Теорема ATS

редактировать

В математике теорема ATS- это теорема о apпроксимации tригонометрического sum более коротким. Применение теоремы ATS в некоторых задачах математической и теоретической физики может быть очень полезным.

Содержание

1 История проблемы
2 Некоторые обозначения
3 Теорема ATS
4 Лемма Ван дер Корпута
5 Замечание
6 Примечания

История проблемы

В некоторых областях математики и математической физики изучаются суммы вида

S = ∑ a < k ≤ b φ ( k ) e 2 π i f ( k ) ( 1 ) {\displaystyle S=\sum _{a

{\ displaystyle S = \ sum _ {a <k \ leq b} \ varphi (k) e ^ {2 \ pi if ( k)} \ qquad (1)}

Здесь $φ (x) {\ displaystyle \ varphi (x)}$ $\ varphi (x)$ и $f (x) {\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ являются вещественными функциями действительного аргумент и $i 2 = - 1. {\ displaystyle i ^ {2} = -1.}$ $i ^ 2 = - 1.$ Такие суммы появляются, например, в теории чисел при анализе дзета-функции Римана, при решении задач, связанных с целыми точками в областях на плоскости и в пространстве, при исследовании ряда Фурье и при решении таких дифференциальных уравнений, как волновое уравнение, уравнение потенциала, уравнение теплопроводности.

Проблема аппроксимации ряда (1) подходящей функцией изучалась уже Эйлером и Пуассоном.

. Определим длину суммы $S {\ displaystyle S}$ $S$ быть числом $b - a {\ displaystyle ba}$ $ba$ (для целых чисел $a {\ displaystyle a}$ $a$ и $b, {\ displaystyle b,}$ $b,$ это количество слагаемых в $S {\ displaystyle S}$ $S$ ).

При определенных условиях на $φ (x) {\ displaystyle \ varphi (x)}$ $\ varphi (x)$ и $f (x) {\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ сумма $S {\ displaystyle S}$ $S$ может быть с хорошей точностью заменена другой суммой $S 1, {\ displaystyle S_ {1},}$ $S_1,$

S 1 = ∑ α < k ≤ β Φ ( k ) e 2 π i F ( k ) , ( 2 ) {\displaystyle S_{1}=\sum _{\alpha

S_1 = \ сумма _ {\ альфа <к \ ле \ бета} \ Phi (k) e ^ {2 \ pi i F (k)}, \ \ \ (2)

, где длина $β - α {\ displaystyle \ beta - \ alpha}$ $\ beta - \ alpha$ намного меньше, чем $b - a. {\ displaystyle ba.}$ $ba.$

Первые отношения формы

S = S 1 + R, (3) {\ displaystyle S = S_ {1} + R, \ qquad (3)}

{\ displaystyle S = S_ {1} + R, \ qquad (3 )}

где $S, {\ displaystyle S,}$ $S,$ $S 1 {\ displaystyle S_ {1}}$ $S_ {1}$ - суммы (1) и (2) соответственно, $R {\ displaystyle R}$ $R$ - остаточный член с конкретными функциями $φ (x) {\ displaystyle \ varphi (x)}$ $\ varphi (x)$ и $f (x), {\ displaystyle f ( x),}$ $f (x),$ были получены G. Х. Харди и Дж. Э. Литтлвуд, когда они вывели приближенное функциональное уравнение для дзета-функции Римана $ζ (s) {\ displaystyle \ zeta (s)}$ $\ zeta (s)$ и I. М. Виноградов, при исследовании количества целых точек в областях на плоскости. В общем виде теорема доказана Дж. Ван дер Корпут (о недавних результатах, связанных с теоремой Ван дер Корпута, можно прочитать здесь).

В каждой из вышеупомянутых работ некоторые ограничения на функции $φ (x) {\ displaystyle \ varphi (x)}$ $\ varphi (x)$ и $f (x ) {\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ были наложены. С удобными (для приложений) ограничениями на $φ (x) {\ displaystyle \ varphi (x)}$ $\ varphi (x)$ и $f (x), {\ displaystyle f (x),}$ $f (x),$ теорема была доказана А. А. Карацуба в (см. Также,).

Некоторые обозначения

[1].Для $B>0, B → + ∞, {\ displaystyle B>0, B \ to + \ infty,}$ $B >0, B \ to + \ infty,$ или $B → 0, {\ displaystyle B \ to 0,}$ $B \ to 0,$ запись

1 ≪ AB ≪ 1 {\ displaystyle 1 \ ll {\ frac {A} {B} } \ ll 1}

1 \ ll \ frac {A} {B} \ ll 1

означает наличие констант

C 1>0 {\ displaystyle C_ {1}>0}

C_1 >0

C 2>0, {\ displaystyle C_ {2 }>0,}

C_2 >0,

такой, что

C 1 ≤ | A | B ≤ C 2. {\ Displaystyle C_ {1} \ leq {\ frac {| A |} {B}} \ leq C_ {2}.}

C_1 \ leq \ frac {| A |} {B} \ leq C_2.

[2].Для действительного числа $α, {\ displaystyle \ alpha,}$ $\ alpha,$ запись $‖ α ‖ {\ displaystyle \ | \ alpha \ |}$ ${\ displaystyle \ | \ альфа \ |}$ означает, что

‖ α ‖ = min ({α}, 1 - {α}) , {\ displaystyle \ | \ alpha \ | = \ min (\ {\ alpha \}, 1 - \ {\ alpha \}),}

{\ displaystyle \ | \ alpha \ | = \ min (\ {\ alpha \}, 1- \ {\ alpha \}),}

где

{α} {\ displaystyle \ {\ alpha \ }}

\ { \ альфа \}

- дробная часть

α. {\ displaystyle \ alpha.}

\ alpha.

Теорема ATS

Пусть действительные функции ƒ (x) и $φ (x) {\ displaystyle \ varphi (x)}$ $\ varphi (x)$ удовлетворяют на отрезке [a, b] выполняются следующие условия:

1) $f ⁗ (x) {\ displaystyle f '' '' (x)}$ $f''''(x)$ и $φ ″ (x) {\ displaystyle \ varphi '' (x)}$ $\varphi''(x)$ являются непрерывными;

2) существуют числа $H, {\ displaystyle H,}$ $H,$ $U {\ displaystyle U}$ $U$ и $V {\ displaystyle V}$ $V$ такой, что

H>0, 1 ≪ U ≪ V, 0 < b − a ≤ V {\displaystyle H>0, \ qquad 1 \ ll U \ ll V, \ qquad 0

H >0, \ qquad 1 \ ll U \ ll V, \ qquad 0 < b-a \leq V

1 U ≪ f ″ (x) ≪ 1 U, φ (x) ≪ H, f ‴ (x) ≪ 1 UV, φ ′ (x) ≪ HV , f ⁗ (x) ≪ 1 UV 2, φ ″ (x) ≪ HV 2. {\ displaystyle {\ begin {array} {rc} {\ frac {1} {U}} \ ll f '' (x) \ ll {\ frac {1} {U}} \, & \ varphi (x) \ ll H, \\\\ f '' '(x) \ ll {\ frac {1} {UV}} \, & \ varphi' (x) \ ll {\ frac {H} {V}}, \ \\\ f '' '' (x) \ ll {\ frac {1} {UV ^ {2}}} \, & \ varphi '' (x) \ ll {\ frac {H} {V ^ {2 }}}. \\\\\ end {array}}

\begin{array}{rc} \frac{1}{U} \ll f''(x) \ll \frac{1}{U} \ ,& \varphi(x) \ll H ,\\ \\ f'''(x) \ll \frac{1}{UV} \ ,& \varphi'(x) \ll \frac{H}{V} ,\\ \\ f''''(x) \ll \frac{1}{UV^2} \ ,& \varphi''(x) \ll \frac{H}{V^2}. \\ \\ \end{array}

Тогда, если мы определим числа $x μ {\ displaystyle x _ {\ mu}}$ $x _ {\ mu}$ из уравнения

f ′ (x μ) = μ, {\ displaystyle f '(x _ {\ mu}) = \ mu,}

f'(x_\mu) = \mu,

мы имеем

∑ a < μ ≤ b φ ( μ ) e 2 π i f ( μ ) = ∑ f ′ ( a ) ≤ μ ≤ f ′ ( b ) C ( μ ) Z ( μ ) + R , {\displaystyle \sum _{a<\mu \leq b}\varphi (\mu )e^{2\pi if(\mu )}=\sum _{f'(a)\leq \mu \leq f'(b)}C(\mu )Z(\mu )+R,}

\sum_{a< \mu\le b} \varphi(\mu)e^{2\pi i f(\mu)} = \sum_{f'(a)\le\mu\le f'(b)}C(\mu)Z(\mu) + R ,

, где

R = O (HU b - a + HT a + HT b + H log ⁡ (f ′ (b) - f ′ (a) + 2)); {\ Displaystyle R = O \ left ({\ frac {HU} {ba}} + HT_ {a} + HT_ {b} + H \ log \ left (f '(b) -f' (a) +2 \ right) \ right);}

R = O \left(\frac{HU}{b-a} + HT_a + HT_b + H\log\left(f'(b)-f'(a)+2\right)\right);

T j = {0, если f ′ (j) - целое число; min (1 ‖ f ′ (j) ‖, U), если ‖ f ′ (j) ‖ ≠ 0; {\ displaystyle T_ {j} = {\ begin {cases} 0, & {\ text {if}} f '(j) {\ text {целое число}}; \\\ min \ left ({\ frac { 1} {\ | f '(j) \ |}}, {\ sqrt {U}} \ right), & {\ text {if}} \ | f' (j) \ | \ neq 0; \\\ конец {case}}}

T_{j}={\begin{cases}0,&{\text{if }}f'(j){\text{ is an integer}};\\\min \left({\frac {1}{\|f'(j)\|}},{\sqrt {U}}\right),&{\text{if }}\|f'(j)\|\neq 0;\\\end{cases}}

$j = a, b; {\ displaystyle j = a, b;}$ $j = a, b;$

C (μ) = {1, если f ′ (a) < μ < f ′ ( b ) ; 1 2 , if μ = f ′ ( a ) or μ = f ′ ( b ) ; {\displaystyle C(\mu )={\begin{cases}1,&{\text{if }}f'(a)<\mu

C(\mu) = \begin{cases} 1, & \text{if } f'(a) < \mu < f'(b) ; \\ \frac{1}{2},& \text{if } \mu = f'(a)\text{ or }\mu = f'(b) ;\\ \end{cases}

Z (μ) = 1 + i 2 φ (x μ) f ″ (x μ) е 2 π i (f (x μ) - μ x μ). {\ displaystyle Z (\ mu) = {\ frac {1 + i} {\ sqrt {2}}} {\ frac {\ varphi (x _ {\ mu})} {\ sqrt {f '' (x _ {\ mu})}}} e ^ {2 \ pi i (f (x _ {\ mu}) - \ mu x _ {\ mu})} \.}

Z(\mu )={\frac {1+i}{\sqrt {2}}}{\frac {\varphi (x_{\mu })}{\sqrt {f''(x_{\mu })}}}e^{2\pi i(f(x_{\mu })-\mu x_{\mu })}\.

Самым простым вариантом сформулированной теоремы является утверждение, которая называется в литературе леммой Ван дер Корпута.

леммой Ван дер Корпута

Пусть $f (x) {\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ будет действительная дифференцируемая функция в интервале $a < x ≤ b , {\displaystyle a$ $a <x \ le b,$ , причем внутри этого интервала ее производная $f ′ (x) {\ displaystyle f '(x)}$ $f'(x)$ является монотонной и сохраняющей знак функция, и для константы $δ {\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ такой, что $0 < δ < 1 {\displaystyle 0<\delta <1}$ $0 <\ delta <1$ удовлетворяет неравенству $| f ′ (x) | ≤ δ. {\ displaystyle | f '(x) | \ leq \ delta.}$ $|f'(x)| \leq \delta.$ Тогда

∑ a < k ≤ b e 2 π i f ( k ) = ∫ a b e 2 π i f ( x ) d x + θ ( 3 + 2 δ 1 − δ ) , {\displaystyle \sum _{a

\ sum_ {a <k \ le b} e ^ {2 \ pi if (k)} = \ int_a ^ be ^ {2 \ pi if (x)} dx + \ theta \ left (3 + \ frac {2 \ delta} {1- \ delta} \ right),

где $| θ | ≤ 1. {\ displaystyle | \ theta | \ leq 1.}$ $| \ theta | \ le 1.$

Примечание

Если параметры $a {\ displaystyle a}$ $a$ и $b {\ displaystyle b}$ $b$ - целые числа, тогда можно заменить последнее отношение следующими:

∑ a < k ≤ b e 2 π i f ( k ) = ∫ a b e 2 π i f ( x ) d x + 1 2 e 2 π i f ( b ) − 1 2 e 2 π i f ( a ) + θ 2 δ 1 − δ , {\displaystyle \sum _{a

{\ displaystyle \ sum _ {a <k \ leq b} e ^ {2 \ pi if (k)} = \ int _ {a} ^ {b} e ^ {2 \ pi if (x)} \, dx + {\ frac {1} {2}} e ^ {2 \ pi if (b)} - {\ frac {1} {2}} e ^ {2 \ pi if (a) } + \ thet a {\ frac {2 \ delta} {1- \ delta}},}

где $| θ | ≤ 1. {\ displaystyle | \ theta | \ leq 1.}$ $| \ theta | \ le 1.$

О приложениях ATS к проблемам физики см.; см. также,

Примечания

^ Харди, Г. Х.; Литтлвуд, Дж. Э. (1914). «Некоторые проблемы диофантова приближения: Часть II. Тригонометрические ряды, связанные с эллиптическими ϑ-функциями». Acta Mathematica. Международная пресса Бостона. 37: 193–239. doi : 10.1007 / bf02401834. ISSN 0001-5962.
^ Hardy, G.H.; Литтлвуд, Дж. Э. (1916). «Вклад в теорию дзета-функции Римана и теорию распределения простых чисел». Acta Mathematica. Международная пресса Бостона. 41: 119–196. doi : 10.1007 / bf02422942. ISSN 0001-5962.
^ Харди, Г. Х.; Литтлвуд, Дж. Э. (1921). «Нули дзета-функции Римана на критической прямой». Mathematische Zeitschrift. ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 10(3–4): 283–317. doi : 10.1007 / bf01211614. ISSN 0025-5874. S2CID 126338046.
^ I. М. Виноградов. О среднем значении числа классов чисто корневой формы отрицательного определителя Коммуник. Хар. Математика. Soc., 16, 10–38 (1917).
^ ван дер Корпут, Дж. Г. (1921). "Zahlentheoretische Abschätzungen". Mathematische Annalen (на немецком языке). ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 84(1–2): 53–79. doi : 10.1007 / bf01458693. ISSN 0025-5831. S2CID 179178113.
^ ван дер Корпут, Дж. Г. (1922). "Verschärfung der Abschätzung beim Teilerproblem". Mathematische Annalen (на немецком языке). ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 87(1–2): 39–65. doi : 10.1007 / bf01458035. ISSN 0025-5831. S2CID 177789678.
^ Монтгомери, Хью (1994). Десять лекций о взаимодействии аналитической теории чисел и гармонического анализа. Провиденс, Р.И.: Опубликовано Американским математическим обществом для Совета по математическим наукам. ISBN 978-0-8218-0737-8. OCLC 30811108.
^ Карацуба, А.А. (1987). «Аппроксимация экспоненциальных сумм более короткими». Труды Индийской академии наук, раздел A. Springer Science and Business Media LLC. 97(1–3): 167–178. doi : 10.1007 / bf02837821. ISSN 0370-0089. S2CID 120389154.
^ А. А. Карацуба, С. М. Воронин. Дзета-функция Римана. (W. de Gruyter, Verlag: Berlin, 1992).
^ А. А. Карацуба, М. А. Королев. Теорема о приближении тригонометрической суммы более короткой. Изв. Росс. Акад. Наук, сер. Мат. 71: 3, стр. 63–84 (2007).
^ Карацуба, Екатерина А. (2004). «Аппроксимация сумм осциллирующих слагаемых в некоторых физических задачах». Журнал математической физики. Издательство AIP. 45(11): 4310–4321. doi : 10.1063 / 1.1797552. ISSN 0022-2488.
^ Карацуба, Екатерина А. (2007-07-20). «О подходе к изучению суммы Джейнса – Каммингса в квантовой оптике». Численные алгоритмы. ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 45(1–4): 127–137. doi : 10.1007 / s11075-007-9070-x. ISSN 1017-1398. S2CID 13485016.
^ Шассанд-Моттин, Эрик; Пай, Арчана (27 февраля 2006 г.). "Лучшая цепочка чирплетов: почти оптимальное обнаружение щебетаний гравитационных волн". Physical Review D. Американское физическое общество (APS). 73(4): 042003. doi : 10.1103 / Physrevd.73.042003. HDL : 11858 / 00-001M-0000-0013-4BBD-B. ISSN 1550-7998. S2CID 56344234.
^ Fleischhauer, M.; Шлейх, В. П. (1993-05-01). «Возрождение стало проще: формула суммирования Пуассона как ключ к возрождению в модели Джейнса-Каммингса». Physical Review A. Американское физическое общество (APS). 47(5): 4258–4269. doi : 10.1103 / Physreva.47.4258. ISSN 1050-2947. PMID 9909432.