Емкость канала, в электротехнике, информатике и теория информации - это жесткая верхняя граница скорости, с которой информация может надежно передаваться по каналу связи.
В соответствии с условиями теорема кодирования с шумом, пропускная способность данного канала является наивысшей скоростью передачи информации (в единицах информации в единицу времени), которая может быть достигнута с помощью сколь угодно малая вероятность ошибки.
Теория информации, разработанная Клодом Э. Шенноном в 1948 году, определяет понятие пропускной способности канала и предоставляет математическую модель, с помощью которой можно ее вычислить. Ключевой результат состоит в том, что пропускная способность канала, как определено выше, задается максимумом взаимной информации между входом и выходом канала, где максимизация относится к входному распределению.
Понятие пропускной способности канала стало центральным при разработке современных систем проводной и беспроводной связи с появлением новых механизмов кодирования с исправлением ошибок, которые привели к достижению производительности, очень близкой к пределам, обещанным пропускной способностью канала.
Содержание
- 1 Формальное определение
- 2 Аддитивность пропускной способности канала
- 3 Пропускная способность Шеннона графа
- 4 Теорема о шумном канальном кодировании
- 5 Пример приложения
- 6 Пропускная способность канала в беспроводной сети связь
- 6.1 Канал AWGN с ограничением полосы
- 6.2 Частотно-избирательный канал AWGN
- 6.3 Канал с медленным замиранием
- 6.4 Канал с быстрым замиранием
- 7 См. также
- 7.1 Расширенные темы связи
- 8 Внешние ссылки
- 9 Ссылки
Формальное определение
Базовая математическая модель для системы связи следующая:
где:
- - сообщение, которое нужно передать;
- - символ ввода канала (- последовательность символов ), взятых в алфавите ;
- - символ вывода канала (- последовательность символов), взятых в алфавите ;
- оценка переданного сообщения;
- - функция кодирования для блока длины ;
- - канал с шумом, который моделируется условным распределением вероятностей ; и
- - функция декодирования для блока длиной .
Пусть и можно моделировать как случайные величины. Кроме того, пусть быть функцией условного распределения вероятностей от задано , которое является неотъемлемым фиксированным свойством канала связи. Тогда выбор предельного распределения полностью определяет совместное распределение в силу тождества
который, в свою очередь, индуцирует взаимную информацию . пропускная способность канала определяется как
где supremum берется по всем возможным вариантам .
Аддитивность канала емкость
Пропускная способность канала является аддитивной по сравнению с независимыми каналами. Это означает, что использование двух независимых каналов в сочетании обеспечивает такую же теоретическую пропускную способность, как и их независимое использование. Более формально, пусть и будут двумя независимыми каналами, смоделированными, как указано выше. ; с входным алфавитом и выходной алфавит . То же для . Мы определяем канал продукта как
Эта теорема утверждает:
Доказательство -
Сначала мы покажем, что .
Пусть и два независимых случайные переменные. Пусть будет случайной величиной, соответствующей выходным данным через канал и для - .
По определению .
Поскольку и являются независимыми, а также и , не зависит от . Мы можем применить следующее свойство взаимной информации :
Сейчас нам нужно только найти такое распределение такое, что . Фактически, и , два распределения вероятностей для и достижения и , достаточно:
т.е.
.
Теперь покажем, что .
Пусть некоторое распределение для канала , определяющий и соответствующий вывод . Пусть будет алфавитом , для и аналогично и .
По определению взаимной информации мы иметь
Давайте перепишем последний член энтропия.
По определению канала продукта, . Для данной пары мы можем переписать как:
Суммируя это равенство по всем , получаем .
Теперь мы можем дать верхнюю границу взаимной информации:
Это отношение сохраняется в верхней части. Следовательно,
.
Объединяя два доказанных неравенства, мы получаем результат теоремы:
пропускная способность Шеннона графа
Если G является неориентированный граф, его можно использовать для определения канала связи, в котором символы являются вершинами графа, и два кодовых слова могут быть перепутаны друг с другом, если их символы в каждой позиции равны или смежны. Вычислительная сложность определения пропускной способности Шеннона такого канала остается открытой, но она может быть ограничена сверху другим важным инвариантом графа, числом Ловаса.
теоремой кодирования с шумом
теорема кодирования с шумом утверждает, что для любой вероятности ошибки ε>0 и для любой скорости R передачи, меньшей, чем пропускная способность канала C, существует схема кодирования и декодирования, передающая данные со скоростью R, чья вероятность ошибки меньше ε для достаточно большой длины блока. Кроме того, для любой скорости, превышающей пропускную способность канала, вероятность ошибки на приемнике достигает 0,5, поскольку длина блока стремится к бесконечности.
Пример приложения
Применение концепции пропускной способности канала к каналу аддитивного белого гауссовского шума (AWGN) с полосой B Гц и отношение сигнал / шум S / N - это теорема Шеннона – Хартли :
C измеряется в битах в секунду, если логарифм взят по основанию 2, или нат в секунду, если используется натуральный логарифм, при условии, что B находится в герцах ; мощности сигнала и шума S и N выражаются в линейных единицах мощности (например, в ваттах или вольтах). Поскольку значения отношения сигнал / шум часто приводятся в дБ, может потребоваться преобразование. Например, отношение сигнал / шум 30 дБ соответствует линейному отношению мощностей .
Пропускная способность канала беспроводной связи
В этом разделе основное внимание уделяется сценарию с одной антенной и двухточечным соединением. Информацию о пропускной способности канала в системах с несколькими антеннами см. В статье MIMO.
Канал AWGN с ограниченной полосой пропускания
Пропускная способность канала AWGN с указанием режима ограничения мощности и режима ограничения полосы пропускания. Здесь
; B и C можно пропорционально масштабировать для других значений.
Если средняя полученная мощность составляет [W] и шум спектральная плотность мощности равна [Вт / Гц], пропускная способность канала AWGN составляет
- [бит / с],
где - отношение принятого сигнала к шуму (SNR). Этот результат известен как теорема Шеннона – Хартли .
. Когда отношение сигнал / шум большое (SNR>>0 дБ), емкость является логарифмическим по мощности и приблизительно линейным по полосе пропускания. Это называется режимом с ограниченной полосой пропускания.
Когда отношение сигнал / шум мало (SNR << 0 dB), the capacity имеет линейную мощность, но нечувствителен к полосе пропускания. Это называется режимом ограничения мощности.
Режим ограничения полосы пропускания и режим ограничения мощности показаны на рисунке.
Частотно-избирательный канал AWGN
Пропускная способность частотно-избирательного канала задается так называемым заполнением водой распределением мощности,
где и - усиление подканала , остроумие h выбрано для удовлетворения ограничения мощности.
Канал с медленным замиранием
В канале с медленным замиранием, где время когерентности больше, чем требуемая задержка, нет определенной емкости в качестве максимальной скорости надежная связь, поддерживаемая каналом, , зависит от случайного усиления канала , который неизвестен передатчику. Если передатчик кодирует данные со скоростью [бит / с / Гц], существует ненулевая вероятность того, что вероятность ошибки декодирования не может быть сделана сколь угодно малой,
, и в этом случае говорят, что система находится в отключении. С ненулевой вероятностью того, что канал находится в состоянии глубокого замирания, пропускная способность медленного канал с затуханием в строгом смысле слова равен нулю. Однако можно определить наибольшее значение так, чтобы вероятность сбоя меньше, чем . Это значение известно как -пропускная способность.
канал с быстрым замиранием
В канале с быстрым замиранием, где требование задержки больше, чем время когерентности, а длина кодового слова охватывает много когерентности периодов, можно усреднить по нескольким независимым замираниям каналов путем кодирования по большое количество временных интервалов согласованности. Таким образом, можно достичь надежной скорости передачи [бит / с / Гц], и имеет смысл говорить об этом значении как о пропускной способности канала с быстрым замиранием.
См. Также
Расширенные темы связи
Внешние ссылки
Ссылки