Допустимый набор

редактировать

В финансовой математике приемлемый набор- это набор приемлемых будущих чистых активов, приемлемых для регулирующего органа. Это связано с мерами риска.

Содержание

1 Математическое определение
- 1.1 Скалярный случай
- 1.2 Установленный случай
2 Отношение к мерам риска
- 2.1 Мера риска к множеству приемлемости
- 2.2 Принятие, установленное для меры риска
3 Примеры
- 3.1 Цена суперхеджирования
- 3.2 Энтропийная мера риска
4 Ссылки

Математическое определение

Учитывая пространство вероятностей $(Ω, F, P) {\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ mathbb {P})}$ $(\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ mathbb {P})$ , и пусть $L p = L p (Ω, F , P) {\ displaystyle L ^ {p} = L ^ {p} (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ mathbb {P})}$ ${\ displaystyle L ^ {p} = L ^ {p} (\ Омега, {\ mathcal {F}}, \ mathbb {P})}$ быть пробелом Lp в скалярном случае и $L dp = L dp (Ω, F, P) {\ displaystyle L_ {d} ^ {p} = L_ {d} ^ {p} (\ Omega, {\ mathcal { F}}, \ mathbb {P})}$ ${\ displaystyle L_ {d} ^ {p} = L_ {d} ^ {p} (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ mathbb {P})}$ в d-измерениях, тогда мы можем определить приемочные наборы, как показано ниже.

Скалярный регистр

Приемочный набор - это набор $A {\ displaystyle A}$ $A$ , удовлетворяющий:

$A ⊇ L + p {\ displaystyle A \ supseteq L _ {+} ^ {p}}$ ${\ displaystyle A \ supseteq L _ {+} ^ {p}}$
$A ∩ L - - p = ∅ {\ displaystyle A \ cap L _ {-} ^ {p} = \ emptyset}$ ${\ displaystyle A \ cap L _ {- } ^ {p} = \ emptyset}$ такой, что $L - - п знак равно {X ∈ L p: ∀ ω ∈ Ω, X (ω) < 0 } {\displaystyle L_{--}^{p}=\{X\in L^{p}:\forall \omega \in \Omega ,X(\omega )<0\}}$ ${\ displaystyle L _ {-} ^ {p} = \ { X \ in L ^ {p}: \ forall \ omega \ in \ Omega, X (\ omega) <0 \}}$
$A ∩ L - p = {0} {\ displaystyle A \ cap L _ {-} ^ {p} = \ { 0 \}}$ ${\ displaystyle A \ cap L _ {-} ^ {p} = \ {0 \}}$
Кроме того, если A {\ displaystyle A}является выпуклым, тогда это выпуклый приемочный набор
1. И если $A {\ displaystyle A}$ $A$ является положительно однородным конусом, тогда это когерентный приемочный набор

Случай с множеством значений

An набор принятия (в пространстве с $d {\ displaystyle d}$ $d$ активами) представляет собой набор $A ⊆ L dp {\ displaystyle A \ substeq L_ {d} ^ {p}}$ ${ \ displaystyle A \ substeq L_ {d} ^ {p}}$ удовлетворяет:

$u ∈ KM ⇒ u 1 ∈ A {\ displaystyle u \ in K_ {M} \ Rightarrow u1 \ in A}$ ${\ displaystyle u \ in K_ {M} \ Rightarrow u1 \ in A}$ с $1 {\ displaystyle 1 }$ $1$ обозначает случайную величину, которая постоянно 1 $P {\ displaystyle \ mathbb {P}}$ $\ mathbb {P}$ -as
$u ∈ - int KM ⇒ u 1 ∉ A {\ displaystyle u \ in - \ mathrm {int} K_ {M} \ Rightarrow u1 \ not \ in A}$ ${\ displaysty le u \ in - \ mathrm {int} K_ {M} \ Rightarrow u1 \ not \ in A}$
$A {\ displaystyle A}$ $A$ находится в $M {\ displaystyle M}$ $M$ с $A + u 1 ⊆ A ∀ u ∈ KM {\ displaystyle A + u1 \ substeq A \; \ forall u \ in K_ {M}}$ ${\ displaystyle A + u1 \ substeq A \; \ forall u \ in K_ {M}}$
$A + L dp (K) ⊆ A {\ displaystyle A + L_ {d} ^ {p} (K) \ substeq A}$ ${\ displaystyle A + L_ {d} ^ {p} (K) \ substeq A}$

Кроме того, если $A {\ displaystyle A}$ $A$ является выпуклым (выпуклый конус ), тогда он называется выпуклым (когерентным) приемочным множеством.

Обратите внимание, что $KM = K ∩ M {\ displaystyle K_ {M} = K \ cap M}$ $K_M = K \ cap M$ , где $K {\ displaystyle K}$ $K$ - постоянный, конус платежеспособности и $M {\ displaystyle M}$ $M$ - это набор портфелей эталонных активов $m {\ displaystyle m}$ $m$ .

Связь с мерами риска

Приемочное множество является выпуклым (когерентным) тогда и только тогда, когда соответствующая мера риска является выпуклой (когерентной). Как определено ниже, можно показать, что $RAR (X) = R (X) {\ displaystyle R_ {A_ {R}} (X) = R (X)}$ $R _ {{ A_ {R}}} (X) = R (X)$ и $ARA = A {\ displaystyle A_ {R_ {A}} = A}$ $A _ {{R_ {A}}} = A$ .

Набор показателей риска для принятия

Если $ρ {\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ является (скалярным) показателем риска тогда $A ρ = {X ∈ L p: ρ (X) ≤ 0} {\ displaystyle A _ {\ rho} = \ {X \ in L ^ {p}: \ rho (X) \ leq 0 \} }$ $A _ {{\ rho}} = \ {X \ in L ^ {p}: \ rho (X) \ leq 0 \}$ - приемлемый набор.
Если $R {\ displaystyle R}$ $R$ является оценочной мерой риска, то $AR = {X ∈ L dp: 0 ∈ R (X)} {\ displaystyle A_ {R} = \ {X \ in L_ {d} ^ {p}: 0 \ in R (X) \}}$ $A_ {R} = \ {X \ in L_ {d} ^ {p}: 0 \ in R (X) \}$ является набор приемки.

Приемка установлена для меры риска

Если $A {\ displaystyle A}$ $A$ является приемочным набором (в 1-d), то $ρ A (X) = inf {u ∈ R: Икс + u 1 ∈ A} {\ displaystyle \ rho _ {A} (X) = \ inf \ {u \ in \ mathbb {R}: X + u1 \ in A \}}$ $\ rho _ { A} (X) = \ inf \ {u \ in {\ mathbb {R}}: X + u1 \ in A \}$ определяет (скалярную) меру риска.
Если $A {\ displaystyle A}$ $A$ является приемлемым набором, то $RA (X) = {u ∈ M: Икс + U 1 ∈ A} {\ Displaystyle R_ {A} (X) = \ {u \ in M: X + u1 \ in A \}}$ $R_ {A} (X) = \ {u \ in M: X + u1 \ in A \}$ - это установленная мера риска.

Примеры

Цена суперхеджирования

Набор приемлемости, связанный с ценой суперхеджирования, является отрицательным из набора значений самофинансируемого портфеля в конечное время. То есть

A = {- VT: (V t) t = 0 T - цена самофинансируемого портфеля в каждый момент времени} {\ displaystyle A = \ {- V_ {T} :( V_ {t} ) _ {t = 0} ^ {T} {\ text {- цена самофинансируемого портфеля в каждый момент времени}} \}}

A = \ {- V_T: (V_t) _ {t = 0} ^ T \ text {- цена самофинансируемого портфеля в каждый момент времени} \}

Показатель энтропийного риска

Набор приемлемости, связанный с мера энтропийного риска - это набор выплат с положительной ожидаемой полезностью. То есть

A = {X ∈ L p (F): E [u (X)] ≥ 0} = {X ∈ L p (F): E [e - θ X] ≤ 1} {\ displaystyle A = \ {X \ in L ^ {p} ({\ mathcal {F}}): E [u (X)] \ geq 0 \} = \ {X \ in L ^ {p} ({\ mathcal {F }}): E \ left [e ^ {- \ theta X} \ right] \ leq 1 \}}

A = \ {X \ in L ^ {p} ({\ mathcal {F}}): E [u (X)] \ geq 0 \} = \ {X \ in L ^ {p} ({\ mathcal {F}}): E \ left [e ^ {{- \ theta X}} \ right] \ leq 1 \}

где $u (X) {\ displaystyle u (X)}$ $u (X)$ - это функция экспоненциальной полезности.

Ссылки