Центр окружности массы

редактировать

В геометрии центр окружности массы является центром, связанным с многоугольник, который имеет многие из свойств центра масс. В более общем смысле, центр описанной окружности массы может быть определен для симплициальных многогранников, а также в сферической и гиперболической геометрии.

В особом случае, когда многогранник представляет собой четырехугольник или шестиугольник, центр описанной массы называется "квазицикругомцентром" и используется для определения прямая Эйлера четырехугольника. Центр описанной окружности массы позволяет нам определить прямую Эйлера для симплициальных многогранников.

Содержание

1 Определение на плоскости
2 Свойства
3 Обобщенная линия Эйлера
4 См. Также
5 Ссылки

Определение на плоскости

Пусть $P {\ displaystyle P}$ $P$ быть ориентированным многоугольником (с контрциклическим подсчетом вершин) на плоскости с вершинами $V 1, V 2,…, V n {\ displaystyle V_ {1}, V_ {2}, \ ldots, V_ {n}}$ ${ \ Displaystyle V_ {1}, V_ {2}, \ ldots, V_ {n}}$ и пусть $O {\ displaystyle O}$ $O$ будет произвольной точкой, не лежащей по бокам (или их расширения ). Рассмотрим триангуляцию $P {\ displaystyle P}$ $P$ ориентированными треугольниками $OV i V i + 1 {\ displaystyle OV_ {i} V_ {i + 1}}$ ${\ displaystyle OV_ {i} V_ {i + 1}}$ (индекс $i {\ displaystyle i}$ $i$ просматривается по модулю $n {\ displaystyle n}$ $n$ ). Свяжите с каждым из этих треугольников его центр описанной окружности $C i {\ displaystyle C_ {i}}$ $C_ {i}$ с весом, равным его ориентированной площади (положительный, если его последовательность вершин контрциклическая; отрицательный в противном случае). Центр окружности массы $P {\ displaystyle P}$ $P$ является центром масс этих взвешенных центров окружности. Результат не зависит от выбора точки $O {\ displaystyle O}$ $O$ .

Круговой центр массы многоугольника.

Свойства

В особом случае, когда многоугольник циклический центр описанной окружности массы совпадает с центром описанной массы.

Центр описанной массы массы удовлетворяет аналогу леммы Архимеда, которая гласит, что если многоугольник разбивается на два меньших многоугольника, то центр описанной массы этого Многоугольник - это взвешенная сумма центров окружности масс двух меньших многоугольников. Как следствие, любая триангуляция с невырожденными треугольниками может использоваться для определения центра описанной массы.

Для равностороннего многоугольника центр масс описанной окружности и центр масс совпадают. В более общем смысле, центр масс описанной окружности и центр масс совпадают для симплициального многогранника, для каждой грани которого сумма квадратов его ребер является константой.

Центр масс описанной окружности инвариантен при операции «пересечения» полигонов. и дискретное преобразование велосипеда (Дарбу); Другими словами, изображение многоугольника при этих операциях имеет тот же центр массы описанной окружности, что и исходный многоугольник. обобщенная линия Эйлера встречается и в теории интегрируемых систем.

Пусть $V i = (xi, yi) {\ displaystyle V_ {i} = (x_ {i }, y_ {i})}$ ${\ displaystyle V_ {i} = (x_ {i}, y_ {i})}$ быть вершинами $P {\ displaystyle P}$ $P$ , и пусть $A {\ displaystyle A}$ $A$ обозначим его площадь. Центр окружности массы $CCM (P) {\ displaystyle CCM (P)}$ ${\ displaystyle CCM (P)}$ многоугольника $P {\ displaystyle P}$ $P$ определяется по формуле

CCM (P) = 1 4 A (∑ i = 0 n - 1 - yiyi + 1 2 + yi 2 yi + 1 + xi 2 yi + 1 - xi + 1 2 yi, ∑ i = 0 n - 1 - xi + 1 yi 2 + xiyi + 1 2 + xixi + 1 2 - xi 2 xi + 1). {\ displaystyle CCM (P) = {\ frac {1} {4A}} (\ sum _ {i = 0} ^ {n-1} -y_ {i} y_ {i + 1} ^ {2} + y_ {i} ^ {2} y_ {i + 1} + x_ {i} ^ {2} y_ {i + 1} -x_ {i + 1} ^ {2} y_ {i}, \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} -x_ {i + 1} y_ {i} ^ {2} + x_ {i} y_ {i + 1} ^ {2} + x_ {i} x_ {i + 1} ^ {2} -x_ {i} ^ {2} x_ {i + 1}).}

{\ displaystyle CCM (P) = {\ frac {1} {4A}} (\ sum _ {i = 0} ^ {n-1} -y_ {i} y_ {i + 1} ^ {2} + y_ {i} ^ {2} y_ {i + 1} + x_ {i} ^ {2} y_ {i + 1} -x_ {i + 1} ^ {2} y_ {i}, \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} -x_ {i + 1} y_ {i} ^ {2} + x_ {i} y_ {i + 1} ^ {2} + x_ {i} x_ {i + 1} ^ {2} -x_ {i} ^ {2} x_ {i + 1}).}

Центр описанной массы массы можно расширить до гладких кривых с помощью процедуры ограничения. Этот непрерывный предел совпадает с центром масс однородной пластинки, ограниченной кривой.

При естественных предположениях центры многоугольников, удовлетворяющих лемме Архимеда, являются в точности точками его линии Эйлера. Другими словами, единственные центры с «хорошим поведением», удовлетворяющие лемме Архимеда, - это аффинные комбинации описанного центра масс и центра масс.

Обобщенная линия Эйлера

Центр масс описанной окружности позволяет определить прямую Эйлера для любого многоугольника (и, в более общем смысле, для симплициального многогранника). Эта обобщенная линия Эйлера определяется как аффинный промежуток между центром масс и центром масс многогранника.

См. Также

Ссылки