Дополнительная статистика

дополнительная статистика - это показатель из выборки, которой ция не зависит от параметров модели. Вспомогательная статистика - это основная величина, которая также является статистикой. Дополнительная статистика может использоваться для построения интервалов прогноза.

Эта концепция была введена статистическим генетиком сэром Рональдом Фишером.

• 1 Пример
• 2 Вспомогательное дополнение
  • 2.1 Пример
• 3 См. Также
• 4 Примечания

Предположим, что X 1,..., X n являются независимыми и одинаково распределенными, и нормально распределены с неизвестным ожидаемым значением μ и известной дисперсией 1. Пусть

$X\; ¯\; n\; =\; X\; 1\; +\; \cdots \; +\; X\; nn\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{X\}\}\; \_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{X\_\; \{1\}\; +\; \backslash ,\; \backslash \; cdots\; \backslash ,\; +\; X\_\; \{n\}\; \}\; \{n\}\}\}$

быть средним по выборке.

Следующие статистические меры дисперсии выборки

• Диапазон : max (X 1,..., X n) - мин (X 1,..., X n)
• Межквартильный интервал : Q 3 - Q 1
• Выборка дисперсия :

$\sigma \; ^\; 2:\; =\; \sum \; (X\; i\; -\; X\; ¯)\; 2\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; sigma\}\}\; ^\; \{2\}:\; =\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sum\; \backslash \; left\; (X\_\; \{i\; \}\; -\; \{\backslash \; overline\; \{X\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\; \{n\}\}\}$

- это все вспомогательные статистические данные, поскольку их распределения выборки не меняются при изменении μ. С вычислительной точки зрения это происходит потому, что в формулах члены μ отменяют - добавление постоянного числа к распределению (и всем выборкам) изменяет его максимум и минимум выборки на одну и ту же величину, поэтому это не меняет их разницы, как и для других: эти меры дисперсии не зависят от местоположения.

И наоборот, для нормальных переменных iid с известным средним значением 1 и неизвестной дисперсией σ, выборочное среднее $X\; ¯\; \{\backslash \; display\; style\; \{\backslash \; overline\; \{X\}\}\}$не является вспомогательной статистикой дисперсии, так как выборочное распределение выборочного среднего равно N (1, σ / n), которое зависит от σ - этой меры местоположения (в частности, его стандартная ошибка ) зависит от дисперсии.

Учитывая статистику T, которая не достаточна, вспомогательное дополнение - это статистика U, которая является вспомогательной и такая, что (T, U) достаточно. Интуитивно понятно, что вспомогательное дополнение «добавляет недостающую информацию» (без дублирования).

Статистика особенно полезна, если взять T как оценку максимального правдоподобия, чего в общем случае недостаточно; тогда можно попросить вспомогательное дополнение. В этом случае Фишер утверждает, что для определения информационного содержания необходимо условие о дополнительном дополнении: следует рассматривать содержание информации Фишера для T не как маргинальное значение T, а как условное распределение T, заданное U: сколько информации добавляет T? Это невозможно в общем случае, поскольку не существует необходимости во вспомогательном дополнении, а если он существует, он не обязательно должен быть уникальным, и не существует максимального дополнительного дополнения.

Пример

В бейсбол предположим, что разведчик наблюдает за отбивающим в N бит-битах. Предположим (нереально), что число N выбрано каким-то случайным процессом, который не зависит от способностей отбивающего - скажем, после каждого бита бросается монета, и результат определяет, останется ли разведчик наблюдать за следующий на летучей мыши. Возможные данные - это количество N летучих мышей и количество X попаданий: данные (X, N) являются достаточной статистикой. Наблюдаемое среднее значение X / N не может передать всю информацию, доступную в данных, потому что оно не может сообщить количество N летучих мышей (например, среднее значение 0,400, что составляет очень высокий, основанный только на пяти битах, не внушает такой уверенности в способностях игрока, как среднее значение 0,400, основанное на 100 битах). Число ат-летучих мышей N является вспомогательной статистикой, потому что

• это часть наблюдаемых данных (это статистика), а
• его распределение вероятностей не зависит от способности бьющего, поскольку оно был выбран случайным образом, независимо от способности тестирующего.

Эта дополнительная статистика является дополнительным дополнением к наблюдаемому среднему значению X / N, т. е. среднее значение X / N не является достаточная статистика, в том смысле, что она передает меньше всей релевантной информации в данных, но в сочетании с N становится достаточной.

• Теорема Басу
• Интервал прогноза
• Семейство групп
• Принцип условности