Теорема Басу

редактировать

В статистике, теорема Баса утверждает, что любая ограниченно полная минимальная достаточная статистика является независимой от любой вспомогательной статистики. Это результат Дебабрата Басу 1955 года.

Его часто используют в статистике как инструмент для доказательства независимости двух статистик, сначала демонстрируя, что одна из них является полной, а другая - вспомогательной, а затем апеллируют к теореме. Примером этого является демонстрация того, что выборочное среднее и выборочная дисперсия нормального распределения являются независимой статистикой, что показано в разделе « Пример » ниже. Это свойство (независимость выборочного среднего и выборочной дисперсии) характеризует нормальные распределения.

Содержание

1 Заявление
- 1.1 Доказательство
2 Пример
- 2.1 Независимость выборочного среднего и выборочной дисперсии нормального распределения (известная дисперсия)
3 Примечания
4 ссылки

утверждение

Позвольте быть семейство распределений на измеримом пространстве и измеримых отображениях из в некоторое измеримое пространство. (Такие карты называются статистикой. ) Если - ограниченно полная достаточная статистика для, и является вспомогательной для, то не зависит от. ${\ Displaystyle (P _ {\ theta}; \ theta \ in \ Theta)}$ ${\ Displaystyle (P _ {\ theta}; \ theta \ in \ Theta)}$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}})}$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}})}$ ${\ displaystyle T, A}$ ${\ displaystyle T, A}$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}})}$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}})}$ ${\ displaystyle (Y, {\ mathcal {B}})}$ ${\ displaystyle (Y, {\ mathcal {B}})}$ ${\ displaystyle T}$ $Т$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ ${\ displaystyle A}$ $А$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ ${\ displaystyle T}$ $Т$ ${\ displaystyle A}$ $А$

Доказательство

Пусть и быть маргинальные распределения по и соответственно. ${\ Displaystyle P _ {\ theta} ^ {T}}$ ${\ Displaystyle P _ {\ theta} ^ {T}}$ ${\ displaystyle P _ {\ theta} ^ {A}}$ ${\ displaystyle P _ {\ theta} ^ {A}}$ ${\ displaystyle T}$ $Т$ ${\ displaystyle A}$ $А$

Обозначим в прообраза множества при отображении. Для любого измеримого множества имеем ${\ Displaystyle А ^ {- 1} (В)}$ ${\ Displaystyle А ^ {- 1} (В)}$ ${\ displaystyle B}$ $B$ ${\ displaystyle A}$ $А$ ${\ displaystyle B \ in {\ mathcal {B}}}$ $B \ in {\ mathcal {B}}$

{\ Displaystyle P _ {\ theta} ^ {A} (B) = P _ {\ theta} (A ^ {- 1} (B)) = \ int _ {Y} P _ {\ theta} (A ^ {- 1 } (B) \ mid T = t) \ P _ {\ theta} ^ {T} (dt).}

{\ Displaystyle P _ {\ theta} ^ {A} (B) = P _ {\ theta} (A ^ {- 1} (B)) = \ int _ {Y} P _ {\ theta} (A ^ {- 1 } (B) \ mid T = t) \ P _ {\ theta} ^ {T} (dt).}

Распределение не зависит от того, потому что является вспомогательным. Точно так же не зависит от, потому что достаточно. Следовательно ${\ displaystyle P _ {\ theta} ^ {A}}$ ${\ displaystyle P _ {\ theta} ^ {A}}$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ ${\ displaystyle A}$ $А$ ${\ Displaystyle P _ {\ theta} (\ cdot \ mid T = t)}$ ${\ Displaystyle P _ {\ theta} (\ cdot \ mid T = t)}$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ ${\ displaystyle T}$ $Т$

{\ Displaystyle \ int _ {Y} {\ big [} P (A ^ {- 1} (B) \ mid T = t) -P ^ {A} (B) {\ big]} \ P _ {\ theta } ^ {T} (dt) = 0.}

{\ Displaystyle \ int _ {Y} {\ big [} P (A ^ {- 1} (B) \ mid T = t) -P ^ {A} (B) {\ big]} \ P _ {\ theta } ^ {T} (dt) = 0.}

Обратите внимание, что подынтегральное выражение (функция внутри интеграла) является функцией, а не. Следовательно, поскольку функция ограниченно полная, ${\ displaystyle t}$ $т$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ ${\ displaystyle T}$ $Т$

{\ Displaystyle г (T) = P (A ^ {- 1} (B) \ mid T = t) -P ^ {A} (B)}

{\ Displaystyle г (T) = P (A ^ {- 1} (B) \ mid T = t) -P ^ {A} (B)}

равен нулю почти для всех значений и, следовательно, ${\ Displaystyle P _ {\ theta} ^ {T}}$ ${\ Displaystyle P _ {\ theta} ^ {T}}$ ${\ displaystyle t}$ $т$

{\ Displaystyle P (A ^ {- 1} (B) \ mid T = t) = P ^ {A} (B)}

{\ Displaystyle P (A ^ {- 1} (B) \ mid T = t) = P ^ {A} (B)}

почти для всех. Следовательно, не зависит от. ${\ displaystyle t}$ $т$ ${\ displaystyle A}$ $А$ ${\ displaystyle T}$ $Т$

пример

Независимость выборочного среднего и выборочной дисперсии нормального распределения (известная дисперсия)

Пусть X 1, X 2,..., X n - независимые, одинаково распределенные нормальные случайные величины со средним значением μ и дисперсией σ ².

Тогда по параметру μ можно показать, что

{\ displaystyle {\ widehat {\ mu}} = {\ frac {\ sum X_ {i}} {n}},}

{\ displaystyle {\ widehat {\ mu}} = {\ frac {\ sum X_ {i}} {n}},}

выборочное среднее - это полная достаточная статистика - это вся информация, которую можно получить для оценки μ, и не более того - и

{\ displaystyle {\ widehat {\ sigma}} ^ {2} = {\ frac {\ sum \ left (X_ {i} - {\ bar {X}} \ right) ^ {2}} {n-1} },}

{\ displaystyle {\ widehat {\ sigma}} ^ {2} = {\ frac {\ sum \ left (X_ {i} - {\ bar {X}} \ right) ^ {2}} {n-1} },}

дисперсия выборки является вспомогательной статистикой - ее распределение не зависит от μ.

Следовательно, из теоремы Басу следует независимость этих статистик.

Этот результат о независимости также может быть доказан теоремой Кохрана.

Кроме того, это свойство (независимость выборочного среднего и выборочной дисперсии нормального распределения) характеризует нормальное распределение - ни одно другое распределение не обладает этим свойством.

Ноты

Ссылки

Басу, Д. (1955). «О статистике, не зависящей от полной достаточной статистики». Санкхья. 15 (4): 377–380. JSTOR 25048259. Руководство по ремонту 0074745. Zbl 0068.13401.
Мухопадхьяй, Нитис (2000). Вероятность и статистический вывод. Статистика: серия учебников и монографий. 162. Флорида: CRC Press USA. ISBN 0-8247-0379-0.
Боос, Деннис Д.; Оливер, Жаклин М. Хьюз (август 1998 г.). «Приложения теоремы Басу». Американский статистик. 52 (3): 218–221. DOI : 10.2307 / 2685927. JSTOR 2685927. Руководство по ремонту 1650407.
Гош, малайский (октябрь 2002 г.). «Теорема Басу с приложениями: персоналистический обзор». Санкхья: Индийский журнал статистики, Series A. 64 (3): 509–531. JSTOR 25051412. MR 1985397.