Стационарное пространство-время

редактировать

В общей теории относительности, особенно в уравнениях поля Эйнштейна, a пространство-время называется стационарным, если оно допускает вектор Киллинга, который асимптотически подобен времени.

. В стационарном пространстве-времени метрика компоненты тензора, $g μ ν {\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$ $g _ {\ mu \ nu}$ , могут быть выбраны так, чтобы все они не зависели от временной координаты. Линейный элемент стационарного пространства-времени имеет вид $(i, j = 1, 2, 3) {\ displaystyle (i, j = 1,2,3)}$ $(i,j=1,2,3)$

ds 2 = λ (dt - ω idyi) 2 - λ - 1 hijdyidyj, {\ displaystyle ds ^ {2} = \ lambda (dt- \ omega _ {i} \, dy ^ {i}) ^ {2} - \ lambda ^ {- 1} h_ {ij} \, dy ^ {i} \, dy ^ {j},}

ds ^ {{2}} = \ lambda (dt- \ omega _ {{i}} \, dy ^ {i}) ^ {{2}} - \ lambda ^ {{- 1}} h_ { {ij}} \, dy ^ {i} \, dy ^ {j},

где $t {\ displaystyle t}$ $t$ - координата времени, $yi {\ displaystyle y ^ {i}}$ $y ^ {{i}}$ - три пространственные координаты, а $hij {\ displaystyle h_ {ij}}$ $h_ {ij}$ - метрический тензор 3-мерного пространства. В этой системе координат векторное поле Киллинга $ξ μ {\ displaystyle \ xi ^ {\ mu}}$ $\ xi ^ {\ mu}$ имеет компоненты $ξ μ = (1, 0, 0, 0) {\ displaystyle \ xi ^ {\ mu} = (1,0,0,0)}$ $\ xi ^ {{\ mu}} = (1,0,0,0)$ . $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ - положительный скаляр, представляющий норму вектора Киллинга, т. е. $λ = g μ ν ξ μ ξ ν {\ displaystyle \ lambda = g _ {\ mu \ nu} \ xi ^ {\ mu} \ xi ^ {\ nu}}$ $\ lambda = g _ {{\ mu \ nu}} \ xi ^ {{\ mu}} \ xi ^ {{\ nu}}$ и $ω i {\ displaystyle \ omega _ {i}}$ $\ omega _ {{i}}$ - это 3-вектор, называемый вектором поворота, который исчезает, когда вектор Киллинга ортогонален гиперповерхности. Последнее возникает как пространственные компоненты 4-вектора твиста $ω μ = e μ ν ρ σ ξ ν ∇ ρ ξ σ {\ displaystyle \ omega _ {\ mu} = e _ {\ mu \ nu \ rho \ sigma} \ xi ^ {\ nu} \ nabla ^ {\ rho} \ xi ^ {\ sigma}}$ $\ omega _ {{\ mu}} = e _ {{\ mu \ nu \ rho \ sigma}} \ xi ^ {{\ nu}} \ nabla ^ {{\ rho}} \ xi ^ {{\ sigma}}$ (см., например, стр. 163), который ортогонален вектору Киллинга $ξ μ {\ displaystyle \ xi ^ {\ mu}}$ $\ xi ^ {\ mu}$ , т.е. удовлетворяет $ω μ ξ μ = 0 {\ displaystyle \ omega _ {\ mu} \ xi ^ {\ mu} = 0}$ $\ omega _ {{\ mu}} \ xi ^ {{\ mu}} = 0$ . Вектор скручивания измеряет степень, в которой вектор Киллинга не может быть ортогональным семейству 3-поверхностей. Ненулевой поворот указывает на наличие вращения в геометрии пространства-времени.

Описанное выше координатное представление имеет интересную геометрическую интерпретацию. перевод времени Вектор Киллинга генерирует однопараметрическую группу движения $G {\ displaystyle G}$ $G$ в пространстве-времени $M {\ displaystyle M}$ $M$ . Идентифицируя точки пространства-времени, лежащие на определенной траектории (также называемой орбитой), можно получить 3-мерное пространство (многообразие траекторий Киллинга) $V = M / G {\ displaystyle V = M / G}$ $V = M / G$ , факторное пространство. Каждая точка $V {\ displaystyle V}$ $V$ представляет траекторию в пространстве-времени $M {\ displaystyle M}$ $M$ . Эта идентификация, называемая канонической проекцией, $π: M → V {\ displaystyle \ pi: M \ rightarrow V}$ $\ pi: M \ rightarrow V$ представляет собой отображение, которое отправляет каждую траекторию в $M {\ displaystyle M}$ $M$ на точку в $V {\ displaystyle V}$ $V$ и вызывает метрику $h = - λ π ∗ g {\ displaystyle h = - \ lambda \ pi * g}$ $h = - \ lambda \ pi * g$ на $V {\ displaystyle V}$ $V$ через откат. Величины $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ , $ω i {\ displaystyle \ omega _ {i}}$ $\ omega _ {{i}}$ и $hij {\ displaystyle h_ {ij}}$ $h_ {ij}$ - все поля на $V {\ displaystyle V}$ $V$ и, следовательно, не зависят от времени. Таким образом, геометрия стационарного пространства-времени не меняется во времени. В особом случае $ω i = 0 {\ displaystyle \ omega _ {i} = 0}$ $\ omega _ {{i}} = 0$ пространство-время называется статическим. По определению, каждое статическое пространство-время является стационарным, но обратное обычно неверно, поскольку метрика Керра предоставляет контрпример.

В стационарном пространстве-времени, удовлетворяющем вакуумным уравнениям Эйнштейна $R μ ν = 0 {\ displaystyle R _ {\ mu \ nu} = 0}$ $R _ {{\ mu \ nu}} = 0$ вне источников, поворот 4- вектор $ω μ {\ displaystyle \ omega _ {\ mu}}$ $\ omega _ {{\ mu}}$ без скручиваний,

∇ μ ω ν - ∇ ν ω μ = 0, {\ displaystyle \ nabla _ { \ mu} \ omega _ {\ nu} - \ nabla _ {\ nu} \ omega _ {\ mu} = 0, \,}

\ nabla _ {\ mu} \ omega _ {\ nu} - \ nabla _ {\ nu} \ omega _ {\ mu} = 0, \,

и поэтому локально является градиентом скаляра $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ (называемый скаляром твиста):

ω μ = ∇ μ ω. {\ displaystyle \ omega _ {\ mu} = \ nabla _ {\ mu} \ omega. \,}

\ omega _ {\ mu} = \ nabla _ {\ mu} \ omega. \,

Вместо скаляров $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ и $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ удобнее использовать два потенциала Хансена, потенциал массы и углового момента, $Φ M {\ displaystyle \ Phi _ {M}}$ $\ Phi _ {{M}}$ и $Φ J {\ displaystyle \ Phi _ {J}}$ $\ Phi _ {{J}}$ , определяемый как

Φ M = 1 4 λ - 1 (λ 2 + ω 2 - 1), { \ Displaystyle \ Phi _ {M} = {\ frac {1} {4}} \ lambda ^ {- 1} (\ lambda ^ {2} + \ omega ^ {2} -1),}

\ Phi _ {{M}} = {\ frac {1} {4}} \ lambda ^ {{- 1}} (\ lambda ^ {{2}} + \ omega ^ {{2}} - 1),

Φ J = 1 2 λ - 1 ω. {\ displaystyle \ Phi _ {J} = {\ frac {1} {2}} \ lambda ^ {- 1} \ omega.}

\ Phi _ {{J}} = {\ frac {1} {2}} \ lambda ^ {{- 1}} \ omega.

В общей теории относительности потенциал массы $Φ M {\ displaystyle \ Phi _ {M}}$ $\ Phi _ {{M}}$ играет роль ньютоновского гравитационного потенциала. Нетривиальный потенциал углового момента $Φ J {\ displaystyle \ Phi _ {J}}$ $\ Phi _ {{J}}$ возникает для вращающихся источников из-за вращательной кинетической энергии, которая из-за эквивалентности массы и энергии также может действовать как источник гравитационного поля. Ситуация аналогична статическому электромагнитному полю, в котором есть два набора потенциалов: электрический и магнитный. В общей теории относительности вращающиеся источники создают гравитомагнитное поле, не имеющее ньютоновского аналога.

Таким образом, стационарная метрика вакуума выражается через потенциалы Хансена $Φ A {\ displaystyle \ Phi _ {A}}$ $\ Phi _ {{A}}$ ( $A = M {\ displaystyle A = M}$ $A = M$ , $J {\ displaystyle J}$ $J$ ) и 3-метрический $hij {\ displaystyle h_ {ij}}$ $h_ {ij}$ . В терминах этих величин уравнения Эйнштейна вакуумного поля можно записать в виде

(hij ∇ i ∇ j - 2 R (3)) Φ A = 0, {\ displaystyle (h ^ {ij} \ nabla _ { i} \ nabla _ {j} -2R ^ {(3)}) \ Phi _ {A} = 0, \,}

(h ^ {{ij}} \ nabla _ {i} \ nabla _ {j} -2R ^ {{(3) }}) \ Phi _ {A} = 0, \,

R ij (3) = 2 [∇ i Φ A ∇ j Φ A - ( 1 + 4 Φ 2) - 1 ∇ я Φ 2 ∇ j Φ 2], {\ displaystyle R_ {ij} ^ {(3)} = 2 [\ nabla _ {i} \ Phi _ {A} \ nabla _ { j} \ Phi _ {A} - (1 + 4 \ Phi ^ {2}) ^ {- 1} \ nabla _ {i} \ Phi ^ {2} \ nabla _ {j} \ Phi ^ {2}],}

R _ {{ij}} ^ { {(3)}} = 2 [\ nabla _ {{i}} \ Phi _ {{A}} \ nabla _ {{j}} \ Phi _ {{A}} - (1 + 4 \ Phi ^ { {2}}) ^ {{- 1}} \ nabla _ {{i}} \ Phi ^ {{2}} \ nabla _ {{j}} \ Phi ^ {{2}}],

где $Φ 2 = Φ A Φ A = (Φ M 2 + Φ J 2) {\ displaystyle \ Phi ^ {2} = \ Phi _ {A} \ Phi _ {A} = ( \ Phi _ {M} ^ {2} + \ Phi _ {J} ^ {2})}$ $\ Phi ^ {{2}} = \ Phi _ {{A}} \ Phi _ {{A}} = (\ Phi _ {{M}} ^ {{2}} + \ Phi _ {{J}} ^ {{2}})$ и $R ij (3) {\ displaystyle R_ {ij} ^ {(3)}}$ $R _ {{ij}} ^ {{ (3)}}$ - тензор Риччи пространственной метрики и $R (3) = hij R ij (3) {\ displaystyle R ^ {(3)} = h ^ {ij} R_ { ij} ^ {(3)}}$ $R ^ {{(3)}} = h ^ {{ij}} R _ {{ ij}} ^ {{(3)}}$ соответствующий скаляр Риччи. Эти уравнения являются отправной точкой для исследования точных стационарных метрик вакуума.

См. Также

Ссылки

^Людвигсен, М., Общая теория относительности: геометрический подход, Cambridge University Press, 1999 ISBN 052163976X
^Уолд, RM, (1984). Общая теория относительности, (U. Chicago Press)
^Героч Р. (1971). J. Math. Phys. 12, 918
^ Hansen, R.O. (1974). J. Math. Phys. 15, 46.