В математике, Нотация Фойгта или Форма Фойгта в полилинейная алгебра - это способ представления симметричного тензора путем уменьшения его порядка. Есть несколько вариантов и связанных названий этой идеи: нотация Манделя, Мандель – Фойгт нотации и нотации Най - другие найденные. Нотация Кельвина - это возрождение Хельбигом старых идей лорда Кельвина. Различия здесь заключаются в определенных весах присоединяется к выбранным элементам тензора. Номенклатура может варьироваться в зависимости от того, что является традиционным для области применения.
Например, симметричный тензор 2 × 2 X имеет только три отдельных элемента: два по диагонали, а другой - вне диагонали. Таким образом, его можно выразить как вектор
- .
В качестве другого примера:
Тензор напряжений (в матричных обозначениях) задается как
В В обозначениях Фойгта он упрощен до 6-мерного вектора:
Тензор деформации, аналогичный по природе тензору напряжений - оба являются симметричными тензорами второго порядка - задается в матричной форме как
Его представление в нотации Фойгта имеет вид
где , и - инженерные деформации сдвига.
Преимущество использования различных представлений для напряжения и деформации заключается в том, что скалярная инвариантность
.
Подобным образом трехмерный симметричный тензор четвертого порядка может быть уменьшен до матрицы 6 × 6.
Содержание
- 1 Мнемоническое правило
- 2 Нотация Манделя
- 3 Приложения
- 4 Ссылки
- 5 См. Также
Мнемоническое правило
Простое мнемоническое правило для запоминания обозначений Фойгта:
- Запишите тензор второго порядка в матричной форме (в примере - тензор напряжений)
- Вычеркните диагональ
- Продолжить третий столбец
- Вернитесь к первому элементу в первой строке.
Индексы Voigt нумеруются последовательно от начальной точки до конца (в данном примере числа выделены синим цветом).
Обозначение Манделя
Для симметричного тензора второго ранга
различны только шесть компонентов, три на диагональ, а остальные - вне диагонали. Таким образом, в обозначениях Манделя он может быть выражен как вектор
Основное преимущество нотации Манделя состоит в том, что она позволяет использовать те же обычные операции, что и с векторами, например:
Симметричный тензор четвертого ранга, удовлетворяющий и имеет 81 компонент в трехмерном пространстве, но только 36 компонентов различны. Таким образом, в нотации Манделя это может быть выражено как
Приложения
Обозначение названо в честь физика Вольдемара Фойгта Джон Най (ученый). Это полезно, например, в расчетах с использованием конститутивных моделей для моделирования материалов, таких как обобщенный закон Гука, а также анализ методом конечных элементов и диффузионная МРТ.
Закон Гука имеет симметричный тензор жесткости четвертого порядка с 81 компонентом (3 × 3 × 3 × 3), но поскольку применение такого тензора ранга 4 к симметричному тензору ранга 2 должно давать другой симметричный тензор ранга 2, не все из 81 элемента независимы. Нотация Фойгта позволяет представить такой тензор ранга 4 матрицей 6 × 6. Однако форма Фойгта не сохраняет сумму квадратов, которая в случае закона Гука имеет геометрическое значение. Это объясняет, почему вводятся веса (чтобы сделать отображение изометрией ).
Обсуждение инвариантности нотации Фойгта и нотации Манделя можно найти в Helnwein (2001).
Ссылки
См. Также