Формула трассировки Артура – ​​Сельберга

В математике формула трассировки Артура – ​​Сельберга является обобщением формулы следа Сельберга от группы SL 2 до произвольных редуктивных групп над глобальными полями, разработанной Джеймсом Артуром в длинной серии статей с 1974 по 2003 год. В нем описывается характер представления G (A ) на дискретной части L. 0(G (F) ∖ G (A )) группы L (G (F) ∖ G (A )) в терминах геометрических данных, где G - редуктивная алгебраическая группа, определенная над глобальным полем F и A - кольцо аделей из F.

Существует несколько различных версий формулы следа. Первой версией была неочищенная формула трассировки, члены которой зависят от операторов усечения и имеют тот недостаток, что они не инвариантны. Позже Артур обнаружил формулу инвариантной трассы и формулу стабильной трассировки, которые больше подходят для приложений. Формула простого следа (Flicker Kazhdan 1988) менее общая, но ее легче доказать. Формула локальной трассировки является аналогом локальных полей. Формула относительного следа Жаке является обобщением, в котором функция ядра интегрируется по недиагональным подгруппам.

• 1 Обозначение
• 2 Компактный случай
  • 2.1 Примеры
  • 2.2 Трудности в некомпактном случае
• 3 Формула следа в некомпактном случае
  • 3.1 Распределения
  • 3.2 Геометрические элементы
  • 3.3 Спектральные члены
• 4 Формула инвариантного следа
• 5 Формула стабильного следа
• 6 Простая формула следа
• 7 Приложения
• 8 См. Также
• 9 Ссылки
• 10 Внешние ссылки

• F - это глобальное поле, например, поле рациональных чисел.
• A- кольцо аделей F.
• G - редуктивная алгебраическая группа, определенная над F.

В (редком) случае, когда G (F) ∖ G (A ) компактно, представление разбивается как прямая сумма неприводимых представлений, и формула следа аналогична формуле Фробениуса для характера представления, индуцированного из тривиального представления подгруппы конечного индекса.

В компактном случае, который по существу принадлежит Сельбергу, группы G (F) и G (A ) можно заменить любой дискретной подгруппой Γ локально компактной группы G с компактной Γ \ G. Группа G действует на пространстве функций на Γ ∖ G правым регулярным представлением R, и это продолжается до действия группового кольца группы G, рассматриваемого как кольцо функций f на G. Характер этого представления задан следующим обобщением формулы Фробениуса. Действие функции f на функцию φ на Γ ∖ G задается формулой

$R\; (f)\; (\varphi )\; (x)\; =\; \int \; G\; f\; (y)\; \varphi \; (xy)\; dy\; =\; \int \; \Gamma \; \setminus \; G\; \sum \; \gamma \; \in \; \Gamma \; f\; (x\; -\; 1\; \gamma \; y)\; \varphi \; (y)\; dy.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Displaystyle\; R\; (е)\; (\backslash \; phi)\; (x)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{G\}\; f\; (y)\; \backslash \; phi\; (xy)\; \backslash ,\; dy\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Gamma\; \backslash \; backslash\; G\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{\; \backslash \; gamma\; \backslash \; in\; \backslash \; Gamma\}\; f\; (x\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; gamma\; y)\; \backslash \; phi\; (y)\; \backslash ,\; dy.\}$

Другими словами, R (f) является интегральным оператором на L (Γ ∖ G) (пространство функций на Γ ∖ G) с ядром

$K\; f\; (x,\; y)\; =\; \sum \; \gamma \; \in \; \Gamma \; f\; (x\; -\; 1\; \gamma \; y).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; K\_\; \{f\}\; (x,\; y)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; gamma\; \backslash \; in\; \backslash \; Gamma\}\; f\; (x\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; gamma\; y).\}$

Следовательно, след R ( f) задается формулой

$Tr\; \; (R\; (f))\; =\; \int \; \Gamma \; \setminus \; GK\; f\; (x,\; x)\; dx.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Tr\}\; (R\; (f))\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Gamma\; \backslash \; backslash\; G\}\; K\_\; \{f\}\; (x,\; x)\; \backslash ,\; dx.\}$

Ядро K можно записать как

$К\; е\; (x,\; y)\; =\; \sum \; o\; \in \; OK\; o\; (x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{f\}\; (x,\; y)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{o\; \backslash \; in\; O\}\; K\_\; \{o\}\; (x,\; y)\}$

где O - множество классов сопряженности в Γ, а

$K\; o\; (x,\; y)\; =\; \sum \; \gamma \; \in \; of\; (x\; -\; 1\; \gamma \; y)\; =\; \sum \; \delta \; \in \; \Gamma \; \gamma \; \setminus \; \Gamma \; f\; (Икс\; -\; 1\; \delta \; -\; 1\; \gamma \; \delta \; Y)\; \{\backslash \; Displaystyle\; К\_\; \{о\}\; (х,\; у)\; =\; \backslash \; сумма\; \_\; \{\backslash \; гамма\; \backslash \; ин\; о\}\; е\; (х\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; гамма\; у)\; =\; \backslash \; сумма\; \_\; \{\backslash \; delta\; \backslash \; in\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{\backslash \; gamma\}\; \backslash \; backslash\; \backslash \; Gamma\}\; f\; (x\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; delta\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; gamma\; \backslash \; delta\; y)\}$

где γ - элемент сопряжения класс o, а Γ γ - его централизатор в Γ.

С другой стороны, след также определяется выражением

$Tr\; \; (R\; (f))\; =\; \sum \; \pi \; m\; (\pi )\; Tr\; \; (R\; (f)\; |\; \pi )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Tr\}\; (R\; (f))\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; pi\}\; m\; (\backslash \; pi)\; \backslash \; operatorname\; \{Tr\}\; (R\; (f)\; |\; \backslash \; pi)\}$

где m (π) - кратность неприводимого унитарного представления π группы G в L (Γ ∖ G).

Примеры

• Если Γ и G конечны, формула следа эквивалентна формуле Фробениуса для характера индуцированного представления.
• Если G - группа R действительных чисел и Γ подгруппа Z целых чисел, тогда формула следа становится формулой суммирования Пуассона.

Трудности в некомпактном случае

В большинстве В случаях формулы следа Артура – ​​Сельберга фактор-G (F) ∖ G (A ) не является компактным, что вызывает следующие (тесно связанные) проблемы:

• Представление на L (G ( F) ∖ G (A )) содержит не только дискретные компоненты, но и непрерывные компоненты.
• Ядро больше не интегрируемо по диагонали, и операторы R (f) не являются более длинный класс трассировки.

Артур справился с этими проблемами, усекая ядро ​​в точках возврата таким образом, что усеченное ядро ​​интегрируемо по диагонали. Этот процесс усечения вызывает множество проблем; например, усеченные члены больше не инвариантны относительно спряжения. Продолжая манипулировать терминами, Артур смог создать инвариантную формулу следа, члены которой инвариантны.

Исходная формула следа Сельберга изучала дискретную подгруппу Γ действительной группы Ли G (R ) (обычно SL 2(R)). Группу Ли более высокого ранга удобнее заменить адельной группой G (A ). Одна из причин этого в том, что дискретную группу можно рассматривать как группу точек G (F) для F (глобального) поля, с которым легче работать, чем с дискретными подгруппами групп Ли. Это также упрощает работу с операторами Гекке.

Одна версия формулы следа (Артур 1983) утверждает равенство двух распределений на G (A ):

$o\; \in \; OJ\; o\; T\; =\; \sum \; \chi \; \in \; XJ\; \chi \; T.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{o\; \backslash \; in\; O\}\; J\_\; \{o\}\; ^\; \{T\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; chi\; \backslash \; in\; X\}\; J\; \_\; \{\backslash \; chi\}\; ^\; \{T\}.\}$

Левая часть геометрическая сторона формулы следа, и является суммой по классам эквивалентности в группе рациональных точек G (F) группы G, в то время как правая часть является спектральной стороной формула следа и является суммой по некоторым представлениям подгрупп группы G (A ).

Распределения

Геометрические термины

Спектральные члены

Версия приведенной выше формулы следа не особенно проста для использования на практике, одна из проблем состоит в том, что члены в нем не инвариантны относительно спряжения. Артур (1981) нашел модификацию, в которой термины неизменны.

Формула инвариантного следа утверждает:

$\sum \; M\; |\; W\; 0\; M\; |\; |\; W\; 0\; G\; |\; \sum \; \gamma \; \in \; (M\; (Q))\; a\; M\; (\gamma )\; I\; M\; (\gamma ,\; f)\; =\; \sum \; M\; |\; W\; 0\; M\; |\; |\; W\; 0\; G\; |\; \int \; \Pi \; (M)\; a\; M\; (\pi )\; IM\; (\pi ,\; f)\; d\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{M\}\; \{\backslash \; frac\; \{|\; W\_\; \{0\}\; ^\; \{M\}\; |\}\; \{|\; W\_\; \{0\}\; ^\; \{\; G\}\; |\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; gamma\; \backslash \; in\; (M\; (Q))\}\; a\; ^\; \{M\}\; (\backslash \; gamma)\; I\_\; \{M\}\; (\backslash \; gamma,\; f)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{M\}\; \{\backslash \; frac\; \{\; |\; W\_\; \{0\}\; ^\; \{M\}\; |\}\; \{|\; W\_\; \{0\}\; ^\; \{G\}\; |\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Pi\; (M)\}\; a\; ^\; \{M\}\; (\backslash \; pi)\; I\_\; \{M\}\; (\backslash \; pi,\; f)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; pi\}$

где

• f - пробная функция на G (A)
• M пробегает конечный набор рациональных подгрупп Леви группы G
• (M (Q )) - множество классов сопряженности M (Q)
• Π (M) - множество неприводимых унитарных представлений M (A)
• a (γ) связано с объемом M (Q, γ) \ M (A, γ)
• a (π) связано с кратностью неприводимого представления π в L (M (Q ) \ M (A))
• $IM\; (\gamma ,\; f)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; I\_\; \{M\}\; (\backslash \; gamma,\; f)\}$относится к $\int \; M\; (A,\; \gamma )\; \setminus \; M\; (A)\; е\; (Икс\; -\; 1\; \gamma \; Икс)\; dx\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{M\; (A,\; \backslash \; gamma)\; \backslash \; обратная\; косая\; черта\; M\; (A)\}\; f\; (x\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; gamma\; x)\; \backslash ,\; dx\}$
• $IM\; (\pi ,\; f)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; I\_\; \{M\}\; (\backslash \; pi,\; f)\}$относится к следу $\int \; M\; (A)\; f\; (x)\; \pi \; (x)\; dx\; \{\backslash \; disp\; laystyle\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{M\; (A)\}\; f\; (x)\; \backslash \; pi\; (x)\; \backslash ,\; dx\}$
• W0(M) - это группа Вейля M.

Лэнглендс (1983) предположил возможность стабильного уточнения формулы следа, который можно использовать для сравнения формулы следа для двух разных групп. Такая стабильная формула следа была найдена и доказана Артуром (2002).

Два элемента группы G (F ) называются стабильно сопряженными, если они сопряжены над алгебраическое замыкание поля F . Дело в том, что при сравнении элементов в двух разных группах, связанных, например, внутренним скручиванием, обычно не получается хорошее соответствие между классами сопряженности, а только между классами стабильной сопряженности. Итак, чтобы сравнить геометрические члены в формулах следов для двух разных групп, хотелось бы, чтобы члены не только были инвариантными относительно сопряженности, но также хорошо себя вели на стабильных классах сопряженности; они называются стабильными распределениями .

Формула стабильного следа записывает члены в формуле следа группы G в терминах стабильных распределений. Однако эти стабильные распределения не являются распределениями на группе G, а являются распределениями на семействе квазиразлитных групп, называемых эндоскопическими группами группы G. Нестабильные орбитальные интегралы на группе G соответствуют стабильным орбитальным интегралам на ее эндоскопических группах. H.

Существует несколько простых форм формулы следа, которые каким-то образом ограничивают тестовые функции f с компактным носителем (Flicker Kazhdan 1988). Преимущество этого состоит в том, что формула следа и ее доказательство становятся намного проще, а недостатком является то, что полученная формула менее эффективна.

Например, если функции f являются каспидальными, это означает, что

$\int \; n\; \in \; N\; (A)\; f\; (xny)\; dn\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{n\; \backslash \; in\; N\; (A)\; \}\; f\; (xny)\; \backslash ,\; dn\; =\; 0\}$

для любого унипотентного радикала N собственной параболической подгруппы (определенной над F) и любых x, y в G (A ), то оператор R (f) имеет образ в пространстве параболических форм, поэтому является компактным.

Jacquet Langlands (1970) использовали формулу следа Сельберга для доказательства соответствия Жаке – Ленглендса между автоморфными формами на GL 2 и его закрученные формы. Формула следа Артура – ​​Сельберга может быть использована для изучения подобных соответствий в группах более высокого ранга. Его также можно использовать для доказательства нескольких других частных случаев функториальности Ленглендса, таких как замена базы, для некоторых групп.

Коттвиц (1988) использовал формулу следа Артура-Сельберга для доказательства гипотезы Вейля о числах Тамагавы.

Лаффорг (2002) описал, как формула следа используется в его доказательстве Гипотеза Ленглендса для общих линейных групп над функциональными полями.

• Форма волны Маасса
• Гармоническая форма Маасса

• Артур, Джеймс (1981), «Формула следа в инвариантной форме», Анналы математики, Вторая серия, 114 (1): 1–74, doi : 10.2307 / 1971376, JSTOR 1971376, MR 0625344
• Артур, Джеймс (1983), «Формула следов для редуктивных групп» (PDF), Конференция по автоморфной теории (Дижон, 1981), Publ. Математика. Univ. Париж VII, 15, Париж: Univ. Париж VII, стр. 1–41, CiteSeerX 10.1.1.207.4897, doi : 10.1007 / 978-1-4684-6730-7_1, ISBN 978-0-8176-3135-2, MR 0723181
• Артур, Джеймс (2002), «Формула стабильного следа. I. Общие расширения " (PDF), журнал Института математики Жасси. ДЖИМДЖ. Journal de l'Institute de Mathématiques de Jussieu, 1 (2): 175–277, doi : 10.1017 / S1474-748002000051, MR 1954821, в архиве из оригинала (PDF) от 2008-05-09
• Артур, Джеймс (2005), «Введение в формулу следа» (PDF), Гармонический анализ, формула следа и разновидности Шимура, Clay Math. Proc., 4, Providence, RI: American Mathematical Society, pp. 1–263, MR 2192011, заархивировано с оригинала ( PDF) 09.05.2008
• Flicker, Yuval Z.; Каждан, Дэвид А. (1988), «Простая формула следа», Journal d'Analyse Mathématique, 50 : 189–200, doi : 10.1007 / BF02796122
• Гелбарт, Стивен (1996), Лекции по формуле следа Артура-Сельберга, Университетская серия лекций, 9, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, arXiv : math.RT / 9505206, doi : 10.1090 / ulect / 009, ISBN 978-0-8218-0571-8, MR 1410260
• Jacquet, H.; Ланглендс, Роберт П. (1970), Автоморфные формы на GL (2), Lecture Notes in Mathematics, Vol. 114, 114, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / BFb0058988, ISBN 978-3-540-04903-6, MR 0401654
• Конно, Такуя (2000), «Обзор формулы следа Артура-Сельберга» (PDF), Surikaisekikenkyusho Kõkyuroku ( 1173): 243–288, MR 1840082
• Коттвиц, Роберт Э. (1988), «Числа Тамагавы», Ann. of Math., 2, 127 (3): 629–646, doi : 10.2307 / 2007007, JSTOR 2007007, MR 0942522
• Лабесс, Жан-Пьер (1986), "La formule des traces d'Arthur-Selberg", Astérisque (133): 73–88, MR 0837215
• Ленглендс, Роберт П. ( 2001), «Формула следа и ее приложения: введение в работу Джеймса Артура», Canadian Mathematical Bulletin, 44(2): 160–209, doi : 10.4153 / CMB-2001-020-8, ISSN 0008-4395, MR 1827854
• Лаффорг, Лоран (2002), "Chtoucas de Drinfeld, formule des traces d'Arthur-Selberg et correance de Langlands ", Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I (Пекин, 2002), Пекин: Высшее изд. Press, pp. 383–400, MR 1989194
• Langlands, Robert P. (1983), Les débuts d'une formule des traces stable, Publications Mathématiques de l'Université Paris VII [Mathematical Публикации Парижского университета VII], 13, Париж: Université de Paris VII UER. de Mathématiques, MR 0697567
• Langlands, Robert P. (2001), «Формула следа и ее приложения: введение в работу Джеймса Артура», Canadian Mathematical Bulletin, 44(2): 160–209, doi : 10.4153 / CMB-2001-020-8, MR 1827854, заархивировано с оригинала 11 июня 2008 г., получено 27 ноября 2008 г.
• Шокранян, Салаходдин (1992), Формула следа Сельберга-Артура, Лекционные заметки по математике, 1503, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / BFb0092305, ISBN 978-3-540-55021-1, MR 1176101

• Работы Джеймса Артура в Институте Клея
• Архив собраний сочинений Джеймса Артура на факультете математики Университета Торонто