Coskewness

В теории вероятностей и статистике, coskewness является мерой насколько три случайные величины изменяются вместе. Coskewness - это третий стандартизированный перекрестный центральный момент, связанный с асимметрией, поскольку ковариация связана с дисперсией. В 1976 году Краусс и Литценбергер использовали его для изучения риска инвестиций на фондовом рынке. Приложение к риску было расширено Харви и Сиддик в 2000 году.

Если две случайные величины демонстрируют положительную совместимость, они будут иметь тенденцию претерпевать экстремальные положительные отклонения одновременно. Точно так же, если две случайные величины демонстрируют отрицательную совмещенность, они будут иметь тенденцию одновременно претерпевать крайние отрицательные отклонения.

• 1 Определение
• 2 Свойства
• 3 Пример
• 4 См. Также
• 5 Ссылки
• 6 Дополнительная литература

Для трех случайных величин X, Y и Z, нетривиальная статистика совместимости определяется как:

$S\; (X,\; Y,\; Z)\; =\; E\; \; [(X\; -\; E\; \; [X])\; (Y\; -\; E\; \; [Y])\; (Z\; -\; E\; \; [Z])]\; \sigma \; Икс\; \sigma \; Y\; \sigma \; Z\; \{\backslash \; Displaystyle\; S\; (X,\; Y,\; Z)\; =\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{\backslash \; operatorname\; \{E\}\; \backslash \; left\; [(X-\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [X])\; (Y-\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [Y])\; (Z-\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [Z])\; \backslash \; right]\}\; \{\backslash \; sigma\; \_\; \{X\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{Y\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{Z\}\}\}\}$

где E [X] - ожидаемое значение X, также известное как среднее значение X, и $\sigma \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{X\; \}\}$- это стандартное отклонение X.

Асимметрия - это частный случай косого совпадения, когда три случайные величины идентичны:

$S\; (X,\; X,\; X)\; знак\; равно\; E\; \; [(X\; -\; E\; \; [X])\; 3]\; \sigma \; X\; 3\; =\; асимметрия\; \; [X],\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; (X,\; X,\; X)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; operatorname\; \{E\}\; \backslash \; left\; [(X-\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [X])\; ^\; \{3\}\; \backslash \; right]\}\; \{\backslash \; sigma\; \_\; \{X\}\; ^\; \{3\}\}\}\; =\; \{\backslash \; operatornam\; e\; \{skewness\}\; [X]\},\}$

Для двух случайных величин, X и Y, асимметрия суммы X + Y составляет

$SX\; +\; Y\; =\; 1\; \sigma \; X\; +\; Y\; 3\; [\sigma \; X\; 3\; SX\; +\; 3\; \sigma \; X\; 2\; \sigma \; YS\; (X,\; X,\; Y)\; +\; 3\; \sigma \; X\; \sigma \; Y\; 2\; S\; (X,\; Y,\; Y)\; +\; \sigma \; Y\; 3\; SY],\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{X\; +\; Y\}\; =\; \{1\; \backslash \; over\; \backslash \; sigma\; \_\; \{X\; +\; Y\}\; ^\; \{3\}\}\; \{\backslash \; left\; [\backslash \; sigma\; \_\; \{X\}\; ^\; \{3\}\; S\_\; \{X\}\; +3\; \backslash \; sigma\; \_\; \{X\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{Y\}\; S\; (X,\; X,\; Y)\; +3\; \backslash \; sigma\; \_\; \{X\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{Y\}\; ^\; \{2\}\; S\; (X,\; Y,\; Y)\; +\; \backslash \; sigma\; \_\; \{Y\}\; ^\; \{3\; \}\; S\_\; \{Y\}\; \backslash \; right]\},\}$

где S X - асимметрия X и $\sigma \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{X\}\}$- стандартное отклонение X. Отсюда следует, что сумма двух случайных величин может быть искажена (S X + Y>0), даже если обе случайные величины иметь нулевой перекос изолированно (S X = 0 и S Y = 0).

Совместимость переменных X и Y не зависит от масштаба, в котором выражены переменные. Если мы анализируем взаимосвязь между X и Y, косинус между X и Y будет такой же, как и косинус между a + bX и c + dY, где a, b, c и d - константы.

Пусть X будет стандартным нормально распределенным, а Y будет распределением, полученным путем установки X = Y всякий раз, когда X <0 and drawing Y independently from a standard полунормальное распределение всякий раз, когда X>0. Другими словами, X и Y оба стандартно нормально распределены со свойством, что они полностью коррелированы для отрицательных значений и некоррелированы, кроме знака для положительных значений. Совместная функция плотности вероятности равна

$f\; X,\; Y\; (x,\; y)\; =\; e\; -\; x\; 2/2\; 2\; \pi \; (H\; (-\; x)\; \delta \; (x\; -\; y)\; +\; 2\; H\; (x)\; H\; (y)\; e\; -\; y\; 2/2\; 2\; \pi )\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{X,\; Y\}\; (x,\; y)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{-\; x\; ^\; \{2\}\; /\; 2\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\}\; \backslash \; left\; (H\; (-x)\; \backslash \; delta\; (xy)\; +\; 2H\; (x)\; H\; (y)\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{-\; y\; ^\; \{2\}\; /\; 2\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\}\}\; \backslash \; right)\}$

где H (x) - ступенчатая функция Хевисайда, а δ (x) - дельта-функция Дирака. Третьи моменты легко вычисляются интегрированием по этой плотности:

$S\; (X,\; X,\; Y)\; =\; S\; (X,\; Y,\; Y)\; =\; -\; 1\; 2\; \pi \; \approx \; -\; 0,399\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; (X,\; X,\; Y)\; =\; S\; (X,\; Y,\; Y)\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\}\; \backslash \; приблизительно\; -0.399\}$

Обратите внимание, что хотя X и Y индивидуально стандартно распределены нормально, распределение суммы X + Y существенно искажено. Интегрировав по плотности, мы находим, что ковариация X и Y равна

$cov\; \; (X,\; Y)\; =\; 1\; 2\; +\; 1\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{cov\}\; (X,\; Y)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; pi\}\}\}$

, откуда следует, что стандартное отклонение их суммы составляет

$\sigma \; X\; +\; Y\; =\; 3\; +\; 2\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{X\; +\; Y\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{\backslash \; pi\}\}\}\}\}$

Используя приведенную выше формулу суммы асимметрии, мы имеем

$SX\; +\; Y\; =\; -\; 3\; 2\; \pi \; (2\; +\; 3\; \pi )\; 3/2\; \approx \; -\; 0,345\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{X\; +\; Y\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{3\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \backslash \; pi\}\; \{(2\; +\; 3\; \backslash \; pi)\; ^\; \{\; 3/2\}\}\}\; \backslash \; приблизительно\; -0,345\}$

Это также можно вычислить непосредственно из функции плотности вероятности суммы:

$f\; X\; +\; Y\; (u)\; =\; e\; -\; u\; 2/8\; 2\; 2\; \pi \; H\; (-\; u)\; +\; е\; -\; u\; 2/4\; \pi \; erf\; \; (u\; 2)\; H\; (u)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{X\; +\; Y\}\; (u)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{-\; u\; ^\; \{2\}\; /\; 8\; \}\}\; \{2\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\}\}\; H\; (-u)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{-\; u\; ^\; \{2\}\; /\; 4\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}\}\; \backslash \; operatorname\; \{\; erf\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{u\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; H\; (u)\}$

• Момент (математика)
• Кокуртоз

• Harvey, Campbell R.; Ахтар Сиддик (2000). «Условная асимметрия в тестах ценообразования активов» (PDF). Журнал финансов. 55 (3): 1263–1295. CiteSeerX 10.1.1.46.5155. doi : 10.1111 / 0022-1082.00247.
• Краус, Алан; Роберт Х. Литценбергер (1976). «Предпочтение асимметрии и оценка рискованных активов». Журнал финансов. 31 (4): 1085–1100. doi :10.1111/j.1540-6261.1976.tb01961.x.