Транспонируемое целое число

Цифры некоторых конкретных целых чисел переставляют или сдвигают циклически, когда они умножаются на номер n. Примеры:

• 142857 × 3 = 428571 (циклический сдвиг на одну позицию влево)
• 142857 × 5 = 714285 (циклический сдвиг на одну позицию вправо)
• 128205 × 4 = 512820 (циклический сдвиг на одно место вправо)
• 076923 × 9 = 692307 (циклически сдвигает на две позиции влево)

Эти конкретные целые числа, известные как транспонируемые целые, могут быть, но не всегда циклическими числа. Характеристика таких чисел может быть выполнена с использованием повторяющихся десятичных знаков (и, следовательно, связанных дробей) или напрямую.

• 1 Общее
• 2 Метод дроби
  • 2.1 Целочисленный множитель
  • 2.2 Дробный множитель
• 3 Прямое представление
• 4 Циклическая перестановка умножением
• 5 Доказательство формулы для циклического Операция сдвига вправо
• 6 Подтверждение формулы для циклической операции сдвига влево
• 7 Циклический сдвиг целого числа
• 8 Паразитные числа
• 9 Циклический сдвиг вправо на двойные позиции
  • 9.1 Сводка результатов
• 10 Циклическое переключение влево на одинарное положение
• 11 Циклическое переключение влево на двойное положение
  • 11.1 Сводка результатов
• 12 Другие основания
• 13 Примечания
• 14 Ссылки

Для любое целое число, взаимно простое с 10, его обратным значением является повторяющееся десятичное число без каких-либо неповторяющихся цифр. Например. ⁄ 143 = 0,006993006993006993...

Хотя выражение одной серии с vinculum наверху является адекватным, цель приведенного выше выражения - показать, что шесть циклических перестановок числа 006993 могут быть получены из этого повторяющегося десятичного разделителя, если мы выберем шесть последовательных цифр из повторяющегося десятичного разделителя, начиная с разных цифр.

Это показывает, что циклические перестановки каким-то образом связаны с повторяющимися десятичными знаками и соответствующими дробями.

наибольший общий делитель (НОД) между любой циклической перестановкой m-значного целого числа и 10-1 является постоянным. Выражается в виде формулы:

$gcd\; (N,\; 10\; m\; -\; 1)\; =\; gcd\; (N\; c,\; 10\; m\; -\; 1),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gcd\; \backslash \; left\; (N,\; 10\; ^\; \{m\}\; -1\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; gcd\; \backslash \; left\; (N\_\; \{c\},\; 10\; ^\; \{m\}\; -1\; \backslash \; right),\}$

где N - m-значное целое число; и N c - это любая циклическая перестановка N.

Например,

gcd (091575, 999999) = gcd (3 × 5 × 11 × 37, 3 × 7 × 11 × 13 × 37) = 3663 = gcd (915750, 999999) = gcd (157509, 999999) = gcd (575091, 999999) = gcd (750915, 999999) = gcd (509157, 999999)

Если N является m-значным целым числом, число N c, полученное путем циклического сдвига N влево, может быть получено из:

$N\; c\; =\; 10\; N\; -\; d\; (10\; m\; -\; 1),\; \{\backslash \; displaystyle\; N\_\; \{c\}\; =\; 10N-d\; \backslash \; left\; (10\; ^\; \{m\}\; -1\; \backslash \; right),\; \backslash ,\}$

, где d - первая цифра N, а m - количество цифр.

Это объясняет вышеупомянутый общий gcd, и это явление верно для любого base, если 10 заменено на b, основание.

Таким образом, циклические перестановки связаны с повторяющимися десятичными знаками, соответствующими дробями и делителями 10-1. Например, дроби, относящиеся к вышеуказанным циклическим перестановкам, таковы:

• ​⁄999999, ⁄ 999999, ⁄ 999999, ⁄ 999999, ⁄ 999999 и ⁄ 999999.

Уменьшенные до наименьших членов с использованием общего НОД, они:

• ​⁄273, ⁄ 273, ⁄ 273, ⁄ 273, ⁄ 273 и ⁄ 273.

То есть эти дроби при выражении в самом низком выражении имеют тот же знаменатель. Это верно для циклических перестановок любого целого числа.

Целочисленный множитель

Целочисленный множитель означает, что множитель n является целым числом:

1. Целое число X сдвигается вправо циклически на k позиций при умножении на целое число n . X - это повторяющиеся цифры ⁄ F, где F равно F 0 = n 10-1 (F 0 равно взаимно простое до 10) или коэффициент F 0 ; исключая любые значения F, которые не превышают n.
2. Целое число X сдвигает влево циклически на k позиций, когда оно умножается на целое число n . X - это повторяющиеся цифры ⁄ F, при этом F равно F 0 = 10 - n или коэффициент F 0 ; исключая любые значения F, которые не превышают n и которые не являются взаимно простыми с 10.

Необходимо, чтобы F было взаимно просто с 10, чтобы ⁄ F - это повторяющееся десятичное число без каких-либо предшествующих неповторяющихся цифр (см. несколько разделов Повторяющееся десятичное число ). Если цифры не в точке, то соответствующего решения нет.

Для этих двух случаев числа, кратные X, то есть (j X), также являются решениями при условии, что целое число i удовлетворяет условию ⁄ F< 1. Most often it is convenient to choose the smallest F that fits the above. The solutions can be expressed by the formula:

$X\; =\; j\; 10\; p\; -\; 1\; F\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; =\; j\; \{\backslash \; frac\; \{10\; ^\; \{p\}\; -1\}\; \{F\}\}\}$

где p - длина периода ⁄ F ; и F является множителем F 0, взаимно простым с 10.

Например, F 0 = 1260 = 2 × 3 × 5 × 7. Факторы, исключающие 2 и 5 измените компоновку на F = 3 × 7 = 63. В качестве альтернативы удалите все конечные нули из 1260, чтобы получилось 126, затем разделите его на 2 (или 5) итеративно, пока частное не перестанет делиться на 2 (или 5). Результатом также будет F = 63.

Чтобы исключить из решений целые числа, начинающиеся с нулей, выберите целое число j такое, что ⁄ F>⁄ 10, т. Е. J>⁄ 10.

Если n>F, решения нет.

Дробный множитель

Целое число X сдвигает влево циклически на k позиций, когда оно умножается на дробь ⁄ s. X - это повторяющиеся цифры ⁄ F, при этом F равно F 0 = s 10 - n, или коэффициент F 0 ; и F должно быть взаимно простым с 10.

В этом третьем случае решения, кратные X, т.е. (j X), снова являются решениями, но условие, которое должно выполняться для целого числа j, заключается в том, что ⁄ F< 1. Again it is convenient to choose the smallest F that fits the above.

Решения могут быть выражено формулой:

$X\; =\; js\; 10\; p\; -\; 1\; F\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; =\; js\; \{\backslash \; frac\; \{10\; ^\; \{p\}\; -1\}\; \{F\}\}\}$

где p определяется аналогичным образом; и F становится взаимно простым с 10 с помощью того же процесса, что и раньше.

Чтобы исключить из решений целые числа, начинающиеся с нулей, выберите целое число j такое, что ⁄ F>⁄ 10, т.е. j>⁄ 10s.

Опять же, если ⁄ F>1, решения нет.

Подход прямой алгебры к приведенным выше случаям интегральный множитель приводит к следующей формуле:

1. $X\; =\; D\; 10\; m\; -\; 1\; n\; 10\; k\; -\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; =\; D\; \{\backslash \; frac\; \{10\; ^\; \{m\}\; -1\}\; \{n10\; ^\; \{k\}\; -1\}\},\}$

   где m - количество цифр X, а D - k-значное число, сдвинутое с от нижнего конца X до верхнего конца n X, удовлетворяет D < 10.

   Если числа не должны иметь ведущих нулей, то n 10 ≤ D.

2. $X\; =\; D\; 10\; m\; -\; 1\; 10\; k\; -\; n,\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; =\; D\; \{\backslash \; frac\; \{10\; ^\; \{m\}\; -1\}\; \{10\; ^\; \{k\}\; -n\}\},\}$

   где m - количество цифр X, а D - k-значное число со смещением от верхнего предела X до нижнего предела n X, удовлетворяет:

   1. 
   2. и 10-частному (произведению членов, соответствующих простым числам 2 и 5 в факторизации ) 10 - n делит D.

      Десятичная часть целого числа t часто обозначается сокращением $gcd\; \; (10\; \infty ,\; t).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{gcd\}\; \backslash \; left\; (10\; ^\; \{\backslash \; infty\},\; t\; \backslash \; right).\}$

   Если числа не должны иметь ведущих нулей, то 10 ≤ D.

Длинное деление 1 на 7 дает:

0,142857... 7) 1,000000.73 282 146 564 355 491

На последнем шаге снова появляется 1 как остаток. Циклические остатки равны {1, 3, 2, 6, 4, 5}. Мы перепишем частные с соответствующими дивидендами / остатками над ними на всех этапах:

Дивиденды / остатки 1 3 2 6 4 5 Частные 1 4 2 8 5 7

, а также отметим, что:

• ​⁄7= 0,142857...
• ​⁄7= 0,428571...
• ​⁄7= 0,285714...
• ​⁄7= 0,857142...
• ​⁄7= 0,571428...
• ​⁄7= 0,714285...

Наблюдая за остатками на каждом шаге, мы можем, таким образом, выполнить желаемую циклическую перестановку умножением. Например,

• Целое число 142857, соответствующее остатку 1, переставляется в 428571 при умножении на 3, соответствующий остаток от последнего.
• Целое число 142857, соответствующее остатку 1, переставляется в 857142 при умножении на 6, соответствующий остаток от последнего.
• Целое число 857142, соответствующее остатку 6, переставляется в 571428 при умножении на ⁄ 6 ; то есть делится на 6 и умножается на 5, соответствующий остаток от последнего.

Таким образом, может быть выполнен циклический сдвиг влево или вправо на любое количество позиций.

Что менее важно, этот метод может применяться к любому целому числу для циклического сдвига вправо или влево на любое заданное количество разрядов по следующей причине:

• Каждое повторяющееся десятичное число может быть выражено как рациональное число (дробь).
• Каждое целое число, добавленное с десятичной точкой впереди и бесконечное количество сцепленных с собой, может быть преобразовано в дробь, например мы можем преобразовать 123456 таким образом в 0,123456123456..., что, таким образом, может быть преобразовано в дробь ⁄ 999999. Эту дробь можно еще больше упростить, но здесь этого делать не будем.
• Чтобы переставить целое число 123456 на 234561, все, что нужно сделать, - это умножить 123456 на ⁄ 123456. Это похоже на обман, но если ⁄ 123456 - целое число (в данном случае это не так), миссия завершена.

Целое число X циклически сдвигается вправо на k позиций, когда оно умножается на целое число n. Докажите его формулу.

Доказательство

Сначала узнайте, что X - это повторяющиеся цифры повторяющейся десятичной дроби, которая всегда имеет циклическое поведение при умножении. Тогда целое число X и его кратное n X будут иметь следующие отношения:

1. Целое число X - это повторяющиеся цифры дроби ⁄ F, скажем, d pdp-1...d 3d2d1, где d p, d p-1,..., d 3, d 2 и d 1 представляет собой цифру, а p - количество цифр.
2. Таким образом, кратное n X является повторяющимися цифрами дроби ⁄ F, например d kdk-1... d 3d2d1dpdp-1... d k + 2 d k + 1, представляющий результаты после циклический сдвиг вправо на k позиций.
3. F должен быть взаимно простым с 10, чтобы, когда ⁄ F выражено в десятичной форме, не было предшествующих неповторяющихся цифр, иначе повторяющееся десятичное число не имеет циклическое поведение при умножении.
4. Если первый остаток принимается равным n, то 1 будет (k + 1) -м остатком в длинном делении для ⁄ F для этого должна иметь место циклическая перестановка.
5. Для того, чтобы n × 10 = 1 (mod F), тогда F должно быть либо F 0 = (n × 10 - 1), либо множителем из F 0 ; но исключая любые значения, не превышающие n, и любое значение, имеющее нетривиальный общий множитель с 10, как показано выше.

Это завершает доказательство.

Целочисленный сдвиг X циклически влево на k позиций, когда он умножается на целое число n . Докажите его формулу.

Доказательство

Сначала узнайте, что X - это повторяющиеся цифры повторяющейся десятичной дроби, которая всегда имеет циклическое поведение при умножении. Тогда целое число X и его кратное n X будут иметь следующие отношения:

1. Целое число X - это повторяющиеся цифры дроби ⁄ F, скажем, d pdp-1...d 3d2d1.
2. Таким образом, кратное n X является повторяющимися цифрами дроби ⁄ F, скажем, d pk d pk-1... d 3d2d1dpdp-1... d p-k + 1,

, который представляет результаты после циклического сдвига влево на k позиций.

1. F должно быть взаимно просто с 10, чтобы ⁄ F не имело предшествующих неповторяющихся цифр, иначе повторяющееся десятичное число не имеет циклического поведения при умножении.
2. Если первый остаток равен принято равным 1, тогда n должно быть (k + 1) -м остатком в длинном делении для ⁄ F, чтобы эта циклическая перестановка имела место.
3. Для того, чтобы 1 × 10 = n (режим F), тогда F должно быть либо F 0 = (10 -n), либо коэффициентом F 0 ; но исключая любое значение, не превышающее n, и любое значение, имеющее нетривиальный общий множитель с 10, как показано выше.

Это завершает доказательство. Доказательство для нецелого множителя, такого как ⁄ s, может быть получено аналогичным образом и здесь не документируется.

Перестановками могут быть:

• Циклический сдвиг вправо на одну позицию (паразитные числа );
• Циклический сдвиг вправо на двойные позиции;
• Циклический сдвиг вправо на любое количество позиций;
• Циклический сдвиг влево на одно положение;
• Циклический сдвиг влево на двойное положение; и
• Циклический сдвиг влево на любое число позиций

Когда паразитное число умножается на n, оно не только демонстрирует циклическое поведение, но и перестановка такова, что последняя цифра паразитного числа теперь становится первой цифрой кратного Например, 102564 x 4 = 410256. Обратите внимание, что 102564 - это повторяющиеся цифры ⁄ 39, а 410256 - повторяющиеся цифры ⁄ 39.

Целое число X циклически сдвигается вправо на двойные позиции, когда оно умножается на целое число n. Тогда X - это повторяющиеся цифры ⁄ F, при этом F = n × 10 - 1; или его фактор; но исключая значения, для которых ⁄ F имеет длину периода, делящую 2 (или, что эквивалентно, меньше 3); и F должно быть взаимно просто с 10.

Чаще всего удобно выбрать наименьшее значение F, которое соответствует вышеуказанному.

Сводка результатов

Следующее умножение перемещает последние две цифры каждого исходного целого числа в первые две цифры и сдвигает все остальные цифры вправо:

Обратите внимание, что:

• 299 = 13 x 23, а период ⁄ 299 точно определяется формой ula, LCM (6, 22) = 66, согласно Повторяющееся десятичное # Обобщение.
• 399 = 3 x 7 x 19, а период ⁄ 399 точно определяется по формуле, LCM (1, 6, 18) = 18.

Есть много других возможностей.

Проблема: целое число X сдвигается циклически влево на одну позицию, когда оно умножается на 3. Найдите X.

Решение: сначала узнайте, что X - это повторяющиеся цифры повторяющейся десятичной дроби, которая всегда проявляет интересное циклическое поведение при умножении. Тогда целое число X и его кратное будут иметь следующую взаимосвязь:

• Целое число X - это повторяющиеся цифры дроби ⁄ F, скажем ab ***.
• Кратное - это повторяющиеся цифры дроби ⁄ F, скажем, b *** a.
• Чтобы эта циклическая перестановка имела место, 3 должно быть следующим остатком в деление в столбик для ⁄ F. Таким образом, F должно быть 7, поскольку 1 × 10 ÷ 7 дает остаток 3.

Это дает следующие результаты:

X = повторяющиеся цифры ⁄ 7

= 142857, а

кратное = 142857 × 3 = 428571, повторяющиеся цифры ⁄ 7

Другое решение представлено как ⁄ 7 x 3 = ⁄ 7:

• 285714 x 3 = 857142

Других решений нет, потому что :

• Целое число n должно быть последующим остатком в длинном делении дроби ⁄ F. Учитывая, что n = 10 - F, и F взаимно просто с 10, чтобы ⁄ F было повторяющимся десятичным числом, тогда n должно быть меньше 10.
• Для n = 2, F должно быть 10-2 = 8. Однако ⁄ 8 не генерирует повторяющуюся десятичную дробь, аналогично для n = 5.
• Для n = 7 F должно быть 10-7 = 3. Однако 7>3 и ⁄ 3 = 2.333>1 и не соответствует цели.
• Аналогичным образом не существует решения для любого другого целого числа n меньше 10, кроме n = 3.

Однако, если множитель не ограничен целым числом (хотя и некрасиво), есть много других решений из этого метода. Например, если целое число X циклически сдвигается вправо на одну позицию при его умножении на ⁄ 2, то 3 будет следующим остатком после 2 в длинном делении дроби ⁄ F. Отсюда следует, что F = 2 x 10 - 3 = 17, что дает X как повторяющиеся цифры ⁄ 17, т. Е. 1176470588235294, а его кратное число равно 1764705882352941.

Ниже приводится краткое изложение некоторых из них. результаты найдены следующим образом:

Целое число X циклически сдвигает влево на двойные позиции, когда оно умножается на целое число n. X - это повторяющиеся цифры ⁄ F, где F равно R = 10 - n или коэффициенту R; исключая значения F, для которых ⁄ F имеет длину периода, делящую 2 (или, что то же самое, меньше 3); и F должно быть взаимно просто с 10.

Чаще всего удобно выбрать наименьшее значение F, которое соответствует вышеуказанному.

Сводка результатов

Ниже приведены некоторые результаты, полученные таким образом, где пробелы между цифрами делят цифры на группы по 10 цифр:

В двенадцатеричной системе транспонируемыми целыми числами являются: (используя перевернутые два и три для десяти и одиннадцати, соответственно)

Обратите внимание, что задача «Циклический сдвиг влево на одну позицию» не имеет решения для множителя меньше 12, кроме 2 и 5, та же проблема в десятичной системе не имеет решения для множителя меньше чем 10, кроме 3.

1. ^стр. Ю, k-правые транспонируемые целые числа, Глава 18.1 «Развлекательная математика»

• P. Yiu, k-перемещаемые вправо целые числа, k-перемещаемые влево целые числа Глава 18.1, 18.2 стр. 168/360 в «Рекреационной математике», https://web.archive.org/web/20090901180500/http: //math.fau.edu/Yiu/RecreationalMat Mathematics2003.pdf
• С. А. Пиковер, «Чудеса чисел», глава 28, Oxford University Press UK, 2000.
• Слоан, Н.Дж.А. (ред.). "Последовательность A092697 (Для 1 <= n <= 9, a(n) = least number m such that the product n*m is obtained merely by shifting the rightmost digit of m to the left end)". Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей. OEIS Foundation.
• Гарднер, Мартин. Математический цирк: больше головоломок, игр, парадоксов и других математических Развлечения от Scientific American. Нью-Йорк: Математическая ассоциация Америки, 1979. С. 111–122.
• Дэн Калман; «Дроби с циклическими схемами цифр» The College Mathematics Journal, Vol. 27, No. 2. (март, 1996), стр. 109–115.
• Лесли, Джон. «Философия арифметики: демонстрация прогрессивного взгляда на теорию и практику…», Longman, Hurst, Rees, Orme, and Brown, 1820, ISBN 1-4020-1546-1
• Уэллс, Дэвид; "Словарь любопытных и интересных чисел Penguin ", Penguin Press. ISBN 0-14-008029-5