v → B) + 7 2 c 2 ∑ B ≠ AG m B a → В р AB + О (с - 4) {\ Displaystyle {\ begin {align} {\ vec {a}} _ {A} = \ sum _ {B \ not = A} {\ frac {Gm_ {B } {\ vec {n}} _ {BA}} {r_ {AB} ^ {2}}} \\ {} \ quad {} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ sum _ {B \ not = A} {\ frac {Gm_ {B} {\ vec {n}} _ {BA}} {r_ {AB} ^ {2}}} \ left [v_ {A} ^ {2} + 2v_ {B} ^ {2} -4 ({\ vec {v}} _ {A} \ cdot {\ vec {v}} _ {B}) - {\ frac {3} {2}} ({ \ vec {n}} _ {AB} \ cdot {\ vec {v}} _ {B}) ^ {2} \ right. \\ {} \ qquad {} \ left. {} - 4 \ sum _ {C \ not = A} {\ frac {Gm_ {C}} {r_ {AC}}} - \ sum _ {C \ not = B} {\ frac {Gm_ {C}} {r_ {BC}}} + {\ frac {1} {2}} (({\ vec {x}} _ {B} - {\ vec {x}} _ {A}) \ cdot {\ vec {a}} _ {B}) \ right] \\ {} \ quad {} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ sum _ {B \ not = A} {\ frac {Gm_ {B}} {r_ {AB } ^ {2}}} \ left [{\ vec {n}} _ {AB} \ cdot (4 {\ vec {v}} _ {A} -3 {\ vec {v}} _ {B}) \ right] ({\ vec {v}} _ {A} - {\ vec {v}} _ {B}) \\ {} \ quad {} + {\ frac {7} {2c ^ {2} }} \ sum _ {B \ not = A} {\ frac {Gm_ {B} {\ vec {a}} _ {B}} {r_ {AB}}} + O (c ^ {- 4}) \ end {align}}}$

где:

$x\; \to \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}\; \_\; \{A\}\}$- вектор барицентрической позиции тела A

$v\; \to \; A\; =\; dx\; \to \; A\; /\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{v\}\}\; \_\; \{A\}\; =\; d\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}\; \_\; \{A\}\; /\; dt\}$- вектор барицентрической скорости тело A

$a\; \to \; A\; =\; d\; 2\; x\; \to \; A\; /\; dt\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{a\}\}\; \_\; \{A\}\; =\; d\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}\; \_\; \{A\}\; /\; dt\; ^\; \{2\}\}$- вектор барицентрического ускорения тела A

$r\; AB\; =\; |\; х\; \to \; А\; -\; х\; \to \; В\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{AB\}\; =\; |\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}\; \_\; \{A\}\; -\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}\; \_\; \{B\}\; |\}$- это координатное расстояние между телами A и B

$n\; \to \; AB\; =\; (x\; \to \; A\; -\; x\; \to \; B)\; /\; r\; AB\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{n\}\}\; \_\; \{AB\}\; =\; (\{\backslash \; vec\; \{x\}\}\; \_\; \{A\}\; -\; \{\backslash \; vec\; \{\; x\}\}\; \_\; \{B\})\; /\; r\_\; \{AB\}\}$- единичный вектор, указывающий от тела B к телу A

$m\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; m\_\; \{A\}\}$- масса тела A.

$c\; \{\backslash \; displaystyle\; c\}$- скорость света

$G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$- гравитационная постоянная

и нотация большого O используются, чтобы указать, что члены порядка c или выше были опущены.

Используемые здесь координаты - гармонические. Первый член в правой части - это ньютоновское ускорение свободного падения в точке A; в пределе c → ∞ восстанавливается закон движения Ньютона.

Ускорение одного тела зависит от ускорения всех остальных тел. Поскольку величина в левой части также появляется в правой части, эту систему уравнений необходимо решать итеративно. На практике использование ньютоновского ускорения вместо истинного ускорения обеспечивает достаточную точность.

• Einstein, A.; Infeld, L.; Хоффманн, Б. (1938). «Гравитационные уравнения и проблема движения». Анналы математики. Вторая серия. 39 (1): 65–100. Bibcode : 1938AnMat..39... 65E. DOI : 10.2307 / 1968714. JSTOR 1968714.
• Ковалевский, Жан; Зайдельманн, П. Кеннет (2004). Основы астрометрии. Нью-Йорк: Cambridge University Press. п. 173. ISBN 0521642167.
• Ландау, Лев; Лифшиц, Евгений (1971). Классическая теория полей. Оксфорд: Pergamon Press. п. 337.