Круг Карлайла

В математике круг Карлайла (названный в честь Томаса Карлайла ) - это некий круг в координатная плоскость, связанная с квадратным уравнением. Круг обладает тем свойством, что решения квадратного уравнения являются горизонтальными координатами пересечений круга с горизонтальной осью. Круги Карлайла использовались для разработки построений с помощью линейки и циркуля из правильных многоугольников.

• 1 Определение
• 2 Определение свойства
• 3 Построение правильных многоугольников
  • 3.1 Правильный пятиугольник
  • 3.2 Правильный гептадекагон
  • 3.3 Правильный 257-угольник
  • 3.4 Правильный 65537-угольник
• 4 История
• 5 Ссылки

Круг Карлайла квадратного уравнения x - sx + p = 0.

Учитывая квадратное уравнение

x - sx + p = 0

окружность в координатной плоскости, имеющая отрезок прямой, соединяющий точки A (0, 1) и B (s, p) в качестве диаметра называется окружностью Карлейля квадратного уравнения.

Определяющее свойство круга Карлайла может быть установлено таким образом: уравнение круга, имеющего отрезок AB в качестве диаметра, равно

x (x - s) + ( y - 1) (y - p) = 0.

Абсциссы точек, где окружность пересекает ось x, являются корнями уравнения (полученного при установке y = 0 в уравнении круга)

x - sx + p = 0.

Построение правильного пятиугольника с использованием кругов Карлайла Построение правильного семиугольника с использованием кругов Карлайла Построение правильного 257-угольника с использованием кругов Карлайла

Правильный пятиугольник

Задача построения правильного пятиугольника эквивалентна задаче построения правильного пятиугольника. корни уравнения

z - 1 = 0.

Один корень этого уравнения равен z 0 = 1, что соответствует точке P 0 (1, 0). Удалив множитель, соответствующий этому корню, остальные корни оказываются корнями уравнения

z + z + z + z + 1 = 0.

Эти корни можно представить в виде ω, ω, ω, ω где ω = exp (2πi / 5). Пусть они соответствуют точкам P 1, P 2, P 3, P 4. Полагая

p1= ω + ω, p 2 = ω + ω

, мы имеем

p1+ p 2 = −1, p 1p2= −1. (Их можно быстро показать, что они верны, путем прямой подстановки в приведенную выше четверку и отмечая, что ω = ω и ω = ω.)

Итак, p 1 и p 2 являются корнями квадратного уравнения

x + x - 1 = 0.

Окружность Карлайла, связанная с этой квадратичной кривой, имеет диаметр с концами в точках (0, 1) и (−1, −1) и центр в (-1/2, 0). Круги Карлайла используются для построения p 1 и p 2. Из определений p 1 и p 2 также следует, что

p1= 2 cos (2π / 5), p 2 = 2 cos (4π /5).

Затем они используются для построения точек P 1, P 2, P 3, P 4.

Эта подробная процедура, включающая Круги Карлайла для построения правильных пятиугольников приведены ниже.

1. Нарисуйте круг, в который вписывается пятиугольник, и отметьте центральную точку O.
2. Нарисуйте горизонтальная линия через центр круга. Отметьте одно пересечение с кругом как точку B.
3. Постройте вертикальную линию через центр. Отметьте одно пересечение с кругом как точку A.
4. Постройте точку M как среднюю точку O и B.
5. Нарисуйте круг с центром в M через точку A. Это круг Карлайла. для x + x - 1 = 0. Отметьте его пересечение с горизонтальной линией (внутри исходного круга) как точку W, а его пересечение вне круга как точку V. Это точки p 1 и p 2 упомянуто выше.
6. Нарисуйте окружность радиуса OA в центре W. Он пересекает исходную окружность в двух вершинах пятиугольника.
7. Нарисуйте окружность радиуса OA и центра V. Она пересекает исходную окружность в двух вершинах пятиугольника.
8. Пятая вершина - это пересечение горизонтальной оси с исходной окружностью.

Правильный семиугольник

Существует аналогичный метод с использованием кругов Карлайла для построения правильных гептадекагонов. Рисунок справа иллюстрирует процедуру.

Правильный 257-угольник

Чтобы построить правильный 257-угольник с использованием кругов Карлайла, необходимо построить до 24 кругов Карлайла. Один из них - круг для решения квадратного уравнения x + x - 64 = 0.

Правильный 65537-угольник

Существует процедура с использованием кругов Карлайла для построения правильного 65537-угольник. Однако есть практические проблемы с выполнением процедуры; например, это требует построения круга Карлайла для решения квадратного уравнения x + x - 2 = 0.

Решение Карлайла проблемы Лесли. Сегмент черной линии разделен на два сегмента таким образом, что два сегмента образуют прямоугольник (зеленый), имеющий равную площадь с другим заданным прямоугольником (красный).

Согласно Говард Ивс (1911) –2004) математик Джон Лесли (1766–1832) описал геометрическое построение корней квадратного уравнения с кругом в своей книге «Элементы геометрии» и отметил, что эту идею дал его бывший ученик Томас Карлайл (1795–1881). Однако, хотя описание в книге Лесли содержит аналогичную конструкцию круга, оно было представлено исключительно в элементарных геометрических терминах без понятия декартовой системы координат или квадратичной функции и ее корней:

Чтобы разделить прямую линию, внутреннюю или внешнюю, так что прямоугольник под его сегментами должен быть эквивалентен данному прямоугольнику.

— Джон Лесли, Elements of Geometry, prop. XVII, стр. 176

В 1867 году австрийский инженер Эдуард Лилль опубликовал графический метод определения корней многочлена (метод Лилля ). Если он применяется к квадратичной функции, то он дает фигуру трапеции из решения Карлайла задачи Лесли (см. Рисунок), одна из сторон которого является диаметром окружности Карлайла. В статье 1925 г. Г. А. Миллер указал, что небольшая модификация метода Лилла, примененная к нормированной квадратичной функции, дает круг, который позволяет геометрическое построение корней этой функции, и дал явное современное определение того, что позже было названо Карлейлем. круг.

Евс использовал круг в современном смысле этого слова в одном из упражнений своей книги «Введение в историю математики» (1953) и указал на связь с Лесли и Карлайлом. В более поздних публикациях начали использовать названия круг Карлайла, метод Карлайла или алгоритм Карлайла, хотя в немецкоязычных странах также используется термин круг Лилля (Lill-Kreis). ДеТемпл использовал в 1989 и 1991 годах круги Карлайла для разработки конструкций с линейкой для правильных многоугольников, в частности пятиугольника, семиугольника, 257-угольник и 65537-угольник. Ладислав Беран описал в 1999 году, как круг Карлайла можно использовать для построения комплексных корней нормированной квадратичной функции.