Образец симметрии центросимметричной матрицы 5 × 5
В математике, особенно в линейном алгебры и теории матриц, центросимметричная матрица - это матрица , которая симметрична относительно своего центра. Точнее, матрица A = [A i, j ] размера n × n является центросимметричной, когда ее элементы удовлетворяют
- Ai, j = A n − i + 1, n− j + 1 для 1 ≤ i, j ≤ n.
Если J обозначает матрицу размера n × n с 1 на контрдиагонали и 0 в другом месте (то есть J i, n + 1-i = 1; J i, j = 0, если j ≠ n + 1-i), то матрица A центросимметрична тогда и только тогда, когда AJ = JA. Матрицу J иногда называют матрицей обмена.
Содержание
- 1 Примеры
- 2 Алгебраическая структура и свойства
- 3 Связанные структуры
- 4 Ссылки
- 5 Дополнительная литература
- 6 Внешние ссылки
Примеры
- Все центросимметричные матрицы 2 × 2 имеют вид
- Все центросимметричные матрицы 3 × 3 имеют вид
Алгебраическая структура и свойства
- Если A и B являются центросимметричными матрицами над заданным полем F, то таковы A + B и cA для любого c в F. Кроме того, матричное произведение AB центросимметрично, поскольку JAB = AJB = ABJ. Поскольку единичная матрица также центросимметрична, отсюда следует, что набор центросимметричных матриц размера n × n над F является подалгеброй ассоциативной алгебры всех матриц размера n × n.
- Если A - центросимметричная матрица с m-мерным собственным базисом, то каждый из m собственных векторов может быть выбран так, чтобы они удовлетворяли либо x = Jx, либо x = -Jx.
- Если A - центросимметричная матрица с различными собственными значениями, то матрицы, коммутирующие с A, должны быть центросимметричными.
Связанные структуры
Матрица A размера n × n называется косоцентросимметричной, если ее элементы удовлетворяют A i, j = -A n − i + 1, n − j + 1 для 1 ≤ i, j ≤ n. Эквивалентно, A является косоцентросимметричным, если AJ = -JA, где J - матрица обмена, определенная выше.
Центросимметричное отношение AJ = JA поддается естественному обобщению, где J заменяется инволютивной матрицей K (т. Е. K = I) или, в более общем смысле, матрицей K, удовлетворяющей K = I для целого m>1. Также изучалась обратная задача для коммутационного отношения AK = KA идентификации всех инволютивных K, которые коммутируют с фиксированной матрицей A.
Симметричные центросимметричные матрицы иногда называют бисимметричными матрицами. Когда основное поле является полем действительных чисел, было показано, что бисимметричные матрицы - это именно те симметричные матрицы, у которых собственные значения остаются такими же, за исключением возможного знака изменяется после предварительного или последующего умножения на матрицу обмена. Аналогичный результат справедлив для эрмитовых центросимметричных и косоцентросимметричных матриц.
Ссылки
Дополнительная литература
- Muir, Thomas (1960). Трактат по теории детерминант. Дувр. п. 19. ISBN 0-486-60670-8.
- Уивер, Джеймс Р. (1985). «Центросимметричные (кросс-симметричные) матрицы, их основные свойства, собственные значения и собственные векторы». Американский математический ежемесячник. 92 (10): 711–717. doi : 10.2307 / 2323222. JSTOR 2323222.
Внешние ссылки