Тождества Кассини и Каталонии

Личность Кассини (иногда называемая личность Симсона ) и идентичность Каталонии являются математическими i dentities для чисел Фибоначчи. Тождество Кассини, частный случай идентичности Каталонца, утверждает, что для n-го числа Фибоначчи

$F\; n\; -\; 1\; F\; n\; +\; 1\; -\; F\; n\; 2\; =\; (-\; 1)\; п.\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{n-1\}\; F\_\; \{n\; +\; 1\}\; -F\_\; \{n\}\; ^\; \{2\}\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{n\}.\}$

Каталонская идентичность обобщает это:

$F\; n\; 2\; -\; F\; n\; -\; r\; F\; n\; +\; r\; =\; (-\; 1)\; n\; -\; r\; F\; r\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{n\}\; ^\; \{2\}\; -F\_\; \{nr\}\; F\_\; \{n\; +\; r\}\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{nr\}\; F\_\; \{r\}\; ^\; \{2\}.\}$

Личность Вайды обобщает это:

$F\; N\; +\; я\; F\; N\; +\; J\; -\; F\; N\; F\; N\; +\; I\; +\; J\; знак\; равно\; (-\; 1)\; N\; F\; я\; F\; j.\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{n\; +\; i\}\; F\_\; \{n\; +\; j\}\; -F\_\; \{n\}\; F\_\; \{n\; +\; i\; +\; j\}\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{n\}\; F\_\; \{i\}\; F\_\; \{j\}.\}$

Формула Кассини была открыта в 1680 году Джованни Доменико Кассини, тогдашним директором Парижской обсерватории, и независимо доказана Робертом Симсоном (1753). Однако Иоганн Кеплер предположительно знал личность уже в 1608 году. Эжен Чарльз Каталан нашел личность, названную в его честь в 1879 году. Британский математик Стивен Вайда (1901–1995) опубликовал книгу по Фибонации. числа (числа Фибоначчи и Люка и Золотое сечение: теория и приложения, 1989), которые содержат личность, носящую его имя. Однако тождество уже было опубликовано в 1960 году Дастаном Эверманом в качестве задачи 1396 в The American Mathematical Monthly.

Можно быстро привести доказательство тождества Кассини (Knuth 1997, стр. 81), распознавая левую часть уравнения как определитель матрицы 2 × 2 чисел Фибоначчи. Результат почти сразу же, когда матрица рассматривается как n-я степень матрицы с определителем −1:

$F\; n\; -\; 1\; F\; n\; +\; 1\; -\; F\; n\; 2\; =\; det\; [F\; n\; +\; 1\; F\; n\; F\; n\; F\; n\; -\; 1]\; =\; det\; [1\; 1\; 1\; 0]\; n\; =\; (det\; [1\; 1\; 1\; 0])\; n\; =\; (-\; 1)\; n.\; \{\backslash \; Displaystyle\; F\_\; \{n-1\}\; F\_\; \{n\; +\; 1\}\; -F\_\; \{n\}\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; det\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; F\_\; \{n\; +\; 1\}\; F\_\; \{n\}\; \backslash \backslash \; F\_\; \{\; n\}\; F\_\; \{n-1\}\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right]\; =\; \backslash \; det\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; 1\; 1\; \backslash \backslash \; 1\; 0\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right]\; ^\; \{n\}\; =\; \backslash \; left\; (\; \backslash \; det\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; 1\; 1\; \backslash \backslash \; 1\; 0\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; right)\; ^\; \{n\}\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{n\}.\}$

1. ^ Томас Коши: числа Фибоначчи и Люка с приложениями. Wiley, 2001, ISBN 9781118031315, стр. 74-75, 83, 88
2. ^Миодраг Петкович: Известные загадки великих математиков. AMS, 2009, ISBN 9780821848142, S. 30-31
3. ^Дуглас Б. Уэст: комбинаторная математика. Cambridge University Press, 2020, стр. 61
4. ^Стивен Ваджа: Числа Фибоначчи и Люка и золотое сечение: теория и приложения. Довер, 2008, ISBN 978-0486462769, стр. 28 (оригинальная публикация 1989 г., Эллис Хорвуд)

• Кнут, Дональд Эрвин (1997), Искусство компьютерного программирования, Том 1: Фундаментальные алгоритмы, Искусство компьютерного программирования, 1(3-е изд.), Рединг, Массачусетс: Addison-Wesley, ISBN 0-201-89683-4

• Simson, R. (1753). «Экспликация неясного отрывка из комментария Альберта Жирара к произведениям Саймона Стевина». Философские труды Лондонского королевского общества. 48(0): 368–376. doi : 10.1098 / rstl.1753.0056.

• Werman, M.; Zeilberger, D. (1986). «Биективное доказательство тождества Фибоначчи Кассини». Дискретная математика. 58(1): 109. doi : 10.1016 / 0012-365X (86) 90194-9. MR 0820846.

• Доказательство Личность Кассини
• Подтверждение каталонской идентичности
• Формула Кассини для чисел Фибоначчи
• Формулы Фибоначчи и Фи