Парадокс Бореля – Колмогорова

В теории вероятностей, Парадокс Бореля – Колмогорова (иногда известный как парадокс Бореля ) - это парадокс, относящийся к условной вероятности по отношению к событию с нулевой вероятностью (также известный как нулевой набор ). Он назван в честь Эмиля Бореля и Андрея Колмогорова.

• 1 Головоломка в виде большого круга
• 2 Объяснение и значение
• 3 Математическое объяснение
• 4 Ссылки
  • 4.1 Цитаты
  • 4.2 Источники

Предположим, что случайная величина имеет равномерное распределение на единичной сфере. Каково его условное распределение на большом круге ? Из-за симметрии сферы можно было ожидать, что распределение будет равномерным и не зависит от выбора координат. Однако два анализа дают противоречивые результаты. Во-первых, обратите внимание, что выбор точки равномерно на сфере эквивалентен выбору длины $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\}$равномерно из $[-\; \pi ,\; \pi ]\; \{\backslash \; displaystyle\; [-\; \backslash \; pi,\; \backslash \; pi]\}$и выбор широты $\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$из $[-\; \pi \; 2,\; \pi \; 2]\; \{\backslash \; textstyle\; [-\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\}]\}$с плотностью $1\; 2\; cos\; \; \phi \; \{\backslash \; textstyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; varphi\}$. Затем мы можем посмотреть на два разных больших круга:

1. Если координаты выбраны так, что большой круг является экватором (широта $\phi \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; =\; 0\}$), условная плотность для долготы $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\}$, заданная в интервале $[-\; \pi ,\; \pi ]\; \{\backslash \; displaystyle\; [-\; \backslash \; pi,\; \backslash \; pi]\}$равно

   $f\; (\lambda \; \mid \; \phi \; =\; 0)\; =\; 1\; 2\; \pi .\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (\backslash \; lambda\; \backslash \; mid\; \backslash \; varphi\; =\; 0)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\}.\}$

2. Если большой круг представляет собой линию долготы с $\lambda \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; =\; 0\}$, условная плотность для $\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$на интервале $[-\; \pi \; 2,\; \pi \; 2]\; \{\backslash \; textstyle\; [-\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\}]\}$равно

   $f\; (\phi \; \mid \; \lambda \; =\; 0)\; =\; 1\; 2\; cos\; \; \phi .\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (\backslash \; varphi\; \backslash \; mid\; \backslash \; lambda\; =\; 0)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; varphi.\}$

Одно распределение равномерно по окружности, другое - нет. И все же кажется, что оба относятся к одному и тому же большому кругу в разных системах координат.

Многие довольно бесполезные споры между специалистами по теории вероятностей, во всем остальном компетентными, по поводу того, какой из этих результатов является «правильным».

В случае (1) выше условную вероятность того, что долгота λ лежит в множестве E, при условии, что φ = 0, можно записать как P (λ ∈ E | φ = 0). Элементарная теория вероятностей предполагает, что это можно вычислить как P (λ ∈ E и φ = 0) / P (φ = 0), но это выражение не является четко определенным, поскольку P (φ = 0) = 0. Теория меры обеспечивает способ определения условной вероятности с использованием семейства событий R ab = {φ: a < φ < b} which are horizontal rings consisting of all points with latitude between a and b.

Разрешение парадокса состоит в том, чтобы заметить, что в случае (2), P (φ ∈ F | λ = 0) определяется с помощью событий L ab = {λ: a < λ < b}, which are lunes (вертикальные клинья), состоящих из всех точек, долгота которых варьируется от и б. Таким образом, хотя P (λ ∈ E | φ = 0) и P (φ ∈ F | λ = 0) каждый обеспечивает распределение вероятностей на большом круге, одно из них определяется с помощью колец, а другое - с помощью луковиц. Таким образом, неудивительно, что P (λ ∈ E | φ = 0) и P (φ ∈ F | λ = 0) имеют разные распределения.

Понятие условной вероятности применительно к изолированной гипотезе, вероятность которой равна 0, недопустимо. Ведь мы можем получить распределение вероятностей для [широты] на меридиональном круге, только если мы будем рассматривать этот круг как элемент разложения всей сферической поверхности на меридиональные окружности с заданными полюсами

… Термин «большой круг» неоднозначен, пока мы не укажем, какая ограничивающая операция должна его произвести. Аргумент интуитивной симметрии предполагает экваториальный предел; однако один, съев ломтик апельсина, может предполагать другого.

Чтобы понять проблему, нам нужно признать, что распределение непрерывной случайной величины описывается плотностью f только относительно некоторой меры μ. Оба важны для полного описания распределения вероятностей. Или, что то же самое, нам нужно полностью определить пространство, в котором мы хотим определить f.

Пусть Φ и Λ обозначают две случайные величины, принимающие значения в Ω 1 = [−π / 2, π / 2] соответственно, Ω 2 = [−π, π]. Событие {Φ = φ, Λ = λ} дает точку на сфере S (r) радиуса r. Мы определяем преобразование координат

$x\; =\; r\; cos\; \; \phi \; cos\; \; \lambda \; y\; =\; r\; cos\; \; \phi \; sin\; \; \lambda \; z\; =\; r\; sin\; \; \phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; x\; =\; r\; \backslash \; cos\; \backslash \; varphi\; \backslash \; cos\; \backslash \; lambda\; \backslash \backslash \; y\; =\; r\; \backslash \; cos\; \backslash \; varphi\; \backslash \; sin\; \backslash \; lambda\; \backslash \backslash \; z\; =\; r\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi\; \backslash \; end\; \{align\}\}$

, для которого мы получаем элемент объема

$\omega \; r\; (\phi ,\; \lambda )\; =\; |\; |\; \partial \; (x,\; y,\; z)\; \partial \; \phi \; \times \; \partial \; (x,\; y,\; z)\; \partial \; \lambda \; |\; |\; =\; r\; 2\; cos\; \; \phi .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \_\; \{r\}\; (\backslash \; varphi,\; \backslash \; lambda)\; =\; \backslash \; left\; |\; \backslash \; left\; |\; \{\backslash \; partial\; (x,\; y,\; z)\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; \backslash \; varphi\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; partial\; (x,\; y,\; z)\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; \backslash \; lambda\}\; \backslash \; right\; |\; \backslash \; right\; |\; =\; r\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; varphi\; \backslash .\}$

Кроме того, если фиксировано φ или λ, мы получаем элементы объема

$\omega \; r\; (\lambda )\; =\; |\; |\; \partial \; (x,\; y,\; z)\; \partial \; \phi \; |\; |\; =\; r,\; r\; e\; s\; p\; e\; c\; t\; i\; v\; e\; l\; y\; \omega \; r\; (\phi )\; =\; |\; |\; \partial \; (x,\; y,\; z)\; \partial \; \lambda \; |\; |\; =\; r\; cos\; \; \phi .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; omega\; \_\; \{r\}\; (\backslash \; lambda)\; =\; \backslash \; left\; |\; \backslash \; left\; |\; \{\backslash \; partial\; (x,\; y,\; z)\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; \backslash \; varphi\}\; \backslash \; right\; |\; \backslash \; right\; |\; =\; r\; \backslash ,\; \backslash \; quad\; \backslash \; mathrm\; \{соответственно\}\; \backslash \backslash \backslash \; omega\; \_\; \{r\}\; (\backslash \; varphi)\; =\; \backslash \; left\; |\; \backslash \; left\; |\; \{\backslash \; partial\; (x,\; y,\; z)\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; \backslash \; lambda\}\; \backslash \; right\; |\; \backslash \; right\; |\; =\; r\; \backslash \; cos\; \backslash \; varphi\; \backslash .\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Пусть

$\mu \; \Phi ,\; \Lambda \; (d\; \phi ,\; d\; \lambda )\; =\; f\; \Phi ,\; \Lambda \; (\phi ,\; \lambda )\; \omega \; r\; (\; \phi ,\; \lambda )\; d\; \phi \; d\; \lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{\backslash \; Phi,\; \backslash \; Lambda\}\; (d\; \backslash \; varphi,\; d\; \backslash \; lambda)\; =\; f\; \_\; \{\backslash \; Phi,\; \backslash \; Lambda\}\; (\backslash \; varphi,\; \backslash \; lambda)\; \backslash \; omega\; \_\; \{\; r\}\; (\backslash \; varphi,\; \backslash \; lambda)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; varphi\; \backslash ,\; d\; \backslash \; lambda\}$

обозначает совместную меру на $B\; (\Omega \; 1\; \times \; \Omega \; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{B\}\}\; (\; \backslash \; Omega\; \_\; \{1\}\; \backslash \; times\; \backslash \; Omega\; \_\; \{2\})\}$, имеющий плотность $f\; \Phi ,\; \Lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \_\; \{\backslash \; Phi,\; \backslash \; Lambda\}\}$относительно $\omega \; р\; (\phi ,\; \lambda )\; d\; \phi \; d\; \lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \_\; \{r\}\; (\backslash \; varphi,\; \backslash \; lambda)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; varphi\; \backslash ,\; d\; \backslash \; lambda\}$и пусть

$\mu \; \Phi \; (d\; \phi )\; =\; \int \; \lambda \; \in \; \Omega \; 2\; \mu \; \Phi ,\; \Lambda \; (d\; \phi ,\; d\; \lambda ),\; \mu \; \Lambda \; (d\; \lambda )\; =\; \int \; \phi \; \in \; \Omega \; 1\; \mu \; \Phi ,\; \Lambda \; (d\; \phi ,\; d\; \lambda ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; mu\; \_\; \{\backslash \; Phi\}\; (d\; \backslash \; varphi)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; lambda\; \backslash \; in\; \backslash \; Omega\; \_\; \{2\}\}\; \backslash \; mu\; \_\; \{\backslash \; Phi,\; \backslash \; Lambda\}\; (d\; \backslash \; varphi,\; d\; \backslash \; lambda)\; \backslash ,\; \backslash \backslash \backslash \; mu\; \_\; \{\backslash \; Lambda\}\; (d\; \backslash \; lambda)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; varphi\; \backslash \; in\; \backslash \; Omega\; \_\; \{1\}\}\; \backslash \; mu\; \_\; \{\backslash \; Phi,\; \backslash \; Lambda\}\; (d\; \backslash \; varphi,\; d\; \backslash \; lambda)\; \backslash .\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Если мы предположим, что плотность $f\; \Phi ,\; \Lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \_\; \{\backslash \; Phi,\; \backslash \; Lambda\}\}$равномерно, то

$\mu \; \Phi \; \mid \; \Lambda \; (d\; \phi \; \mid \; \lambda )\; =\; \mu \; \Phi ,\; \Lambda \; (d\; \phi ,\; d\; \lambda )\; \mu \; \Lambda \; (d\; \lambda )\; =\; 1\; 2\; r\; \omega \; r\; (\phi )\; d\; \phi ,\; и\; \mu \; \Lambda \; \mid \; \Phi \; (d\; \lambda \; \mid \; \phi )\; =\; \mu \; \Phi ,\; \Lambda \; (d\; \phi ,\; d\; \lambda )\; \mu \; \Phi \; (d\; \phi )\; =\; 1\; 2\; r\; \pi \; \omega \; r\; (\lambda )\; d\; \lambda .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; mu\; \_\; \{\backslash \; Phi\; \backslash \; mid\; \backslash \; Lambda\}\; (d\; \backslash \; varphi\; \backslash \; mid\; \backslash \; lambda)\; =\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{\backslash \; Phi,\; \backslash \; Lambda\}\; (d\; \backslash \; varphi,\; d\; \backslash \; lambda)\; \backslash \; over\; \backslash \; mu\; \_\; \{\backslash \; Lambda\}\; (d\; \backslash \; lambda)\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2r\}\}\; \backslash \; omega\; \_\; \{r\}\; (\backslash \; varphi)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; varphi\; \backslash ,\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{\; и\}\}\; \backslash \backslash \backslash \; mu\; \_\; \{\backslash \; Lambda\; \backslash \; mid\; \backslash \; Phi\}\; (d\; \backslash \; lambda\; \backslash \; mid\; \backslash \; varphi)\; =\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{\backslash \; Phi,\; \backslash \; Lambda\}\; (d\; \backslash \; varphi,\; d\; \backslash \; lambda)\; \backslash \; over\; \backslash \; mu\; \_\; \{\backslash \; Phi\}\; (d\; \backslash \; varphi)\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2r\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; omega\; \_\; \{r\}\; (\backslash \; lambda)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; lambda\; \backslash .\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Следовательно, $\mu \; \Phi \; \mid \; \Lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{\backslash \; Phi\; \backslash \; mid\; \backslash \; Lambda\}\}$имеет однородную плотность относительно $\omega \; r\; (\phi )\; d\; \phi \; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \_\; \{r\}\; (\backslash \; varphi)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; varphi\}$, но не по мере Лебега. С другой стороны, $\mu \; \Lambda \; \mid \; \Phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{\backslash \; Lambda\; \backslash \; mid\; \backslash \; Phi\}\}$имеет однородную плотность относительно $\omega \; r\; (\lambda )\; d\; \lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \_\; \{r\}\; (\backslash \; lambda)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; lambda\}$и мера Лебега.

Цитаты

Источники