Абсолютно несводимый

В математике, многомерный многочлен, определенный над рациональными числами является абсолютно неприводимым, если он неприводимым над комплексным полем. Например, $x\; 2\; +\; y\; 2-1\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\; -1\}$абсолютно несократим, но в то время как $x\; 2\; +\; y\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\}$не сводится к целым и действительным числам, он сводится к комплексным числам как $x\; 2\; +\; y\; 2\; =\; (x\; +\; iy)\; (x\; -\; iy),\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\; =\; (x\; +\; iy)\; (x-iy),\}$и, следовательно, не является абсолютно неприводимым.

В более общем смысле, многочлен, определенный над полем K, является абсолютно неприводимым, если он неприводим над любым алгебраическим расширением K, и аффинное алгебраическое множество, определяемое уравнениями с коэффициентами в поле K абсолютно неприводимо, если оно не является объединением двух алгебраических множеств, определенных уравнениями в алгебраически замкнутом расширении поля K. Другими словами, абсолютно неприводимое алгебраическое множество является синонимом алгебраического многообразия, что подчеркивает, что коэффициенты определяющих уравнений могут не принадлежать алгебраически замкнутому полю.

Абсолютно неприводимыйтакже применяется с тем же смыслом к ​​линейным представлениям алгебраических групп.

Во всех случаях быть абсолютно неприводимым - это то же самое, что быть неприводимым над алгебраическое замыкание основного поля.

• Одномерный многочлен степени больше или равной 2 никогда не бывает абсолютно неприводимым из-за фундаментальной теоремы алгебры.
• Неприводимое двумерное представление симметричной группа S3порядка 6, первоначально определенная над полем рациональных чисел, абсолютно неприводима.
• Представление группы окружностей вращениями в плоскости неприводимо (над полем действительных чисел), но не является абсолютно неприводимым. После расширения поля до комплексных чисел оно разделяется на две неприводимые компоненты. Этого и следовало ожидать, поскольку круговая группа коммутативна и известно, что все неприводимые представления коммутативных групп над алгебраически замкнутым полем одномерны.
• Определенное вещественное алгебраическое многообразие по уравнению

$x\; 2\; +\; y\; 2\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\; =\; 1\}$

абсолютно неприводимо. Это обычная окружность над действительными числами и остается несократимым коническим сечением над полем комплексных чисел. Абсолютная неприводимость в более общем случае имеет место над любым полем, отличным от характеристики два. Во второй характеристике уравнение эквивалентно (x + y −1) = 0. Следовательно, оно определяет двойную линию x + y = 1, которая представляет собой нередуцированную схему.

• Алгебраическое разнообразие, заданное уравнением

$x\; 2\; +\; y\; 2\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\; =\; 0\}$

, не является абсолютно неприводимым. Действительно, левую часть можно разложить на множители как

$x\; 2\; +\; y\; 2\; =\; (x\; +\; yi)\; (x\; -\; yi),\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\; =\; (x\; +\; yi)\; (x-yi),\}$где $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$- квадратный корень из -1.

Следовательно, это алгебраическое многообразие состоит из двух пересекающихся прямых в происхождении и не является абсолютно несводимым. Это выполняется либо уже над основным полем, если -1 является квадратом, либо над квадратичным расширением, полученным присоединением i.